2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题6：导数的应用【解析版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题6：导数的应用真题特点分析：【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（）．A． B． C． D．答案：B2.【2020年清华17．】已知函数，则的最大值与最小值的和是（）．A．2 B． C．3 D．4二、知识要点拓展一．导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。若令，则（*）式可改写为。二．导数的几何意义：函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。三．基本求导法则：①；②，（为常数）；③；④反函数导数；⑤复合函数导数。四．基本初等函数导数公式①（为常数）；②（为任何实数）；③，，，，，；④，；⑤；⑥。五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.六．不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。七.不定积分的性质：①；②，③，④。八．常见积分公式，，，，，，，，。九．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。三、典例精讲例1．已知在处可导，且，求下列极限：（1）；（2）►分析：在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式。利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。►解答：（1）（2）练习1：若函数在区间内可导，且则的值为（）A．B．C．D．►答案：B►解答：练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则。►答案：►解答：由导数定义知。例2．求函数的导数。►解答：练习3.,若,则的值等于（） B．C．D．►答案：D►解答：例3．函数的导数为_________________；►解答：例4．求函数的导数。►解答：。例5．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。►解答：若为偶函数令∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：例6．求证下列不等式（1）（相减）（2）（相除）（3）►证明：（1）∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴例7．已知函数，，（1）证明：当时，恒有（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;►解答：（1）设，则=，当时，，所以函数在（0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。（2）设，则在（0，恒大于0，，，的根为0和即在区间（0，上，的根为0和若，则在单调递减，且，与在（0，恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以。例8．利用导数求和：（1）；（2）。►分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。►解答：（1）当时，；当时，，两边都是关于的函数，求导得：即（2）∵，两边都是关于的函数，求导得。令得：，即。例9．已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,……）（1）求的值；（2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记（），求数列的前项和。►解答：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；（2），=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（），（3），而，即，，同理，，又∴四、真题训练1.若，则（）A．B．C．D．2.（上海交大）设，则（）-2（B）2（C）-4（D）43.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（）A．B．为常数函数C． D．为常数函数4.若,则等于（）A． B．C． D．5.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）6.于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A．B.C.D.7.函数在点处的导数是()A．B．C．D．8.设(是两两不等的常数),则的值是______________.9.证明下面不等式：（1）已知：，求证；（2）已知：，求证：。10.已知函数（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）当时，求证:11.设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，(Ⅰ)判断函数在上的单调性；(Ⅱ)设，，比较与的大小，并证明你的结论；（Ⅲ）设，，，若，比较与的大小，并证明你的结论.12.设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.真题训练答案1.D2D由导数定义知3.B,的常数项可以任意4.A5.A对称轴，直线过第一、三、四象限6.C当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得7.D8.，，证明：（1）令，由，∴，原不等式等价于，令，∵当时，有，∴函数在递增∴ 即另令，则有∴在上递增，∴∴综上得（2）由（1）令并相加得即得10.（Ⅰ）解：,令得当时，当时，又当且仅当时，取得最大值0（Ⅱ）证明：由（1）知又11.解：(Ⅰ)由于得，，而，则，则，因此在上是增函数.(Ⅱ)由于，，则，而在上是增函数，则，即，∴（1），同理（2）（1）+（2）得：，而，因此.（Ⅲ）证法1:由于，，则，而在上是增函数，则，即，∴同理……………以上个不等式相加得：而证法2：数学归纳法（1）当时，由（Ⅱ）知，不等式成立；（2）当时，不等式成立，即成立，则当时，+再由(Ⅱ)的结论,++因此不等式对任意的自然数均成立.12.（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（Ⅲ）对，且有又因，故∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。五、强化训练A组1.函数的极小值、极大值分别为（）A.极小值0，极大值4B.极小值-16，极大值4C.极小值-1，极大值4D.极小值0，极大值1分析：对函数求导，，令是两个驻点。因为时，；时，；时，，所以对应极大值，对应极小值。时，；时，答案：A2.设，则（）A.B.C.D.分析：由导数定义可得答案：D3.函数的单调递减区间为____________分析：对函数求导，，则时，；时，；时，，又函数的定义域为，所以的单调递减区间为答案：4.若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？分析：令的四个根为，且不妨设的最高次项系数大于0，则时。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的导函数有3个极值点，即有3个根答案：至多3个根5.若方程有3个不同实根，求实数的取值范围分析：记，有3个不同实根，则应该有2个不同实根。设，令，则时，有极大值，所以；时，有极小值，所以。所以答案：6.已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围分析：令，则(1）恒成立与题设矛盾（2）恒成立显然不可能（3），因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则答案：7.已知函数（1）判断函数的奇偶性（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围分析：（1）对进行讨论，为偶函数，则，为非奇非偶函数（2）由题意，在时，所以答案：（1）时为偶函数，时为非奇非偶函数；（2）8.已知三次曲线的图象关于点中心对称（1）求常数（2）若曲线与直线相切，求曲线的方程分析：（1）由题意，若在曲线上，则也在曲线上，即由于恒成立，所以（2）由（1）知令是的切点在该点的切线斜率为4由，又，所以，，从而答案：（1）；（2）B组1.一元三次函数的三次项系数为，的解集为（1）若有两个相等实根，求的解析式（2）若在上单调递减，求的取值范围分析：设，则，。又因为的解集为，所以，对比系数可得（1），因为有两个相等实根，所以（2），要使得在上单调递减，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2.设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为（1）求证：（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围分析：（1），由题意可得（2）由（1）可知的，所以方程有两个不同实根。又。所以，当或时，；当时，所以，的单调递增区间是，即答案：（1）略；（2）3.已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同（1）若，求的值（2）用表示，并求的最大值分析：（1），设与在公共点处的切线相同，由题意可知（2），设与在公共点处的切线相同，由题意可知所以令，则当，即时，当，即时，，所以在的最大值为答案：（1）；（2），最大值为4.已知函数.（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；分析：（1）要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0当时，在内恒成立当时，要使恒成立，则当时，恒成立所以综上所述，（2）根据题意得所以用数学归纳法证明如下：当时，，不等式成立假设当时，不等式成立，即则当时，所以不等式也成立。综上所述，可得证。答案：（1）；（2）略六、参考答案A组1.分析：对函数求导，，令是两个驻点。因为时，；时，；时，，所以对应极大值，对应极小值。时，；时，答案：A2.分析：由导数定义可得答案：D3.分析：对函数求导，，则时，；时，；时，，又函数的定义域为，所以的单调递减区间为答案：4.分析：令的四个根为，且不妨设的最高次项系数大于0，则时。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的导函数有3个极值点，即有3个根答案：至多3个根5.分析：记，有3个不同实根，则应该有2个不同实根。设，令，则时，有极大值，所以；时，有极小值，所以。所以答案：6.分析：令，则(1）恒成立与题设矛盾（2）恒成立显然不可能（3），因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则答案：7.分析：（1）对进行讨论，为偶函数，则，为非奇非偶函数（2）由题意，在时，所以答案：（1）时为偶函数，时为非奇非偶函数；（2）8.分析：（1）由题意，若在曲线上，则也在曲线上，即由于恒成立，所以（2）由（1）知令是的切点在该点的切线斜率为4由，又，所以，，从而答案：（1）；（2）B组1.分析：设，则，。又因为的解集为，所以，对比系数可得（1），因为有两个相等实根，所以（2），要使得在上单调递减，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2.分析：（1），由题意可得（2）由（1）可知的，所以方程有两个不同实根。又。所以，当或时，；当时，所以，的单调递增区间是，即答案：（1）略；（2）3.分析：（1），设与在公共点处的切线相同，由题意可知（2），设与在公共点处的切线相同，由题意可知所以令，则当，