已知系统开环传递函数

已知系统开环传递函数第一页，共124页。第4章根轨迹法4-1根轨迹的基本概念4-2绘制根轨迹的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析第二页，共124页。基本要求

1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。4.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。

第三页，共124页。根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。第四页，共124页。定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。4－1根轨迹法的基本概念当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为根轨迹。1、根轨迹概念第五页，共124页。例4-1如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：第六页，共124页。开环传递函数有两个极点。

没有零点，开环增益为K。闭环特征方程为闭环特征根为闭环传递函数为第七页，共124页。从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+∞第八页，共124页。如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。第九页，共124页。稳定性

当K由0→∞，根轨迹不会进入s右半边，即系统总是稳定的。稳态特性坐标原点有一个开环极点，所以属I型系统，根轨迹上的K值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围。动态特性当0<K1<0.5时，闭环极点位于实轴上，为过阻尼状态；当K1=0.5时，两个闭环实极点重合，为临界阻尼系统；当K1>0.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。

2、根轨迹与系统性能第十页，共124页。3、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为（4－1）第十一页，共124页。将前向通道传递函数G（s）表示为：（4－2）第十二页，共124页。为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益式中为反馈通道的根轨迹增益。（4－4）（4－3）第十三页，共124页。（4－5）问：f与l、q与h有什么关系？第十四页，共124页。闭环传递函数分别为闭环零、极点。式中：（4－6）第十五页，共124页。比较式（4－2）和式（4－6）可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。第十六页，共124页。4、根轨迹方程根轨迹方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。

闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0（4-7）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。第十七页，共124页。设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时根轨迹方程又可以写成：（4－8）不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。第十八页，共124页。相角方程（4－9）模值方程（4－10）第十九页，共124页。注意在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。第二十页，共124页。例4-2它们应满足相角方程（4－9）已知系统的开环传递函数:试证明复平面上点是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明：该系统的开环极点第二十一页，共124页。例4－1开环零、极点分布图第二十二页，共124页。(k=0)以为试验点，可得以为试验点，观察右图，可得第二十三页，共124页。证毕可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。第二十四页，共124页。例4-3已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如图4-2所示，求根轨迹上点所对应的K值。解

根据模值方程求解值模值方程第二十五页，共124页。根据图可得所以第二十六页，共124页。上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。返回第二十七页，共124页。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则1、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：4－2绘制根轨迹的基本法则第二十八页，共124页。

若开环零点数m<开环极点数n(有个开环零点在无穷远处)则有()条根轨迹趋于无穷远点→→

起点→→终点第二十九页，共124页。一、根轨迹的分支数分支数＝开环极点数

＝开环特征方程的阶数二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数→在实轴上复数→共轭→对称于实轴法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性三、根轨迹具有连续性第三十页，共124页。法则3、根轨迹的渐近线渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：第三十一页，共124页。例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则3，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点第三十二页，共124页。按照公式得第三十三页，共124页。以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线第三十四页，共124页。第三十五页，共124页。对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)第三十六页，共124页。法则4、根轨迹在实轴上的分布实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。第三十七页，共124页。在实轴上任取一试验点代入相角方程则所以相角方程成立，即是根轨迹上的点。第三十八页，共124页。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。第三十九页，共124页。例4-5设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式第四十页，共124页。最后绘制出根轨迹图。法则1，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。法则2，有两条根轨迹法则4，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：第四十一页，共124页。例4－4根轨迹第四十二页，共124页。法则5、根轨迹的分离点与分离角定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。第四十三页，共124页。分离点的坐标d可由下面方程求得式中：为各开环零点的数值，为各开环极点的数值。第四十四页，共124页。法则5、分离角与会合角所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式（4－45）第四十五页，共124页。所谓会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。第四十六页，共124页。会合角计算公式第四十七页，共124页。分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：若有条根轨迹进入d点，必有条根轨迹离开d点；条进入d点的根轨迹与条离开d点的根轨迹相间隔；任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为；因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据法则2、法则4或取试验点用相角条件来验证。第四十八页，共124页。法则6、根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。第四十九页，共124页。终止角计算公式：起始角计算公式：第五十页，共124页。例4-6设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解

将开环零、极点画在图4－4的根平面上，逐步画图：第五十一页，共124页。n=2，有两条根轨迹两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2),(-1+j2)；终于开环零点(-2-j),(-2+j)确定起始角,终止角。如图例4－6所示。第五十二页，共124页。例4－6根轨迹第五十三页，共124页。例4－6根轨迹的起始角和终止角第五十四页，共124页。例4-7已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。第五十五页，共124页。解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点之间，因此判断有分离点第五十六页，共124页。离开复平面极点的初始角为第五十七页，共124页。渐近线（舍去）6、求分离点坐标d第五十八页，共124页。此系统根轨迹如图所示第五十九页，共124页。法则7、根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上的值和值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零求得。第六十页，共124页。例4-8设系统开环传递函数为试绘制闭环系统的概略根轨迹。第六十一页，共124页。解：按步骤画图有4条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远实轴上的根轨迹在0到-3之间渐近线第六十二页，共124页。确定分离点d解方程得（舍去）第六十三页，共124页。确定起始角第六十四页，共124页。确定根轨迹与虚轴的交点。令代入上式解得闭环系统的特征方程为第六十五页，共124页。例4－7根轨迹第六十六页，共124页。例4-9已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出时的闭环系统的概略根轨迹，并求出时的闭环传递函数及闭环极点。第六十七页，共124页。解：根据根轨迹绘制法则，按步计算：n=4，有四条根轨迹；起始于开环极点0，-20，-2-j4,-2+j4，终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为第六十八页，共124页。取第六十九页，共124页。根轨迹的起始角。解得分离点坐标d。舍第七十页，共124页。根轨迹与虚轴交点。系统特征方程解得则两个闭环极点令代入第七十一页，共124页。此时特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点第七十二页，共124页。例4－9根轨迹图第七十三页，共124页。法则8、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数。若根之和与开环根轨迹增益无关。第七十四页，共124页。Tips在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m2的系统，当增益Ｋ的变动使某些闭环极点在s平面上向左移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。闭环特征根之积乘以，等于闭环特征方程的常数项。第七十五页，共124页。常见闭环系统根轨迹图返回第七十六页，共124页。4－3广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为(4-26)闭环特征方程为(4-27)等效变换成第七十七页，共124页。令（4－29）显然，利用式4－29就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。第七十八页，共124页。二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究变化的根轨迹。等效开环传递函数为根据上式可画出变化时的广义根轨迹。第七十九页，共124页。已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为时，时间常数变化时的根轨迹。例4-10解：题目显然是求广义根轨迹问题。第八十页，共124页。系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹图。第八十一页，共124页。例4-10根轨迹图第八十二页，共124页。分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。三、零度根轨迹第八十三页，共124页。特征方程根轨迹方程研究内回路第八十四页，共124页。从而相角方程及模值方程相应为第八十五页，共124页。使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。根轨迹的渐近线计算公式不变。第八十六页，共124页。根轨迹的起始角与终止角分离角与会合角除上述四个法则外，其他法则不变第八十七页，共124页。例4-11正反馈系统的结构图如图4-23所示，试绘制开环系统根轨迹增益变化时的根轨迹。其中第八十八页，共124页。解：该系统是正反馈系统。当变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。终止于开环零点实轴根轨迹在区间内。起始于开环极点第八十九页，共124页。例4-11根轨迹图返回第九十页，共124页。4－4系统性能的分析由开环→闭环极点的根轨迹求闭环极点确定闭环传函闭环系统动态性能主要任务：第九十一页，共124页。一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式Ｎ阶系统的闭环传递函数可写为：第九十二页，共124页。设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式第九十三页，共124页。第九十四页，共124页。将C(s)表达式进行拉式反变换得：（4－74）从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布有关。第九十五页，共124页。二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系稳定性所有闭环极点位于s平面的左半部；复数极点设置在s平面中与负实轴成夹角线附近；平稳性第九十六页，共124页。快速性闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。第九十七页，共124页。三、主导极点和偶极子主导极点：就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。第九十八页，共124页。偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。第九十九页，共124页。四、利用主导极点估算系统的性能指标既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。第一百页，共124页。例4-12试近似计算系统的动态性能指标。解：这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图所示。某系统的闭环传递函数为第一百零一页，共124页。极点离虚轴最近，所以系统的主导极点为，而其他两个极点可以忽略。第一百零二页，共124页。这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为式中：T=0.67s根据时域分析可知一阶系统无超调，调节时间第一百零三页，共124页。例4-13系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。第一百零四页，共124页。解：闭环零、极点分布如图所示第一百零五页，共124页。系统近似为二阶系统对应性能指标第一百零六页，共124页。例4-14已知系统开环传递函数为试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。第一百零七页，共124页。解：图4-27根轨迹图

根轨迹图按步骤作出系统的根轨迹，如图所示。第一百零八页，共124页。分析系统稳定性在平面上画出时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为，从图上测得，与之共轭的复数极点为。已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点。使系统稳定的开环增益范围是第一百零九页，共124页。系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能