2019版数学（浙江专版）单元提分练（集全国各地市模拟新题重组）：单元检测六 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元检测六平面向量、复数考生注意:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟,满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷（选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中,若eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(AC，\s\up6(→）)＝4eq\o（AP，\s\up6(→）），则eq\o（PB,\s\up6（→）)等于（)A.eq\f（3，4)eq\o（AB，\s\up6(→））－eq\f（1，4)eq\o(AC,\s\up6(→)） B．－eq\f(3，4)eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f（1，4）eq\o(AC,\s\up6(→）)C．－eq\f（1，4）eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\f(3，4）eq\o（AC,\s\up6（→）） D。eq\f(1，4)eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\f(3,4)eq\o（AC,\s\up6（→)）2．已知向量a＝(x，－1），b＝(1，eq\r（3））,若a⊥b，则｜a｜等于()A。eq\r(2）B。eq\r(3）C．2D．43．(2017·嘉兴期末测试)对任意两个非零向量a,b,下列说法中正确的是（)A．(a＋b)2≥(a－b)2B．(a＋b)2≥a2＋b2C．（a＋b)2≥4｜a｜｜b｜D．(a＋b)2＋（a－b)2≥4a·b4．已知向量a＝(2,－1），b＝（λ，－3），若a∥b，则实数λ的值为()A．－eq\f(3,2)B。eq\f（3，2)C．6D．－65．已知向量a·（a＋2b)＝0，｜a｜＝|b|＝2，则向量a,b的夹角为(）A.eq\f(π，6)B.eq\f（π,3)C。eq\f(2π，3)D.eq\f（5π，6)6．(2017·舟山三模)已知O是△ABC内部一点，eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（OB，\s\up6（→)）＋eq\o(OC,\s\up6（→))＝0，eq\o（AB，\s\up6（→))·eq\o(AC,\s\up6（→）)＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为（)A.eq\f（1，2)B.eq\f（\r(3),3)C.eq\f（\r（3）,2）D.eq\f(2,3)7．设i是虚数单位，复数1－2i的虚部是(）A．－2 B．2C．－2i D．2i8．在平面直角坐标系内，eq\o（OA，\s\up6(→））＝(1，4)，eq\o(OB,\s\up6(→））＝(－3，1)，且eq\o(OA,\s\up6（→))与eq\o（OB，\s\up6（→））在直线l的方向向量上的投影长度相等，则直线l的斜率为（)A．－eq\f(1,4) B。eq\f（2，5)C.eq\f(2，5)或－eq\f（4,3) D。eq\f（5，2)9．在直角△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1,P为AB边上的点eq\o(AP，\s\up6（→）)＝λeq\o(AB，\s\up6(→))，若eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6（→）)≥eq\o(PA，\s\up6（→））·eq\o（PB，\s\up6（→）)，则λ的最大值是()A．1B.eq\f(2－\r(2)，2)C。eq\f（\r(2),2)D。eq\r（2)10．将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形,去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星，如图所示,设正八角星的中心为O，并且eq\o(OA,\s\up6(→））＝e1，eq\o（OB，\s\up6(→))＝e2.若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成为λe1＋μe2，λ，μ∈R的形式，则λ＋μ的最大值为（）A。eq\r（2） B．2C．1＋eq\r（2） D．2eq\r(2）第Ⅱ卷（非选择题共110分)二、填空题（本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．（2017·台州调研）已知复数z＝eq\f（1＋ai,i)(a∈R）的实部为1，则a＝________，｜z｜＝________。12．已知在△ABC中,｜eq\o(BC，\s\up6（→)）|＝|eq\o（AB,\s\up6（→))－eq\o（CB,\s\up6(→)）|，eq\o(AB，\s\up6(→）)＝（1，2），若边AB的中点D的坐标为（3，1)，点C的坐标为(t，2)，则t＝__________.13．（2018届温州一模)设向量a，b,且|a＋b｜＝2｜a－b|，|a|＝3，则b的最大值是________;最小值是________．14．(2017·金丽衢十二校联考)已知向量a＝(－2,x)，b＝（y,3），若a∥b且a·b＝12，则x＝________,y＝________。15．已知在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若eq\o(CE，\s\up6(→）)＝meq\o（AB，\s\up6（→）)＋neq\o（AC,\s\up6(→))，则m＋n＝________。16．在Rt△AOB中,eq\o（OA,\s\up6（→）)·eq\o(OB,\s\up6（→))＝0,|eq\o(OA，\s\up6（→))｜＝eq\r（5），｜eq\o（OB,\s\up6（→）)｜＝2eq\r(5），AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上，若eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o（EA，\s\up6(→））＝eq\f(3,4），则向量eq\o（EA,\s\up6（→)）在向量eq\o(OD，\s\up6（→)）上的投影为________．17．(2017·嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考）在△ABC中，AB＝3,AC＝2，A＝60°，eq\o（AG,\s\up6（→））＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o（AC,\s\up6（→))，则eq\o（AG,\s\up6（→）)的最小值为________,又若eq\o（AG，\s\up6（→））⊥eq\o(BC,\s\up6（→））,则m＝________。三、解答题(本大题共5小题,共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）(2017·杭州萧山区第一中学月考）已知复数z＝eq\f(1＋i2＋25－i，3＋i）。（1)求|z｜;（2)若z（z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．19.（15分）(2017·湖州调研）已知平面向量a，b满足｜a|＝1,｜3a－2b|＝eq\r（13），且a,b的夹角为60°。（1)求|b|的值；(2）求2a－b和a－2b夹角的余弦值．20．（15分)已知向量a＝（cosα,sinα)（0≤α<2π)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)，\f(\r(3)，2)))，且a与b不共线．(1）设eq\o(OA,\s\up6(→））＝a，eq\o（OB，\s\up6（→)）＝b，eq\o(OC，\s\up6（→))＝eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o（OB，\s\up6（→）），证明：四边形OACB为菱形；（2）当两个向量4a＋b与a－4b的模相等时，求角α。21。(15分）(2017·温州测试）设AD是半径为5的半圆O的直径（如图),B，C是半圆上两点,已知AB＝BC＝eq\r(10)。(1)求cos∠AOC的值;（2)求eq\o（DC,\s\up6（→））·eq\o（DB,\s\up6(→)）的值．22．(15分）如图，在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→））＝eq\f(3,4）eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\f（1,4)eq\o(AC，\s\up6(→)).(1)求△ABM与△ABC的面积之比；(2)若N为AB中点，eq\o（AM,\s\up6（→)）与eq\o(CN,\s\up6(→))交于点P，且eq\o(AP，\s\up6(→））＝xeq\o（AB，\s\up6(→)）＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R），求x＋y的值．答案精析1．A[由题意可得，eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AC，\s\up6（→）)＝4（eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BP，\s\up6(→)))，∴eq\o（BP，\s\up6（→)）＝－eq\f（3，4）eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\f（1，4）eq\o（AC，\s\up6(→)),则eq\o（PB，\s\up6(→)）＝eq\f（3，4）eq\o(AB，\s\up6（→）)－eq\f(1,4）eq\o（AC，\s\up6(→)）。故选A.]2．C[由题意知,x－eq\r(3)＝0,得x＝eq\r（3),则|a|＝eq\r(\r(3）2＋－12）＝2，故选C。]3．D[因为(a＋b）2－（a－b)2＝4a·b，与0的大小关系不确定，所以A错误；(a＋b）2－a2－b2＝2a·b,与0的大小关系不确定,所以B错误；(a＋b）2－4｜a｜|b|＝｜a｜2＋|b｜2＋2|a｜｜b|cosθ－4|a||b｜≥2｜a｜｜b|(cosθ－1）,而2｜a||b|（cosθ－1)≤0，所以C错误；(a＋b）2＋(a－b)2－4a·b＝2（｜a|2＋｜b|2－2a·b）＝2(a－b）2≥0,所以（a＋b）2＋(a－b）2≥4a·b，故选D。］4．C［由a＝(2，－1），b＝（λ，－3)，a∥b，得2×(－3)＝－1×λ，得λ＝6，故选C.］5．C[a·（a＋2b)＝a2＋2a·b＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cos<a，b〉＝4＋2×2×2×cos〈a，b〉＝0，解得cos<a,b〉＝－eq\f（1,2)，则〈a，b〉＝eq\f（2，3）π，故选C。］6．B［因为eq\o（OA，\s\up6(→)）＋eq\o（OB，\s\up6（→)）＋eq\o（OC,\s\up6(→））＝0，所以eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\o(OB，\s\up6(→)）＝－eq\o(OC，\s\up6（→）)，所以O为△ABC的重心,所以△OBC的面积为△ABC面积的eq\f（1，3)，因为eq\o(AB,\s\up6（→））·eq\o（AC，\s\up6(→））＝2，所以|eq\o（AB,\s\up6(→))|·|eq\o（AC,\s\up6(→))｜cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以｜eq\o(AB,\s\up6（→）)|·｜eq\o(AC，\s\up6（→）)｜＝4，△ABC的面积为eq\f（1，2)|eq\o（AB,\s\up6（→））|·|eq\o（AC，\s\up6(→)）｜sin∠BAC＝eq\r(3）,所以△OBC的面积为eq\f(\r(3）,3），故选B.］7．A[复数1－2i的虚部是－2。故选A。］8．C[直线l的一个方向向量可设为l＝(1，k），由题意得eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（\o（OA，\s\up6(→）)·l，｜l｜))）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f（\o（OB，\s\up6(→))·l，｜l｜)))⇒｜1＋4k｜＝|－3＋k|，解得k＝eq\f（2,5）或k＝－eq\f(4,3)。]9．A[因为eq\o（CP,\s\up6(→))＝eq\o（AP，\s\up6（→）)－eq\o（AC，\s\up6(→）)＝λeq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o(AC，\s\up6（→）)，eq\o(PB，\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→)）－eq\o（AP,\s\up6（→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→))－λeq\o（AB,\s\up6（→)），故由eq\o(CP，\s\up6(→））·eq\o（AB,\s\up6(→）)≥eq\o（PA,\s\up6(→)）·eq\o(PB，\s\up6(→）)可得2λ－1≥－2λ（1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2，即λ2－2λ≤－eq\f（1,2），解得1－eq\f（\r（2），2)≤λ≤1＋eq\f（\r(2），2），由于点P∈AB，所以1－eq\f(\r（2），2)≤λ≤1，故选A。]10．C[由题意知，要取得最大值,必然是点O到正八角星的7个顶点的向量在如图所示的eq\o（OA，\s\up6（→)），eq\o（OM,\s\up6（→）），eq\o(ON,\s\up6（→))，eq\o(OP，\s\up6（→)），eq\o(OQ,\s\up6（→))，eq\o(OR,\s\up6（→))，eq\o（OB,\s\up6(→））中的一个向量.eq\o（OA,\s\up6（→)）＝e1,此时λ＋μ＝1；eq\o(OM，\s\up6（→))＝eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（AM,\s\up6（→)）＝eq\o（OA，\s\up6(→）)＋(eq\r(2)－1)eq\o(OB,\s\up6（→））＝e1＋(eq\r（2）－1)e2，此时λ＋μ＝eq\r(2）；eq\o(ON,\s\up6(→）)＝eq\r（2)eq\o(OG,\s\up6（→））＝eq\r（2）（eq\o(OA，\s\up6（→)）＋eq\o(AG,\s\up6(→）))＝eq\r(2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\o（OA,\s\up6（→））＋\f（\r(2)，2)\o（OB,\s\up6（→）)))＝eq\r(2）e1＋e2，此时λ＋μ＝eq\r(2）＋1;eq\o（OP,\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o(OB，\s\up6(→))＝e1＋e2，此时λ＋μ＝2;eq\o（OQ,\s\up6(→）)＝eq\r（2）eq\o（OH,\s\up6(→))＝eq\r(2）(eq\o（OB,\s\up6(→）)＋eq\o(BH,\s\up6（→)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\o（OB，\s\up6(→））＋\f（\r（2),2）\o（OA,\s\up6(→）)))＝e1＋eq\r(2）e2，此时λ＋μ＝eq\r（2）＋1；eq\o（OR,\s\up6(→)）＝eq\o（OB，\s\up6(→））＋eq\o（BR,\s\up6(→）)＝eq\o(OB，\s\up6（→))＋(eq\r(2）－1）eq\o（OA，\s\up6(→))＝(eq\r(2）－1）e1＋e2，此时λ＋μ＝eq\r（2)；eq\o（OB，\s\up6（→）)＝e2，此时λ＋μ＝1.综上所述，λ＋μ的最大值为1＋eq\r(2），故选C。］11．1eq\r（2)解析z＝eq\f(1＋ai,i)＝a－i，实部a＝1，所以z＝1－i，|z|＝eq\r（2).12．1解析依题意，得|eq\o(BC，\s\up6（→)）|＝｜eq\o(AC,\s\up6（→）)｜，故△ABC是以AB为底边的等腰三角形，故eq\o（CD，\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6（→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→）)·eq\o(AB,\s\up6（→)）＝(3－t，－1）·（1，2）＝3－t－2＝0,所以t＝1.13．91解析设｜b｜＝t，a,b的夹角为θ，由｜a＋b|＝2｜a－b｜，可得|a＋b|2＝4|a－b｜2，9＋t2＋6tcosθ＝4（9＋t2－6tcosθ），化简得t2－10tcosθ＋9＝0，可得t2－10t＋9≤0，即1≤t≤9，即｜b|的最大值是9，最小值是1。14．2－3解析向量a＝（－2,x)，b＝（y,3)，a∥b且a·b＝12，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（xy＝－6，，－2y＋3x＝12，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2,，y＝－3。)）15．－eq\f（1，2）解析由图可知,eq\o（CE，\s\up6（→））＝eq\f（1,2)（eq\o(CD，\s\up6(→））＋eq\o(CA，\s\up6（→）))＝eq\f(1，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2,3）\o(CB，\s\up6(→))－\o（AC，\s\up6（→)）))＝eq\f(1，3)(eq\o（AB，\s\up6(→）)－eq\o(AC，\s\up6(→）））－eq\f（1，2）eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\f（1,3)eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（5，6)))eq\o(AC，\s\up6(→））。∴m＋n＝eq\f(1，3）－eq\f（5,6）＝－eq\f（1，2).16。eq\f(1,2)或eq\f(3，2)解析由等面积法求得OD＝2，设|eq\o（ED,\s\up6（→)）|＝x，则|eq\o（OE，\s\up6（→)）｜＝2－x，因为OD⊥AB,所以eq\o（OE,\s\up6（→)）·eq\o(AD，\s\up6(→））＝0,所以eq\o(OE，\s\up6（→）)·eq\o(EA，\s\up6（→））＝eq\o(OE,\s\up6(→))·(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o（DA,\s\up6(→)）)＝eq\o(OE，\s\up6（→）)·eq\o(ED,\s\up6(→）)＝（2－｜eq\o(ED，\s\up6（→))|)｜eq\o（ED，\s\up6（→))|＝x(2－x）＝eq\f(3,4),所以x＝eq\f（1，2）或eq\f（3，2).17。eq\r（3)eq\f(1,6）解析eq\o（AG,\s\up6（→))2＝（meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)）)2＝m2eq\o(AB,\s\up6（→))2＋2meq\o(AB,\s\up6（→）)·eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6(→)）2＝9m2＋6m＋4＝（3m＋1)2＋3,所以当3m＋1＝0时，|eq\o(AG，\s\up6（→)）｜取最小值eq\r（3）;因为eq\o(AG，\s\up6(→）)⊥eq\o（BC,\s\up6（→）)，所以eq\o（AG，\s\up6（→)）·eq\o(BC，\s\up6(→）)＝（meq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6(→））)（eq\o(AC，\s\up6(→））－eq\o(AB，\s\up6(→)))＝(m－1）eq\o(AB，\s\up6（→)）·eq\o(AC，\s\up6（→))－meq\o(AB,\s\up6（→)）2＋eq\o（AC,\s\up6(→）)2＝3（m－1)－9m＋4＝0，得m＝eq\f(1，6）.18．解(1)∵z＝eq\f（2i＋10－2i，3＋i）＝eq\f（10,3＋i）＝eq\f(103－i，10)＝3－i，∴｜z|＝eq\r（10)。(2)∵(3－i）(3－i＋a）＝（3－i）2＋(3－i）a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(8＋3a＝b,，－a＋6＝1,))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝－7，，b＝－13。))19．解(1）由已知得｜3a－2b｜2＝9＋4｜b｜2－12a·b＝9＋4|b|2－12×｜b|×cos60°＝13，即2｜b｜2－3|b|－2＝0，解得|b｜＝2。(2）|2a－b｜＝eq\r（4＋4－4×2cos60°)＝2，|a－2b|＝eq\r（1＋16－4×2cos60°)＝eq\r(13）.又（2a－b）·(a－2b）＝2＋8－5×2cos60°＝5。所以2a－b和a－2b夹角的余弦值为eq\f（2a－b·a－2b，|2a－b|｜a－2b|）＝eq\f（5，2\r（13))＝eq\f（5\r（13)，26).20．(1）证明∵eq\o（OC，\s\up6（→))＝eq\o(OA,\s\up6（→）)＋eq\o(OB,\s\up6(→）），∴四边形OACB为平行四边形，又|eq\o（OA，\s\up6(→))｜＝｜eq\o（OB,\s\up6(→））|＝1，∴四边形OACB为菱形．（2)解由题意|4a＋b｜＝|a－4b｜,得（4a＋b)2＝(a－4b)2.又由(1)知，a2－b2＝0，∴a·b＝0，∴－eq\f(1,2）cosα＋eq\f(\r（3),2)sinα＝0,得tanα＝eq\f(\r(3），3)。又0≤α〈2π，∴α＝eq\f(π,6）或eq\f（7π，6）。21．解（1）如图，连接OB,由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f（25＋25－10，2×5×5）＝eq\f（4,5).由AB＝BC知∠AOC＝2∠AOB,则cos∠AOC＝cos2∠AOB＝2cos2∠AOB－1＝eq\f（7，25）。（2)方法一由题意可知∠ADC＝∠AOB，∠ADB＝∠BDC，则|eq\o（DC,\s\up6(→）)｜＝8.又在Rt△ADB中，sin∠ADB＝eq\f(\r（10),10），可得cos∠ADB＝eq\f(3，\r(10)），｜eq\o（DB，\s\up6（→）)|＝3eq\r（10),所以cos∠BDC＝eq\f（3,\r（10)），故eq\o(DC,\s\up6（→）)·eq\o（DB，\s\up6(→)）＝8×3eq\r(10）×eq\f（3，\r（10))＝72.方法二eq\o(DC，\s\up6（→））·eq\o（DB，\s\up6(→））＝（eq\o（OC，\s\up6(→)）－eq\o（OD，\s\up6(→）))·（eq\o(OB,\s\up6（→)）－eq\o（OD,\s\up6（→)））＝(eq\o（OC，\s\up6（→)）＋eq\o（OA,\s\up6（→))）·(eq\o（OB,\s\up6(→）)＋eq\o（OA,\s\up6(→）））＝eq\o(OC，\s\up6（→))·eq\o（OA,\s\up6（→））＋eq\o（OC,\s\up6（→））·eq\o（OB,\s\up6（→））＋eq\o（OB,\s\up6(→）)·eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（OA，\s\up6(→)）2＝|eq\o（OC，\s\up6(→））|｜eq\o(OA,\s\up6（→))|cos∠AOC＋|eq\o（OC,\s\up6（→))|｜eq\o(OB，\s\up6（→))|cos∠COB＋|eq\o（OB,\s\up6（→)）|｜eq\o（OA,\s\up6（→))｜cos∠AOB＋25＝7＋20＋20＋25＝72。方法三如图建立平面直角坐标系，由（1)知，B，C的坐标分别为B(4，3)，Ceq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（7,5）,\f(24,5)）），又D（－5，0），则eq\o(DC，\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(32，5)，\f（24，5)))，eq\o(DB,\s\up6（→)）＝（9,3)，可得eq\o(DC,\s\up6（→)）·eq\o（DB,\s\up6（→)）＝72。22．解（1）在△ABC中