概率论与统计课程第一章第五节

§1.5全概率公式和贝叶斯公式

一、全概率公式例1有10件产品，其中有3件为次品，从中任取一件不放回，连续取两次，求第2次取到的为次品的概率．解令A表“第2次取到次品”，B表“第一次取到正品”，则

从形式上看，上述分解式似乎将A复杂化了；但从实质上看，上述分解式将复杂的事件A分解为较简单的事件了．把这个想法一般化，得

全概率公式设试验E的样本空间为Ω，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若满足(1)BiBj=，i、j=1，2，…，n，i≠j；(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω．满足(1)与(2)的事件组叫样本空间的一个划分．(完备事件组)若P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），那么，E的任一事件A的概率此式即为全概率公式证∵A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn

且P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），(ABi

)(ABj)=，i≠j

∴

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)

+P(B2)P(A|B2)

+…+P(Bn)P(A|Bn)例1就用了ｎ＝2的全概率公式．若P(A)不易直接求得，但却容易找到Ω的一个划分B1,B2,…,Bn

,且P(Bi)和P(A|Bi)已知或容易求，那么就可以根据全概率公式求P(A)。用全概率公式的关键在于找出完备事件组．例2某厂有1、2、3三个车间，生产同一型号的元件，其产量分别占该厂总产量的25%、35%和40%，各车间的次品率分别为5%、4%和3%，各车间的产品都混放在一起，求从总产品中任取一件为次品的概率．解令A表示“取到一件次品”，Bi表示“取到第i车间的产品”，i=1，2，3，则由题意知P(B1)=0.25，P(B2)=0.35，P(B3)=0.4．P(A|B1)=0.05P(A|B2)=0.04P(A|B3)=0.03而B1，B2，B3是完备事件组，由全概公式P(A)=P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)=0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.03=0.0385．例：有12个乒乓球为新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第三次比赛时取到3个新球的概率。解：设Ai，Bi，Ci分别为第一、二、三次取到i个新球(i=0、1、2、3）。二、贝叶斯公式在全概率公式中，复杂事件A的概率是通过寻找出引起A发生的各种“原因”:B1、B2、…、Bn发生的概率P(Bi)，和它们对A产生的作用P(A|Bi)，i=1、2、…、n来求P(A)的

P(Bi)通常是从已知条件或以往经验得到的，是在试验前对引起A发生的各种“原因”发生的可能性大小的估计，称为验前概率．若在事件A发生条件下，重新考虑引起A发生的各种“原因”发生的概率P(Bi|A)，i=1，2，…，n，则可以利用条件概率定义和全概率公式推导出此式称贝叶斯公式，也称逆概率公式．贝叶斯公式所求的P(Bi|A)(i=1,2,…,n)又称为验后概率．这是在试验后当A发生的条件下，对导致A发生的各种“原因”发生的可能性大小的重新估计．(i=1,2,…,n)例3对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90%，而当机器发生某一故障时，合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%．试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”，已知P(A|B)=0.9，

这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是0.9．这里，概率0.75是由以往的数据分析得到的，是验前概率．而0.9就是验后概率．有了验后概率我们就能对机器的情况有进一步的了解．例4根据以往记录资料，某疾病的诊断性试验具有如下效果，确实患此病的人试验反应呈阳性的占95%，没患此病的人试验反应呈阴性的占95%，此病的发病率为0.5%，现对自然人群进行普查，求当试验反应呈阳性时，确实患此病的概率．解令A表示“试验反应呈阳性”，B表示“确实患此病”，则问题所求为P(B|A)．由题意可知：P(A|B)=0.95P(B)=0.005此题的结论表明，尽管有病反应呈阳性和无病反应呈阴性的概率都较高，都为0.95，但若将此试验用于普查，则有P(B|