、高中数学函数恒成立问题练习题

𝑐、中学数成问练题答𝑐学校__________班__________姓名__________考号__________已三次函的像如右图所示，

′

是数的导函数，则关的不等𝑥)𝑓

′

)的集为（）A.或

B.

}C.}

或对意，函＝围是（）

的值恒大于，的值范A.

B.或

C.

或设(是上偶函数，且[上单调递增，2)，使12成立的的值范围

A.

,

B.

C.,

,关的等式

对意实数恒成立，则实数的大值是（）A.

B.C.D.对切实数，不等式

恒立，则实数的值范围A. 

B.

C.[

已函数的义域，任意N，有，实数𝑐取值范围()试卷第1页，总页

2A.2

B.

C.

已函数(

，,，存，得𝑚

成，则实𝑚的值范围为)A.

B.

C.[,

,已两条直𝑙，的率是方置关系是)

𝑚𝑥𝑚∈R的个根，与的位A.平行

B.垂

C.可能重合

无法确定已(是义R上减函数，对意，，𝑥(𝑓(恒立，若，(3的集(A.−

B.−

C.

10.若数

的义域为实数，实的值范围(A.

B.

C.11.设数(cos，若对任意,(，都有𝑥𝑚||成，则实数的小值)

𝑥

A.12.设数(

B.

C.(𝑥)

，其中为然对数的底数，若存在实数，使得𝑥

(𝑥

0

成立，则实的值为（）A.ln

B.ln

C.ln

ln13.已函数(

𝑏2𝑐

𝑎是义上奇函数，是的个极大值点，且1)，（）A.

2

B.

2

C.

2

214.已奇函数(的义域R且R上连续．若时不等

的集为，R时，)(

的集_试卷第2页，总页

，，，任意，，，任意61215.若等式

2

的解集R则实数的值范围________.16.若，有

2

，则实数的取值范围________.17.不式________．

2

2(对恒立，则实数取值范围为18.已函数(sin(2

𝜋𝜋2

，(𝑥

𝑥2

(𝑥恒成立，取值范围为．19.已函数({2________．

222,

则关于的等(1的集为20.命:R，

2

是命题，则实的值范围________.21.若[，

2

𝑥”为命题，则实的值范围为_______.22.已不等式2ln𝑥值范围是_______.

2

𝑎)𝑥]对意恒成立，则实的取23.已函数(

2

𝑥+5

ln，则使不等式)𝑡2成的实的取值范围_．24.已函数sin，且对于任意，等恒成立，则的值范围为．

(7

25.已函数(⋅3的值范围________.

2

若在，得−

𝑥

，26.已函𝑎R)(

．讨(的调性；试卷第3页，总页

⋅log若，证明对任意，()恒成立⋅log27.设数(log

4

.求等(的解集；若[,，得成立，求的值范围．28.已函数.1解不等；2若∀R，

恒立，求实的值范.29.已函

)𝑎

是指数函数，求的达式；判(−的偶性，并加以证明；解等式loglog𝑥)30.设数(|，其中：(1)时求关的不等的解集；(2)𝑛，明)．31.已函，分是义R上偶函数和奇函数，(＝．求数的析式；若任[1,不等恒立，求实数的大值32.已函ln

若，求的图象在点处切线方程；若的取值范围．试卷第4页，总页

33.已知，数

11⋅3

．𝑥判函(在上单调性，并证明；设(−，对任意𝑥]𝑔()2)恒立，求的取值范围．试卷第5页，总页

参答与题析、中学数成问练题答一选题本共13小，题3分，计39）【答案】D【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性函数的图象与图象变化导数的几何意义【解析】由图象做出其导函数的图像，用符号法则即可求解不等.【解答】解：由图象可知，𝑓7)，原不等式转𝑥)𝑓

′

)又由于三次函数(的导函数是二次函数，结的象可知，和分是函数的小值点和极大值点，则和是

′

的个零点，我们可以做出导函

′

的图象如图，由图象可知，当时

′

，当时𝑓

′

)，当时

′

接下来利用符号法则即可求解，当时

′

)，，⋅𝑓

′

)，满题意；当时𝑓当时𝑓

′′

)，但，⋅)，且，⋅

′′

，满足题意；，足题意；当时

′

，，⋅

′

)，不满足题意；综上所述，不等⋅𝑓

′

)的为或，故不等

′

)的集{或.试卷第6页，总页

11的大值．再利用基本11的大值．再利用基本不等式得【答案】B【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合函数恒成立问题【解析】暂无【解答】解：因(是上偶函数，且[上单调递增函数，且2)，所以(在−上是单调递减函数(，由12

，

log2解得．4故选．【答案】C【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】B【考点】函数恒成立问题【解析】当＝，不等式

1恒立，当时则有𝑎

1

恒立，故大于或等于

11试卷第7页，总页

得大值，即

即{可得到实数的值范围．【解答】即{解：当时不

2

恒立，当时则有

2

，故大于或等于

的大值．由基本不等式可得(|

，∴

2，

的大值为，故实数的取值范围.故选.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当时在义域上单调递增，不满足对任，都；当时画的大致图象如图：可知{

，，+，2解得.故选.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题试卷第8页，总页

11111121212121221212【解析】此11111121212121221212解：

′

ln，令

1

，则

′

122

，故当时′，单递减，2当1时

′

，单递增，所以((1，所以当𝑥[,时，2

′

，在间,上调递增．2设

2

22

，则−2,上调递减，在上调递增，所以

max

ℎ(1)，所以存[，得(2𝑚等价于(2𝑓(1)，𝑚2−1𝑚12𝑚2

2

立，解得𝑚1．故选.【答案】B【考点】两条直线垂直的判定函数恒成立问题【解析】由韦达定理可知，此可作出判．【解答】解：由方程

2

𝑚𝑥，𝑚2

𝑚

恒成立，所以方程有两个不等的实根，𝑙的率，均在．设两根，，则，所以𝑙故选.【答案】

.试卷第9页，总页

B【考点】函数恒成立问题函数的单调性及单调区间【解析】暂无【解答】解：因为对任意，，𝑥𝑦恒成立，所以(𝑓，()，则由(3−，得3(.又因为上的减函数，所以，解得．故选．10.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法函数恒成立问题【解析】由函数

的义域为全体实数，得到不等式

恒成立，分是为零进行讨论，时化为一元二次不等式恒成立问题．【解答】解；函

的义域为实数，2

𝑥成立，当时显然成；当时{解得.综上实的取值范围．故选.11.【答案】A【考点】函数恒成立问题三角函数的最值函数的最值及其几何意义利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】试卷第10页，总25页

111112002002000021)2，002解：因为(111112002002000021)2，002

′

sin，因此)内减，不妨设则(𝑥|，1

(𝑥

．是已知的不等式(𝑥1

𝑥

就是(𝑥

𝑥)𝑥1

，即(𝑥𝑥

.令(，，则(在0,𝜋内增，于是

′

)sin即sin.再令(，

′

)，(在内增因此((𝜋．所以.故选.12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】【解答】解：由题意知，时(𝑥

(𝑥

0

有解，即

𝑎

𝑥

4+𝑎

ln𝑥)0在

上解，即

𝑎

4𝑥+𝑎

ln𝑥)0

(有解．由

𝑎

4𝑥+𝑎

√

0

𝑎

4𝑥+𝑎

4，且仅

0

𝑎

4𝑥+𝑎

，即

𝑎时取得等号．设(𝑥)

，则

′

)

1

−8由

′

)，，由

′

)，，所以(在上单调递增，在上调递减所以((4，要使得

𝑎

𝑥

4+𝑎

ln𝑥)0在

上有解．则ln𝑎，𝑎.故选.13.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数恒成立问题利用导数研究函数的极值试卷第11页，总25页

𝑎𝑏𝑐−𝑎−𝑏2，2导数的运算𝑎𝑏𝑐−𝑎−𝑏2，2【解析】利用奇偶性以及极值关系列出关系式求解参数即可【解答】解：1)且为函，)，代入{1𝑐𝑏

𝑎−𝑏2𝑐

′

)

𝑐2𝑐2是大值点，′

𝑎𝑐𝑐2

，𝑎，𝑐解得𝑐，

𝑎

𝑎=2，

22

.故选.二填题本共12小，题3分，计36）14.【答案】)(0,2)∩3,【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质函数恒成立问题【解析】由已知可得当时不等式(

的集，根据函数的奇偶性可将当𝑥时−的集2,3，令，可得的解集，从而可得结论．【解答】解：当时不等式(

的集，不式((

的集)，是义域为的函数，−)(，当时((的解集为，令，𝑡)(

的集)试卷第12页，总25页

11111111111∴(11111111111

1

的集为(．故答案为：．15.【答案】

12

,【考点】一元二次不等式的解法函数恒成立问题【解析】左侧图片未给出解析【解答】解：由题意不等

的集，只需)

，解得

112

，即实数的值范围,．12故答案为：

112

,．16.【答案】【考点】函数恒成立问题不等式恒成立的问题【解析】利用分离参数法可得，恒立，即的最小值为【解答】，解：若1,2，

𝑖𝑛

,容易求得在]即对，恒立，即

min

，又有当时，因此实的取值范围

.故答案为：17.

.试卷第13页，总25页

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋【答案】𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋【考点】函数恒成立问题【解析】依题意，分与两讨论，即可求得实数的值范围．【解答】解：由题意，不等式

对恒成立，当时，对任意实数都成立；当时{[，解得.综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．18.【答案】

【考点】函数恒成立问题正弦函数的定义域和值域【解析】无【解答】解：当时,，sin66此时(的最大值为，小值为，

，对任意，]

，(𝑥

𝑥

恒立，则

，

．故答案为：

．19.【答案】)【考点】分段函数的应用函数恒成立问题【解析】此题暂无解析试卷第14页，总25页

【解答】解：根据题意可得函在−上单调递减，在上单调递增，图象如图，当，时()−2

−)

2

，(11)21，由{()(1，得{22

解得；2当即，，数(在上单调增，−)(1恒成立；综上：𝑥.2故答案为：.220.【答案】或【考点】命题的真假判断与应用函数恒成立问题全称命题与特称命题【解析】考虑命题的否定为真，运用判别式不小，出即判断．【解答】解：命:，

2

𝑥是命题，则题的否定，2

”为命题，则

2

，解得或.故答案为：或.21.【答案】

【考点】函数恒成立问题命题的真假判断与应用试卷第15页，总25页

3535352)全称命题与特称命题【解析】3535352)由题意可得，的范围．【解答】

2

𝑥恒成立恒成立，再利用分参求最值，由此求得解：因[，

2

为命题，所以，

2

𝑥恒立，所以恒立，所以(

)max

且[，又因为()在上是增函数，所以()max

)，所以．故答案为：．22.【答案】

,【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】令()2，(+)，()

2

，

′

)

，对分类讨论，可得函(的调性，结合已知条件，进得出实的值范围．【解答】解：令()2ln，(0,+，𝑔(𝑥)

2

(1)，′则函数(的称轴()2，

)2

2

，，′)函(单递减，()2，(+，()；又(在(上单调递增，()(1)，，符合题意，舍去；时，

′

)

2𝑎(

12

，则函数((

)上调递减，(∞)上单调递增，试卷第16页，总25页

112111𝑎+122111当112111𝑎+122111

12𝑎

时，函(取极小值，即最小值，此时最小值为

12𝑎

12，若+ln2)，则𝑎2𝑎2𝑒

；又

1𝑎+12𝑎4𝑎2𝑎

+1=

𝑎224𝑎2

，不满足对任恒立，舍去；若+ln，则𝑎2𝑎

12𝑒

，又函数(的称轴

𝑎+12

，2𝑎1𝑎1𝑎)𝑎2

11

𝑎+14

，解得𝑎1，2𝑒当𝑎≤时满足不等2𝑎ln2𝑒综上所述，实数的值范围是,1]．2𝑒

2

𝑎对意恒成立，故答案为：

12𝑒

,1]．23.【答案】,【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：因(

2

1𝑥+5

ln

12

，所以(4−

122+1

，所以函(的像关于对称，当2时(

25

ln

2

1𝑥+5

ln2单递减，根据函数的对称性知在2时调递增，试卷第17页，总25页

𝑥+1𝑚𝑚𝑚7因为()(𝑡，所以，即𝑥+1𝑚𝑚𝑚7所以

𝑡

，解得，𝑡.3故答案为：．324.【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】利用导数可得函数为增函数，把要求解的不等式转化为在恒立，𝑥−1(𝑥2𝑥)分离变后再利用导数求得函数的最大值，则实的取值范围可求．【解答】解：由于函数𝑥)𝑥sin𝑥，′𝑥)cos𝑥恒立，即有𝑥)上的增函数，对任意的𝑥，等

𝑥+1𝑥

恒立，𝑥2𝑥)

𝑥+1𝑥−1

在上成立，𝑥2𝑥)𝑥，𝑚𝑥+𝑥1)(7𝑥)𝑥恒成立．设𝑥)(𝑥𝑥1)(7，，则𝑥)−𝑥

3

𝑥

𝑥，′

𝑥)𝑥

𝑥𝑥−233

，当时，′

𝑥)，𝑥)上增函数𝑥)．max综上知符合条件的值范围．故答案为：．25.【答案】{𝑚|𝑚}【考点】与二次函数相关的复合函数问题函数恒成立问题由函数零点求参数取值范围问题【解析】将题目语言转化为函数零点存在问题，分情况讨论求解零点情.【解答】解：由题意存在𝑥

，使(𝑥)𝑥，试卷第18页，总25页

000𝑥𝑥011𝑥11+1𝑥2故000𝑥𝑥011𝑥11+1𝑥2

𝑥

+9

𝑥

0

𝑥

𝑥

100，令0使得

0

，存在𝑥，，2有，即取范围满足使有于等的数解，故存在两种情况：0

，解得{1}.故答案为：1}.三解题本共8小题每10分，计80分）26.【答案】解：由意，函(𝑥的义域为0,+，且

′

𝑥

1𝑥

，当时，

′

𝑥恒成立𝑥的单调增区间0,；当时令

′

𝑥，解得𝑥

1

，令

′

𝑥，得

1

，𝑥的单调增区间为0,，单调减区间为,．证：(𝑥

1𝑥

1𝑥𝑥𝑥

𝑥1𝑥1

，令(𝑥𝑥，则

′

𝑥1

𝑥1

，当1，

′

𝑥，(𝑥在1,）是减函数，当时(𝑥(1)0，即(𝑥()，即

1𝑥

1𝑥

，即时令(𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥

1𝑥

(𝑥1，𝑥则

′

𝑥

1111𝑥𝑥2𝑥𝑥2

2

2

𝑥12

，𝑥在1,上减函数，𝑥时𝑥恒成立，即𝑥(𝑥在1,上成立．【考点】利用导数研究函数的单调性函数恒成立问题【解析】无无【解答】解：由意，函(𝑥的义域为0,+，且

′

𝑥

1𝑥

，试卷第19页，总25页

1111+2⋅log111111当时，1111+2⋅log111111

′

)恒立的单调增区间为；当时令

′

，解得

1

，令

′

)，得

1

，的调增区间为，调减区间为,．证：(令(，

1

1

，则

′

)1

，当1时

′

)(在1,）是减函数，当时(1，即((，即

1

1

，即时令()((

1

(𝑥1，则

′

)

112

112

𝑥+12

𝑥122

，在1,上减函数，时，()(1)恒立，即(在1,上成立．27.【答案】解：)log

4loglogloglog.(即og4解得og或og4，解得或16.故不等式的解集{或.若,，得log1)(log成，即max

，,.而log

，令log

，为,，所.所以𝑡

𝑡

,在1,1]上单调递减，4所以当1时取最大值故max【考点】试卷第20页，总25页

⋅log2422222解得.[,一元二次不等式的解法函数恒成立问题⋅log2422222解得.[,【解析】【解答】解：𝑓)log2

2loglog2loglog2.22(即oglog4，22解得og或og4，2解得或.2故不等式的解集{或.2若[,，得log成，22即max

，[,.2而log2

log，2令log2

，为,，以[.2所以𝑡

2

𝑡2在上调递减，24所以当时，取最大，．max28.【答案】解：1当4，解；当时2恒成立，解；当时24，解得.不式的集；22，

2

，2

2，2

222【考点】不等式恒成立问题函数恒成立问题

].试卷第21页，总25页

解得.,绝对值不等式解得.,【解析】此题暂无解析【解答】解：1当，得；当时恒立，解；当时，得.不式的集；2，

，

，

[

.29.【答案】【考点】函数恒成立问题函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答30.【答案】【考点】函数恒成立问题绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答31.【答案】解：，用代替，,则

解方程得：

，；由意可

−2

对恒成立，令

−2

，，为

在单调递增，故，试卷第22页，总25页

2对[42𝑥32对[42)2对[42𝑥32对[42)32．

𝑡

4𝑡

𝑡

43𝑡2

,恒立因为𝑡

4𝑡

2√⋅，且仅𝑡2时，等号成立．𝑡故，实数的大为．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数恒成立问题【解析】（）奇偶性定义，换为，方程可得所求；（）得的析，𝑡2所求最大值；

，应用参数分离和对勾函数的单调性，可得（）题意可3)⋅2

(4⋅2

＝有只有一个根，令＝2

，应用指数函数的单调性，以及二次方程实根的分布，讨，可得所求范围．【解答】解：∵22，代替22，则

222⋅,

解方程得：22，22；由意可22

2−2

2

2

−2

对任恒立，令2

，，为2

在单调递增，故𝑡，2则

𝑡

4𝑡

𝑡

43𝑡2

,恒立因为𝑡

4𝑡

2√𝑡，且仅𝑡2时，等号成立．𝑡故，实数的大为．32.【答案】解：因，所以ln

2

，则

′

)，所以()，

′

，故的图象在1))处切线方程(𝑥，即（或）．因所(等价于令