2022年高三数学第一次模拟考试试题含答案(十)

2022年全国卷高三第一次模拟考试数学试卷

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第I卷(选择题)

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评卷人得分

------------------一、选择题(共8题，每题5分，共40分)

1.设下为抛物线Cf=2px(p>0)的焦点，过尸且倾斜角为60°的直线交抛物线C于48两

点(6在第一象限,A在第四象限)，。为坐标原点,过/作。的准线的垂线,垂足为M,则|OB\与

的比值为

A.V3B.2C.3D.4

2.分别对函数片sin*的图象进行如下变换:①先向左平移已个单位长度，然后将其上各点

的横坐标缩短到原来的！倍,得到片/'(x)的图象;②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍,

然后向左平移三个单位长度,得到产g(x)的图象.以下结论正确的是

A.f(x)与g(x)的图象重合

B.人力的图象向左平移三个单位长度可得g(x)的图象

C.f(x)的图象向左平移?个单位长度可得g(x)的图象

D.f(x)的图象向左平移巳个单位长度可得g(x)的图象

3.函数/'(x)=4sin(。户。)(。>0,。|,其部分图象如图所示，

则f(x)的表达式是

A.f(x)=-#sin(2片乡B.f(x)=誓sin(2『学

C.f(x)=-?sin(2叫)D.f(x)=苧sin(2叫)

4.已知尸是双曲线的一个焦点，点P在C上,。为坐标原点.若加=1的，则

的面积为

A.-B.-C.-D.-

2222

5.给出下列命题：

⑴对分类变量才与卜的随机变量*的观测值4来说,A越小，判断“X与r有关系”的把握

越大；

(2)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,则样本的方差不变；

(3)在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,其模型拟合的精度越高；

⑷设随机变量;服从正态分布M0,1),若以C1)=0,则P(-1<f<0)=i-p.

其中，正确命题的个数是

A.4B.3C.2D.1

6.在△/况1中,若前•BA+2AC•AB=CA•CB,则当的值为

sinC

A.V2BiC.立D.立

222

7.已知实数x,y满足广工+9尸工17,其中x>0,y>0,贝壮+工的最小值为

xyxy

A.士B.1C.2D.16

16

8.执行如图所示的程序框图,若输入的吟,则输出的后

A费B.|gC请D.四

256

12345678

第II卷回日选择题)

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评卷人得分

------------------二、填空题(共6题，每题5分，共30分)

(2x-3y+6>0,

9.已知动点P(x,y)满足不等式组|x+y-l>0,贝ijz=y-2x的最小值是.

10.已知关于x的不等式谟2皿-2a2>ig〉o,aw。的解集为(-劣2a),且函数

f(x)=J(》N+2nl.叽1的定义域为R,则实数卬的取值范围为.

11.已知点P是直线1:5『2产'8=0上的动点，点。在函数/'(x)=/^+21nx的图象上，则|/喇

的最小值为.

12.数列｛2｝满足&H+(T)3,=加1,则｛a,｝前40项的和为.

13.直线1过点尸(1,0),且与以力(2,1),8(0,V3)为端点的线段有公共点,则直线1的斜率k

的取值范围为.

14.若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字且任何相邻两个数字

的奇偶性都不同的六位数,则这样的六位数共有个(用数字作答).

评卷人得分

三、解答题(共6题，共80分)

15.已知以坐标原点为圆心的圆£截直线广2厂1=0所得的弦长等于警,过点0(0,-2)的直

线1交圆E于A,8两点,交x轴于点M,点A关于x轴对称的点为点。(不与点8重合)，直线

优交“轴于点儿

(D求圆《的方程；

(2)随着直线/的转动(不与y轴重合)，〃网•|创』是否为定值?请说明理由.

16.(本题满分15分)已知等差数列｛8｝满足2a,,+a/i=3k2,数列也｝满足仇=1,办厂

b,,=3a»,pGN*.

(D求数列｛a｝,｛4｝的通项公式;

⑵设数列｛片-｝的前〃项和为S,若不等式％(2b,T)WST对任意•恒成立,求实数k

的取值范围.

17.在①｛S,+4｝是公比为2的等比数列,②点(用心S)在直线片3厂4=0上,③5=4(1-

d)(/#0,q>0),am是与g2+1的等比中项这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，

若问题中的数列存在,求数列｛T一｝的前〃项和北；若问题中的数列不存在,说明理由.

(n+2)log2an

问题:是否存在数列3)满足为=4,其前n项和为S,且?

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.在中，Z4NB,/C的对边分别为a,b,c,已知向量炉(cos/氏2cos?亨-

1),ZF(C,b-2a),•ZFO.

(1)求NO的大小；

⑵若点〃为边股上一点，且满足而=而，I而|=夕,C=2V3,求△46C的面积.

19.［选修4T:不等式选讲］

已知函数f(x)~/2x~a/+/x~a+l/.

(1)当天4时,求解不等式f(x)28;

n2

(2)已知关于x的不等式f(x)在R上恒成立,求参数a的取值范围.

2'"为参数),以坐标原点。

20.在平面直角坐标系x如中，直线/的参数方程为

、=2+今

为极点,X轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线。的极坐标方程为0cos20=sin9.

(1)求直线/的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线。交于48两点求|为•阳|的值.

参考答案

1.C

【解析】抛物线c-y=2px(p>0)的焦点%0),准线下直线AB-.片旧(x-乡，与抛物线

方程联立,消去x得,V3y-2py-V3p-0.设力(旗,防),夙孙秉)，则ZF-yP,小魂"故做-

-^-p),则I〃阴将归6P代入直线48的方程得Jf2=1p,故8(|p,V3p),则

IOB\=杵+3P2普p,所以|仍|=31掰.故选C.

【备注】无

2.D

【解析】本题考查三角函数图象的变换,考查考生分析问题、解决问题的能力.

①将产sinx的图象向左平移己个单位长度得到产sinCr^)的图象,再将产sin(户乡的图象

上各点的横坐标缩短到原来的;倍,得至Uf(x)=sin(2;r^)的图象;②将产sinx的图象上各

26

点的横坐标缩短到原来的;倍,得到产sin2x的图象,再将其图象向左平移J个单位长度,得

到g{x)=sin[2(A+^)]=sin(2^)=sin[2(^+77)+7](^+77)的图象,所以F(x)的图象向左平

o312612

移合个单位长度可得g(x)的图象.故选|).

【备注】【素养落地】试题以考生熟悉的正弦函数的图象为载体，在此基础上设置问题，能

很好地达到考查考生对三角函数图象的平移与变换掌握程度的目的,突出直观想象、逻辑推

理的核心素养.

【名师指引】(1)将函数片sin3X,。>0的图象向左(0>0)或向右(。〈0)平移切个单位长

0)

度(左加右减)，得到片sin(。石0)的图象.(2)解决此类题需要特别注意:①三角函数图象

变换的口诀为“左加右减,上加下减”；②自变量的系数在非“1”状态下的“提取”技

巧;③任何平移变换都是针对x而言的.

3.B

【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的识图、用图能力.考查的核心素

养是直观想象、数学运算.

由题图可知,L(>3=W时，片-4(吟,T)为y轴左边图象的第一个最低点，即5=冷

(-3甘(7为f(x)的最小正周期)，所以及n,所以。牛2,由“五点作图法”得

2X*吟所以0冶,又f(0)=T,所以左手,即《)上枭行(2日)，故选B.

【备注】【解题关键】本题的解题关键是求/>(X)的最小正周期.需要熟记正弦函数的图象

特征.

4.B

【解析】本题主要考查双曲线的方程、定义和简单几何性质，三角形的面积等知识,考查考

生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.

因为c=a+Z>2=9,所以|网=|明=3.设点2的坐标为(％力，则/+/=9,把/=9-f代入双曲

线方程得3号所以S^\0F\•Iy„\=|.故选B.

【备注】无

5.B

【解析】(1)中，对分类变量才与r的随机变量/的观测值才来说越大，判断”才与r有

关系”的把握越大，故(1)错误；(2)中,若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,

数据的离散程度不变,则样本的方差不变,故(2)正确；(3)中,根据残差的定义可知,在残差图

中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,预测值与实际值越接近,其模型拟合的精度越高,故

(3)正确；(4)中,设随机变量f服从正态分布MO,1),若尸(f>l)=p,则狄―则P(-

1<*1)=120,所以A-K*0)三-°,故(4)正确.综上所述,正确命题的个数为3,故选B.

【备注】无

6.A

【解析】设△46C的内角A,B,C所对的边分另IJ为a,b,c,由瓦•BA+'2AC-AB=CA-CB,得

acx—理+2AX岭产化简可得a=y[2c.由正弦定理得当三鱼.

2ac2bc2absinCc

【备注】无

7.B

【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值,考查的学科素养是理性思维和数学探索.

因为+9=17,所以A+9尸17-(2+工)，因为x>0,y>0,所以(^9y)(―4--)-[17~(―+

xyxyxyx

3]•(二+3,又(x+9y)d+3=10+±+亚210+2住区16,当且仅当2=型时取"二”，即

yxyxyyx-Jyxyx

匕二;或时取"="，所以[17-C+3]•(*3216.令三+』,则即

(>一3(7=三xyy

?-17t+16^0,解得lWtW16,即1W2+%〈16,当且仅当(:二f时三+三21取“=”，当且仅

(x=l

当《：时*%16取“="，所以2+乙的最小值为1.故选B.

V=—xyxy

J12

【备注】无

8.A

【解析】执行程序框

图，5M+2X(I)1,7=3;5=1+2X(|)'+2X(i)3,7=5;^=1+2X(|)*+2X(i)3+2X(|)5,7=7;5=1+2X

(1)'+2X(1)3+2X(i)5+2Xg)7,；=9,退出循环.则输出的

41+2X(1)'+2X($3+2*(A)5+2X§7嘤.故选A.

［备注］无

9.-2

【解析】本题主要考查简单的线性规划知识,考查数形结合思想的应用.

通解可行域如图中阴影部分所示(包括边界)，作出直线片2x并平移，由图可知，当平移后

的直线经过点8时,z取得最小值.由[：=3=上得6(1,0),故z的最小值为-2.

(3%+y-3=U

优解易知可行域如图中阴影部分所示(包括边界),

易得J(-|,5),取1,0),C(3§,分别代入灰尸2x,得z的最小值为-2.

【备注】无

10.[-1,0]

【解析】当a>l时，由题意可得x~a^2a>G的解集为(-a,2a),且(e。,所以

丁+2叫加W0恒成立,这显然是不可能的.当0〈水1时，由题意可得x~a^2a<0的解集为(-

a,2a),且(Ly2+2mx-m^(1)。，即y+2mx~n论0恒成立,故对于方程x+2/nx-/i/=0,有

zl=4/n+4m^0,解得-iWzz忘0.

【备注】无

113

29

【解析】本题考查导数的几何意义以及最值问题,考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力,

考查数学运算、逻辑推理等核心素养.

因为f(x)=近+21nx(x>0),所以/'(%)二壶+:>0在(0,+8)上恒成立，所以函数/'(x)在

(0,+8)上单调递增，且恒在直线/的下£或知当函数F(x)图象的切线与直线/平行时，切

点到直线1的距离最短,即IPQ\最小.令/(工尸土+：=*得产1，所以切点的坐标为(1J)，

故Ipn\.J-2+8I_1W29

【备注】无

12.440

【解析】本题考查根据数列的递推公式计算通项公式并求和,意在考查考生的推理论证能力、

归纳概括能力与运算求解能力.

由"什(-1)3尸加1,可依次列出〃取不同值时数列项之间的关系，

当上1时，52-51=2,①

当炉2时，33+d2=3,②

当上3时，&-昕4,③

当炉4时，兴+团=5,④

由②-①得由③得当+日2=7,

当"=5时，a一匈二6,⑤

当上6时，的+a=7,(6)

当/?=7时，为一再=8,⑦

当n=8时，ag+as=9,⑧

由⑥-⑤得&i+a^=l,由⑦+⑥得冬+a=15,

类似可得311+39=1,-,@39+为7=1,

&2+包。=23,…，即{a,»2+au4}(4CN)构成一个首项为7,公差为8的等差数列，

10X()1

5to=(ai+as+as+a?+…+a37+a39)+(a2+a4+a6+as+…+a38+aio)=1X10+7X1Q+^-)X8=440.

【备注】无

13.(9,际U[1,Q)

【解析】如图，•.•孔普1,服尸粤直线/与线段AB有交点，：.依(9,-

2-10-1

V3]U[1,+oo).

【备注】无

14.288

【解析】分两步进行,第一步,先从1,3,5,7中选3个进行排列,有A%=24种排法;第二步,将

2,4,6这3个数插空排列,有2AAi2种排法♦由分步乘法计数原理得,这样的六位数共有

24X12=288(个).

【备注】无

15.(1)由题意可设圆£的方程为7+Ar(r>0),

则圆心(0,0)到直线x+2尸1=0的距离弓=£，

•W+(怜]2,即「2=2,

.••圆£■的方程为x+y=2.

(2)|朗•|如是定直理由如下：

由题意可知,直线1的斜率存在且不为0,设直线1的方程为广kx-2(V0),则腌,0).

联立直线/与圆£的方程,得仔+,：2,整理得(]+/)F4M2=0,

(y=kx-2,

4=(-4炉-4X2X(，+1)=8(/-I)>0.

设4(孙M),8(质,y2),则C(*i,-%),

・.4k2

设MR,0),则k/kg

即❷=',①

x?-X\m-x1

2kxx-2(x+x')

将y\=kx\-2,yrkx-2,代入①并整理得,庐1212

2■(%1+0)・4

4k8〃

•••麻啜尹j

由-4

二|如=尼・石=2,为定值.

k

【解析】无

【备注】【解后反思】用女将I与I公1的长度表示出来是解题的突破口，关键是七二儿的

应用,难点在于套用根与系数的关系进行化简.

16.解：（i）设等差数列｛2｝的公差为d

因为2&+酗=3叱2,所以图1：/：：唧曾j*=2

解得ai=O,d=l9

所以a=ai+（/?-l）d=n-\.

因为氏二1,除「A=30n=3,

所以当“22时，加=（方尸％）+（如1-02）+・・・+（匠加）+瓦=3〃2+3"

3+…+3°+1n12上2+1卫也

1-32•

3+1

又bi=l适合上式,所以b=2,〃£N'.

⑵由⑴可得恶=三』=品嬴不2（七一六），

22

则S=2[（含—*）+（*—含）+…+（E一焉月=20一含）=1-募，

24-l=3"T,

因为不等式"（24-1）WST对任意〃CN*恒成立，

-

所以kW[（3n+^

2

今f（n）—-=____-____7=4"]

v'〃（3八+1>3%[_3（32）2+3a1'°，

则g㈤装7?后1，所以当即后1时,FE）取到最小值W，

故"W-*

所以实数k的取值范围为（-8,一发.

【解析】本题考查的知识是“掌握等差数列、等比数列的通项公式与前〃项和公式及其应

用”.

【备注】无

17.解:方案一:选条件①.

由已知可得,S+4=4+4=8,

因为｛S+4｝是公比为2的等比数歹U,所以S,+4=8义2户=2产,

故S,=2/2-4.

当心2时,4=5••必产（2产-4）-（2户-4）

=2溜-2户

=2叫

显然，当上1时,上式也成立,

所以a„=2,1+1,

,,tl

所以log2a„=log22=/?+l,

所以品嬴1_11

(n+2)(n+l)—n+1n+2‘

11n

所以叫号…*一+----------

2n+2------2(n+2)

方案二:选条件②.

由点（a-i,S）在直线片3厂4=0上可得为H=3S+4,

当刀22时，a=3*+4,

两式相减，得&H-&=3S-3S~I=34,整理得4+i=44.

当/尸1时，由。肝尸33+4,得为=38+4=3团+4=3X4+4=16,所以珑二4团.

所以数列｛8｝是首项为4、公比为4的等比数列，

故a=4义4户=4".

所以log2^Flog24-2z7,

1(1_

所以•=

4nn+2'

(n+2)log2an(n+2)x2n

所以7；4（l-i）+J（|-；）+；（!

54nn+2

i(141

42n+l一击

2(3__1

4、2n+l-圭)

32n+3

84(n+l)(n+2)*

方案三:选条件③.

当n=\时，ai=S,即T4（1-<7）=4,得g#l.

由已知S=4（l-。）,

得当时，SH=/（1-，），

两式相减，得a=加1-力/‘，

所以a.=4/；结合的=4可得,数列㈤是首项为4,公比为q的等比数列,

由a,“是匈与a^+i的等比中项，可得成+i=a.i•an2+1,

所以（4X/）2=（4X，）x（4XqM）,

整理得q-qn2+3,

由<7>0且1W1,以及指数函数尸在R上单调可得2方7+3,

即1-2加3=0.

显然根的判别式/=（-2）4义1X3=-8〈0,

所以该方程无解,即磷+[Wai•an2+1,所以不存在这样的数列.

【解析】若选条件①，首先根据等比数列的定义求出S的表达式，然后利用&与S之间的关

系求出&,进而得数列｛——｝的通项公式,最后利用裂项相消法求和;若选条件②，首先

（n+2）logzan

列出a㈤与S的关系式,然后作差,得到数列｛&｝的递推关系,从而求劣,进而得数列

一｝的通项公式,最后利用裂项相消法求和;若选条件③,首先根据a与S之间的关

（n+2）log2an

系，得到&=4/,然后根据等比数列的性质建立等式,再利用指数函数的性质得到关于n的

一元二次方程，最后根据方程根的存在性判断数列的存在性.

【备注】常见数列的裂项方法

数列（〃为正整数）裂项方法

｛心｝（4为非零常数）

n(n+k)n(n+/c)knn+k

{，}=-----------M

l4n2-lJ4n2-l22n-l2n+l

{-^=}(A为非零常

Vn+Vn+k

r.f；-.Wn+kVn)

数)Vn+Vn+kk

n

{2n}211

(2n-l)(2n+1-l)(2n-l)(2n+1-l)-2n-l2n+1-l

{loga(l+i)}(a>0,a#l)1og,(1+；)=1og.(z?+1)Tog“〃

利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消

去了哪些项，保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.

18.(1)*.,J!ZF(COSZ2?,cosZO,n=(c,b-2a),m•n=0,

ccosN8+(Z?-2a)cosN心0,在△46C中，由正弦定理得

sin/tbos/班(sin