2022年高考数学二轮复习：基本初等函数函数与方程

2022年高考数学二轮复习：基本初等函数、函数与方程

［考情分析I1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不

等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.

考点一基本初等函数的图象与性质

I核心提炼】

1.指数函数丁=出3>0,且。W1)与对数函数y=logd(〃>0,且互为反函数，其图象关

于y=x对称，它们的图象和性质分第>1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.

2.薪函数y=Y的图象和性质，主要掌握a=l,2,3,一1五种情况.

例1(1)(2021・茂名水东中学模拟)函数负x)="与函数g(x)=log］在同一坐标系中的图象可能

是()

答案D

解析g(x)=log«!=~log«x,则函数7(x)与函数g(x)单调性相反，排除选项B,C；

再由g(l)=0可排除选项A.

(2)(2020・全国1【)若2'—2'<3r—3->,则()

A.ln(y—x+1)>0B.ln(j—x+1)<0

C.ln|x—y|>0D.ln|x-y|<0

答案A

解析设函数«r)=2*—3".

因为函数y=2'与>=-3「在R上均单调递增，

所以式x)在R上单调递增.

原式等价于2'—3r即兀0勺W),

所以x<y,即y—x>0,所以A正确，B不正确；

因为卜一乂与1的大小关系不能确定，所以C,D不正确.

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规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函

数问题时，首先要看底数a的取值范围.

(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.

跟踪演练1⑴(2021・新高考全国H)已知a=logs2,b—\og»3,c—^,则下列判断正确的是

()

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<txc

答案C

解析a=log52clogc3=]=log82吸<log83=6,即a<c<b.

logd，x>0,

⑵(2021・济南模拟)已知函数兀c)=,.I—(a>0且aWl),若函数/(x)的图象上有

卜+2|,-3WxW0

且仅有两个点关于y轴对称，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(0,l)U(3,+8)D.(0,l)U(l,3)

答案D

解析y=k>g融的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=log“(一x),函数4x)的图象上有

且仅有两个点关于y轴对称，等价于y=log.(一x)与y=|x+2|,-3WxW0的图象有且仅有一

个交点.当0<“<1时，显然符合题意(图略)；当。>1时，只需log“3>l,综上所述，

a的取值范围是(0,l)U(l,3).

考点二函数的零点

I核心提炼】

判断函数零点个数的方法

⑴利用函数零点存在定理判断.

(2)代数法：求方程犬x)=0的实数根.

⑶几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=/(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出

零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.

考向1函数零点的判断

例2(2021.沧州联考)已知於)是定义在R上周期为2的偶函数，且当xG[0,l]时，式防=2,

-1,则函数g(X)=/(X)-10g5|x|的零点个数是()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析当xe[0,l]时，1犬)=2'-1,函数y=/u)的周期为2且为偶函数，其图象关于y轴对称，

可作出函数y(x)的图象.函数y=log5|x|的图象关于y轴对称，函数y=g(x)的零点，即为两函

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数图象交点的横坐标，当x>5时，y=log5|x|>l,此时两函数图象无交点，如图,

2-

-5-^4-3-2-hp2345x

又两函数的图象在x>0上有4个交点，由对称性知它们在x<0上也有4个交点，且它们关于

y轴对称，可得函数g(x)=«t)—logsixl的零点个数为8.

考向2求参数的值或范围

[|lnx|,x>0,

例3(多选)设函数八x)=“一、…若函数g(x)=/(x)一匕有三个零点，则实数人可取

[e(x।1),xWO.

的值可能是()

A.0B.1C.gD.1

答案BCD

解析函数g(x)=fl,x)—h有三个零点等价于函数y=/(x)的图象与函数y=h的图象有三个不

同的交点，

当xWO时，<x)=(x+l)e\则/(x)=e'+(x+l)e*=(x+2)e*,

所以7U)在(-8,一2)上单调递减，在(-2,0]上单调递增，

且八一2)=一±，八0)=1,lim/(x)=0,

c.r--oo

从而可得大x)的图象如图所示，

^3~~-1o123X

通过图象可知，若函数y=«r)的图象与函数y=b的图象有三个不同的交点，则6G(0,1].

规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法

跟踪演练2(1)(2021•北京顺义区模拟)已知函数火x)=3"—『.若存在xoG(-8,-1),使

得兀吟=0，则实数。的取值范围是()

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C1-，8O

宵

案B

,1+axr/口1

解析由人x)=3,一二一=0,可得。=3'一：

令g(x)=3"—1其中尤G(—8,—1),

由于存在x()W(-8,-1),使得人xo)=o,

则实数a的取值范围即为函数g(x)在(一8,—1)上的值域.

由于函数y=3「y=—1在区间(-8,一］)上均单调递增，所以函数g(x)在(一8,一1)上单

调递增.

1_4

当xe(-8,—1)时，^(x)=3'--<3''+1=j,

又g(x)=3'—：>0,

所以函数g(X)在(一8,

因此实数a的取值范围是(0,

(2)函数1*)=9不+2cos［(x+2021)用在区间［—3,5］上所有零点的和等于()

11

A.2B.4C.6D.8

答案D

)］［021)兀］=言

解析••VU=&+2COS(X+22cos71X,

令/(x)=0,则［」］|=2COS7LT,

11

则函数的零点就是函数)，=苦彳的图象和函数y=2cos心的图象交点的横坐标，

可得y=j匕和y=2cos7tx的函数图象都关于直线x=i对称，则交点也关于直线x—i对称,

R-*I

画出两个函数的图象，如图所示.

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观察图象可知，函数丫==7］的图象和函数)'=2＜：0$兀1的图象在［-3,5］上有8个交点，

即7(x)有8个零点，且关于直线x=l对称，故所有零点的和为4X2=8.

考点三函数模型及其应用

【核心提炼】

解函数应用题的步骤

(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相

应的数学模型.

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义.

例4(1)(2020・新高考全国I)基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参

数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时

间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：&)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间f(单

位：天)的变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足Ro=l+rT.有学者基于已有数据估计出

Ro=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为

(In2弋0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=l+rT,R)=3.28,T=6,

Ro—13.28-1

得，二”一=6-=0.38.

由题意知，累计感染病例数增加1倍,

贝U/出)=2/5)，即e°.2=26°胸，

所以e°38%F)=2,即0.38(/2-ri)=ln2,

所以t—ti=

20.380.38

(2)(2021・阜阳模拟)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗

预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹

跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现

将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s,这是第一次“打水漂”，然

后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%,若要使石片的速

率低于7.84m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取In0.72—0.357,In0.93七

-0.073)()

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A.4B.5C.6D.7

答案C

解析设石片第〃次“打水漂”时的速率为匕，

则%=11.2X0.93"-1.

由11.2X0.93n~I<7.84,0.93n-'<0.7,

则（〃一l）ln0.93<ln0.7,

„„In0.7—0.357„,

即〃-1>帚丽T司而^489,则〃>5-89,

故至少需要“打水漂”的次数为6.

规律方法（1）构建函数模型解决实际问题的失分点

①不能选择相应变量得到函数模型.

②构建的函数模型有误.

③忽视函数模型中变量的实际意义.

⑵解决新概念信息题的关键

①仔细审题，明确问题的实际背景，依据新念进行分析.

②有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.

跟踪演练3（1）（2021・济南质检）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是仇。C,空气

的温度是仇0C,那么tmin后物体的温度外单位：。C）满足公式。=%+（仇一枷把一，其中k为

常数）.现有52℃的物体放在12℃的空气中冷却,2min后物体的温度是32°C.则再经过4min

该物体的温度可冷却到（）

A.12℃B.14.5℃C.17℃D.22℃

答案C

解析由题意得32=12+40e2〃，则尸=；,

则再经过4min该物体的温度可冷却到

0=12+40e/=12+40X&=17（"C）.

（2）（2021•武汉模拟）物理学规定音量大小的单位是分贝（dB）,对于一个强度为/的声波，其音

量的大小〃可由如下公式计算：〃=101g3其中/o是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们

人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量

介于40dB与60dB之间，飞机起飞时的音量约为120dB,则120dB声音的声波强度人是

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40dB声音的声波强度/2的()

A.3倍B.103倍c106倍口.1()8倍

答案D

解析依题意知〃=101g

故120=101g40=101g

12=*4=咪

10>2=A104=1

/]=/o,lO12,/2=/04104,

所以6=等'=10s-

专题强化练

一、单项选择题

1.幕函数兀V）满足式4）=3_A2）,则等于（）

A.1B.3C.一；D.—3

答案A

解析设得函数«r）=P,

则4"=3X2”,

解得a=log23,

所以述X）=M%3,

所以/（｝）=2-臃23=/

2.（2021・潍坊模拟）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:

X-2-1123

y0.240.512.023.988.02

在以下四个函数模型3,6为待定系数）中，最能反映x,），函数关系的是（）

A.y=a+bxB.y=a+"

,yx

C.y=a+\ogbXD.y=a+bx

答案D

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解析作出散点图（图略），由图知其图象与指数函数图象相似，故选D.

3.（2021.太原模拟）在同一直角坐标系中，指数函数），=6〉,二次函数）二加一法的图象可

解析指数函数了=e＞的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数y=o?—for

—（ax-b）x,有零点今0.A,B选项中，指数函数在R上单调递增，故与＞1，故A错

误，B正确.C,D选项中，指数函数尸牌在R上单调递减，故0§1,故C,D错误.

4.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化

碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平

均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗

通风后教室内二氧化碳的浓度为），％,且y随时间*单位:分钟）的变化规律可以用函数y=0.05

+几屋万QGR）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）

（参考数据ln3«l.l）

A.10分钟B.14分钟

C.15分钟D.20分钟

答案B

解析由题意知，当t=0时，＞,=0.2,所以0.05+〃°=0.2,2=0.15.所以y=0.05+

-L1t

0.15e12^0.1,解得e12W§,所以一五W—ln3,r2121n3213.2.故该教室内的二氧化碳浓

度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.

5.若函数y=logXf一ax+1）有最小值，则。的取值范围是（）

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A.\<a<2B.0<〃<2,

C.0<r/<1D.

答案A

解析令〃（无）=/—办+1,•函数y=log，/—ar+1）有最小值，.且«（x）min>0,.*.J

=tz2—4<0,

：.a的取值范围是\<a<2.

e*x<0

二二，、，其中e为自然对数的底数，则函数g(x)=3[/(x)]2—

{4X5—6A-+LX20,

10/(x)+3的零点个数为()

A.4B.5C.6D.3

答案A

解析当x20时，兀0=4/—6f+l的导数为/a)=12?—12x,

当0<r<l时，f(x)<0,4彳)单调递减；当尤>1时，f(x)>0,/(x)单调递增，可得/笛在x=l

处取得最小值，最小值为-1,且10)=1,

作出函数凡r)的图象，如图所示.

......#

g(x)=3[A刈2—1Q/W+3,

可令g(X)=0,/=兀T),

可得3户一10/+3=0,

解得t—3或r=g,

当/=；,即於)=/时，g(x)有三个零点;

当t=3时，g(x)有一个零点，

综上，g(x)共有四个零点.

7.(2020•全国I)若2"+log2a=#+210g2，则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<tr

答案B

解析由指数和对数的运算性质可得

2"+log2t/=4"+210gs=22,?+logzfe.

令/(X)=2x+log2X,则人幻在(0,+8)上单调递增，

又22h+\og2b<22h+log2/?+1=2劝+log22b,

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，2〃+log2a<22%+log226,即刎勺(2b),：.a<2b.

'X2+4X,XWO,

8.(2021・赣州模拟)已知函数/(x)=1et方程40一奴=0有4个不同的实数根,

《，x>0,

则a的取值范围是()

答案A

解析因为方程/U)一分=0有4个不同的实数根,

所以函数)，=/(x)的图象与直线y=or有4个交点，

..eA,eA(x-1)

当x>0时，f(x)=―7—

当xG(0,l)时,f(x)<0,式x)单调递减；

当x《(l,+8)时，f(X)>O,兀0单调递增，且当六*0+时，兀r)f+8,

则函数/(x)的图象如图，

当xWO时，式x)=f+4x,

/(x)=2x+4,

所以y(x)在(0,0)处的切线人的斜率k尸f(0)=4；

当x>0时，.加0=£，f(x)=e(51),

(炉八

设火X)过原点的切线，2的切点为X,---,

IQxoJ

e^(x-l)x2

则/2的斜率"=/(%0)=0=0解得xo=2,依=疝e,

若要使函数产危)的图象与直线尸办有4个交点，数形结合可得。6住4).

二、多项选择题

9.已知函数«¥)=e'-X—2,则下列区间中含/U)零点的是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

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答案AD

解析*/y（—2）=e2+2—2=e2>0,/（—1）—e^+1—2=e'—1<0,

y（0）=e°-0-2=-l<0,五1）=9-1-2=e-3<0,

X2）=e2-2-2=e2-4>0,

根据零点的存在性定理可知（一2,—1）和（1,2）存在零点.

10.（2021・潍坊模拟）已知2020"=2021,202仅=2020,c=ln2,则下列结论正确的是（）

A.10goe<log〃cB.log4>logc/?

C.ac<bcD.c0<?

答案AD

解析2020"=2021,；.aG（l,2）,

2021*^2020,.•.6G（0,l）,

c=ln2,.*.cC（O,l）,

.*.lognc<0,log*c>0,A正确；

又y=log（x为减函数，且a>b,

.'.logciivlog力,/.B不正确;

y=/在（0,+8）上单调递增，且

<f>bc,.IC不正确;

y=F在R上单调递减，且〃>6,：.^<ch,；.D正确.

11.（2021•北京市丰台区模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全

面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克

/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷泗药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）

’0.17,OWfWlO,

与时间/（分钟）之间的函数关系为y=<（1（a为常数），函数图象如图所示.如

果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间可以是（）

A.9：40B.9：30C.9：20D.9：10

答案BCD

解析根据函数的图象，可得函数的图象过点（10,1）,

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代入函数的解析式，可得解得。=1,

ro.iz,owtwio,

所以y=《(1^-1

IN

(1\io

令yW0.25,可得O.lfWO.25或W0.25,

解得0VW2.5或自30,

所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.

12.(2021•南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不

动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔(L.EJ.Brouwer),简单的讲就是对于

满足一定条件的连续函数火x),存在一个点xo,使得兀崂=如那么我们称该函数为“不动点”

函数，下列为“不动点”函数的是()

A.y(jc)=2A+xB.g(x)=f—彳-3

c.於)=/+1D.危)=|年利一1

答案BCD

解析选项A,若人xo)=xo,则2&=0,该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；

选项B,若g(xo)=xo,则看一lx。-3=0,解得％o=3或xo=-1,故B中函数是"不动点"

函数；

选项C,若/(xo)=xo,则腐+1=即，可得高一3沏+1=0,且必21,

解得X0=安6,故C中函数是“不动点”函数；

选项D,若火加=孙则|k>g2Xo|—1=XO,即［k)g2Ml=冽+1,

作出y=|log2*与y=x+l的函数图象，如图，

由图可知，方程|lOg2X|=x+l有实数根治，

即|10g2Xo|=w+l,

故D中函数是“不动点”函数.

三、填空题

13.若函数段)满足当x>0时，危)=3久当xvO时•，於)=%+1),则/(1。83号=.

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