2021版新数学一轮学案：第三章第三讲第二课时三角函数式的化简与求值含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021版新高考数学（山东专用）一轮学案：第三章第三讲第二课时三角函数式的化简与求值含解析第二课时三角函数式的化简与求值KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一三角函数式的化简—-师生共研例1化简下列各式：（1）eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β）；(2)eq\f（1，1－tanθ)－eq\f（1，1＋tanθ)；(3）eq\f（tan\f(π,4）＋α·cos2α，2cos2\f（π,4)－α).［解析］（1）原式＝eq\f（sinα·cosβ＋cosα·sinβ－2sinα·cosβ,2sinα·sinβ＋cosα·cosβ－sinα·sinβ）＝eq\f(－sinα·cosβ－cosα·sinβ，cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝eq\f(－sinα－β，cosα－β)＝－tan(α－β)．（2)原式＝eq\f(1＋tanθ－1－tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(2tanθ，1－tan2θ)＝tan2θ。（3）原式＝eq\f(sin\f(π,4）＋α·cos2α，2sin2\f(π，4）＋αcos\f(π，4）＋α）＝eq\f（cos2α,2sin\f（π,4)＋αcos\f（π，4)＋α)＝eq\f（cos2α，sin\f（π,2)＋2α)＝eq\f（cos2α,cos2α)＝1。名师点拨☞（1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用．(2)应用公式时特别注意角不要化错,函数名称、符号一定要把握准确．（3）对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．〔变式训练1〕（1）化简sin（x＋eq\f（π,3））＋2sin（x－eq\f（π，3))－eq\r（3)cos（eq\f(2π,3）－x)＝__0__。（2）（2020·开封模拟)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f(1，2）cos2αcos2β＝__eq\f（1,2）__。［解析］（1)解法一：原式＝sinxcoseq\f（π,3)＋cosxsineq\f(π，3)＋2sinxcoseq\f(π,3）－2cosxsineq\f（π，3）－eq\r(3）coseq\f(2π，3)cosx－eq\r（3）sineq\f（2π,3)sinx＝（coseq\f（π,3)＋2coseq\f(π，3)－eq\r(3）sineq\f（2π，3)）sinx＋(sineq\f（π,3)－2sineq\f（π,3)－eq\r(3)coseq\f(2π,3))cosx＝(eq\f（1,2）＋1－eq\r(3)×eq\f（\r(3），2)）sinx＋（eq\f(\r（3)，2）－eq\r(3）＋eq\r(3）×eq\f（1，2）)cosx＝0.解法二：原式＝sin(x＋eq\f(π,3））－eq\r(3)cos［π－（x＋eq\f(π，3））］＋2sin(x－eq\f（π，3))＝2sin（x＋eq\f（π，3）＋eq\f(π,3）)＋2sin（x－eq\f（π,3))＝2sin(x＋eq\f(2，3)π)＋2sin(x－eq\f（π，3））＝2sin［π＋(x－eq\f(π，3））]＋2sin（x－eq\f(π,3））＝－2sin(x－eq\f(π,3))＋2sin（x－eq\f(π,3)）＝0.(2)解法一：（从“角”入手,化复角为单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－eq\f（1,2）(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－eq\f（1,2)＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－eq\f(1，2)＝sin2β＋cos2β－eq\f（1,2)＝1－eq\f（1,2）＝eq\f（1，2)。解法二：（从“名”入手,化异名为同名）原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α）cos2β－eq\f(1,2)cos2αcos2β＝cos2β－sin2α（cos2β－sin2β)－eq\f（1，2)cos2αcos2β＝cos2β－sin2αcos2β－eq\f(1，2）cos2αcos2β＝cos2β－cos2β(sin2α＋eq\f（1,2)cos2α）＝eq\f（1＋cos2β，2)－eq\f(1，2）cos2β＝eq\f（1,2）。解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式＝eq\f(1－cos2α,2)·eq\f(1－cos2β,2）＋eq\f（1＋cos2α，2）·eq\f（1＋cos2β，2)－eq\f（1，2）cos2α·cos2β＝eq\f（1，4)（1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β＋1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－eq\f（1,2)cos2αcos2β＝eq\f（1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f（1，2)。解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ）2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ－eq\f（1,2）cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋eq\f（1，2)sin2α·sin2β－eq\f(1，2)cos2α·cos2β＝cos2（α＋β）－eq\f（1，2)·cos（2α＋2β）＝cos2(α＋β)－eq\f(1,2）·[2cos2(α＋β)－1］＝eq\f（1,2）.考点二求值问题—-多维探究角度1给角求值例2求下列各式的值．（1)eq\f（sin7°＋cos15°sin8°，cos7°－sin15°sin8°）；（2）eq\f(\r(3)tan12°－3，sin12°4cos212°－2）.[解析]（1）原式＝eq\f（sin15°－8°＋cos15°sin8°,cos15°－8°－sin15°sin8°)＝eq\f(sin15°cos8°,cos15°cos8°)＝tan15°＝tan（45°－30°）＝eq\f（tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°）＝eq\f(1－\f（\r（3)，3）,1＋\f（\r(3），3)）＝eq\f(\r(3)－1，\r（3)＋1)＝2－eq\r(3)。（2)eq\f（\r（3)tan12°－3，sin12°4cos212°－2)＝eq\f（\r(3）sin12°－\r（3)cos12°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(2\r(3)sin12°－60°,\f（1,2)sin48°）＝－4eq\r(3).名师点拨☞给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意:(1)观察角,分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；(2)观察名，尽可能使函数统一名称;(3）观察结构，利用公式，整体化简．角度2给值求值例3(2020·济南调研)已知sin（α＋eq\f(π,6))－cosα＝eq\f（1,3)，则cos(2α－eq\f（π,3））＝（D）A．－eq\f（5，18） B．eq\f(5，18）C．－eq\f（7,9) D．eq\f(7,9)［解析］由sin（α＋eq\f(π，6)）－cosα＝eq\f(1,3)，得eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f（1,2）cosα－cosα＝sin（α－eq\f（π,6））＝eq\f(1，3），得cos(2α－eq\f(π，3))＝1－2sin2（α－eq\f（π,6)）＝1－eq\f(2，9）＝eq\f(7,9),故选D．名师点拨☞给值求值问题的解题关键给值求值问题的解题关键在于“变角",把所求角用含已知角的式子表示,求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝（α＋β)－β，2α＝（α＋β）＋(α－β)，eq\f（π，4）＋α＝eq\f（π,2)－(eq\f(π,4)－α）等．角度3给值求角例4已知A，B均为钝角，sin2eq\f(A,2)＋cos(A＋eq\f（π,3）)＝eq\f（5－\r(15)，10），且sinB＝eq\f(\r（10),10），则A＋B＝(C）A．eq\f（3π，4) B．eq\f（5π,4)C．eq\f(7π,4） D．eq\f（7π,6）[解析］由题意知eq\f（1,2）(1－cosA）＋eq\f（1,2）cosA－eq\f（\r（3），2）sinA＝eq\f（1,2）－eq\f(\r(15），10），得sinA＝eq\f（\r（5）,5），sinB＝eq\f(\r(10），10).A,B均为钝角，π〈A＋B<2π，cosA＝－eq\f(2\r(5），5)，cosB＝－eq\f（3\r（10）,10)，cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝(－eq\f（2\r(5)，5））×(－eq\f(3\r(10）,10）)－eq\f(\r(5)，5)×eq\f(\r（10)，10）＝eq\f(\r(2)，2)〉0，那么，eq\f(3π,2)<A＋B<2π,所以A＋B＝eq\f（7π,4)，故选C．名师点拨☞(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角．(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数;②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数;若角的范围是(0，eq\f（π,2)），选正、余弦皆可;若角的范围是（0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－eq\f（π,2），eq\f（π,2）），选正弦较好．〔变式训练2〕（1）（角度1）eq\r(3）cos15°－4sin215°cos15°＝（D)A．eq\f（1，2） B．eq\f(\r(2)，2）C．1 D．eq\r(2)（2)(角度2）（2020·黑龙江哈师大附中模拟）已知α∈(0，eq\f(π,2)),且2cos2α＝cos（eq\f(π,4）－α),则sin2α的值为（C)A．eq\f（1，8) B．－eq\f(1,8)C．eq\f(7，8) D．－eq\f(7,8）（3）(角度3）已知sinα＝eq\f（\r（5),5）,sin（α－β)＝－eq\f（\r(10)，10），α，β均为锐角，则角β等于（C)A．eq\f(5π，12) B．eq\f（π,3)C．eq\f（π，4) D．eq\f（π,6)[解析］（1)eq\r(3）cos15°－4sin215°cos15°＝eq\r（3)cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°－2sin15°·sin30°＝eq\r（3)cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°）＝2cos45°＝eq\r(2），故选D．(2）由题意可得2（cos2α－sin2α)＝coseq\f(π，4)cosα＋sineq\f（π，4)sinα，即2（cosα＋sinα）(cosα－sinα)＝eq\f(\r(2），2)(cosα＋sinα)．由α∈（0，eq\f(π,2))，可得cosα＋sinα≠0,所以cosα－sinα＝eq\f（\r（2）,4）,等式两边平方，可得1－sin2α＝eq\f(1,8），所以sin2α＝eq\f(7，8)，故选C．(3)∵0〈α〈eq\f（π,2），0〈β〈eq\f（π，2）,∴－eq\f（π,2）〈α－β〈eq\f(π,2），∴cosα＝eq\r(1－sin2α）＝eq\f（2\r（5)，5），cos（α－β）＝eq\r(1－sin2α－β）＝eq\f（3\r(10),10)∴sinβ＝sin[α－(α－β）］＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β)＝eq\f（\r（5)，5）×eq\f(3\r(10），10）－eq\f（2\r（5）,5)×（－eq\f(\r(10），10）)＝eq\f（\r(2），2）,∴β＝eq\f（π,4），故选C．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升辅助角公式的应用在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；eq\f(A,2）＋eq\f(B,2）＋eq\f（C,2）＝eq\f(π，2).三角函数的结论有：sin(A＋B）＝sinC，cos(A＋B）＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\f（A＋B，2)＝coseq\f（C,2)，coseq\f(A＋B,2）＝sineq\f(C，2)。A〉B⇔sinA〉sinB⇔cosA<cosB．例5（1)设A,B是△ABC的内角，且cosA＝eq\f（3，5），sinB＝eq\f（5，13)，则sinC＝（D)A．eq\f（63,65)或－eq\f（16，65) B．eq\f(16，65)C．eq\f(16，65）或－eq\f(63，65） D．eq\f（63，65)（2)（2020·河北唐山一中质检)在△ABC中,若sin（A－B)＝1＋2cos（B＋C）sin（A＋C），则△ABC的形状一定是（D）A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形 D．直角三角形［分析](1）由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB知求sinA、cosB即可．(2）利用cos（B＋C）＝－cosA，sin(A＋C)＝sinB及两角差的正弦公式求解．[解析](1)∵cosA＝eq\f(3，5），0〈A<π，∴A为锐角，且sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f（4，5）.又sinB＝eq\f（5,13）〈sinA,∴B<A，∴B为锐角且cosB＝eq\r（1－sin2B）＝eq\f(12，13）。∴sinC＝sin［π－（A＋B）］＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(63，65）.故选D．(2)∵sin（A－B）＝1＋2cos（B＋C）·sin（A＋C)，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin（A＋B）＝1，∴sinC＝1，又0<C〈π，∴C＝eq\f(π，2），∴△ABC为直角三角形，故选D．［误区警示]本题（1）极易求得两解，问题出在∠B上，因为由sinB＝eq\f（5,13），可得两个B值，考虑A的因素，只有一个适合,因此sinC只有一个结果．名师点拨☞利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件,再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B⇔a〉b⇔sinA〉sinB，知B为锐角．〔变式训练3〕(1)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r（2)sin（π－B)