名师教案1 高中数学人教A版2019必修 第二册 平面与平面垂直

第八章立体几何初步课时8.6.3空间直线、平面的垂直（03）平面与平面垂直1.理解二面角及其平面角的概念,会作简单的二面角的平面角。2.掌握两个平面互相垂直的概念,能用定义和定理判定面面垂直。3.掌握平面与平面垂直的性质定理,会用相关定义、定理解决平面与平面垂直问题。基础过关练题组一平面与平面垂直的判定1.对于直线m,n和平面α,β,一定能得出α⊥β的一组条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂βC.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β2.下列命题正确的是()A.过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直B.过平面外一点有无数个平面与这个平面平行C.过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直D.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行3.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有()A.1对 B.2对 C.3对 D.5对4.四面体P-ABC中,PA=PB=PC,底面ABC为等腰直角三角形,AC=BC,O为AB的中点,以下平面中,两两垂直的有.(填序号)

①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC;⑤平面POC.5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别是A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE.题组二平面与平面垂直的性质定理6.已知两个平面互相垂直,给出下列命题:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中不正确命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.07.正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点,则CD与GF所成角的余弦值为()A.36 B.-36 C.668.如图,矩形ABCD中,E为BC的中点,现将△BAE与△CDE折起,使得平面BAE和平面CDE都与平面DAE垂直.求证:BC∥平面DAE.9.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AB,求证:PA⊥BC.题组三二面角10.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为()A.60° B.30° C.45° D.15°11.如图,正方形ABCD沿对角线AC折叠后,平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为()A.32 B.12 C.3312.如图,在一个60°的二面角的棱上有A、B两点,线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱AB,且AB=AC=1,BD=2,则CD的长为()A.22 B.3 C.2 D.513.如图,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,E、F分别在棱AC、AD上,且BE⊥AC于E,BF⊥AD于F,则下列说法正确的有()①∠ACD是直角;②∠BEF是异面直线BE与CD所成的角;③∠CDB是直线CD与平面ABD所成的角;④∠BFE是二面角B-AD-C的平面角.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个14.如图,已知四边形ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,SA垂直于平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求直线SC与平面SAD所成角的正弦值;(2)求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值.能力提升练题组一平面与平面垂直的判定1.如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,将△AED沿DE翻折成△A'ED,在翻折过程中,下列命题中真命题的个数为()①恒有A'F⊥DE;②异面直线A'E与BD不可能垂直;③恒有平面A'GF⊥平面BCDE;④动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.A.1 B.2 C.3 D.42.(多选)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起,设折起后点A的位置为A',并且平面A'BD⊥平面BCD,则下列说法正确的有()A.A'D⊥BCB.三棱锥A'-BCD的体积为2C.CD⊥平面A'BDD.平面A'BC⊥平面A'DC3.如图,直三棱柱ABC-DEF的底面是边长为2的正三角形,侧棱AD=1,P是线段CF的延长线上一点,平面PAB分别与DF、EF相交于M、N.(1)求证:MN∥平面CDE;(2)当PF为何值时,平面PAB⊥平面CDE?题组二平面与平面垂直的性质定理4.如图,三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,平面ABD⊥平面BCD,BC=CD=AD=1,BD=2,AB=3,则球O的表面积为.

5.在菱形ABCD中,AB=2且∠ABC=60°,点M、N分别是CD、AD的中点,将四边形ANMC沿AC转动,使得MN转动至EF的位置,形成如图所示的多面体,分别取BF、DE的中点P、Q.(1)求证:PQ∥平面ABCD;(2)若平面AFEC⊥平面ABCD,求多面体ABCDFE的体积.题组三二面角6.直角△ABC中,AB=AC=3,D为BC边上一点,沿AD将△ACD折起,使点C在平面ABD内的射影H恰好在AB上,若AH=1,则二面角C-AD-B的余弦值是()A.13 B.23 C.337.如图,在三棱锥P-ABC中,PB=BC=a,PA=AC=b(a<b),设二面角P-AB-C的平面角为α,则()A.α+∠PCA+∠PCB>π,2α<∠PAC+∠PBCB.α+∠PCA+∠PCB<π,2α<∠PAC+∠PBCC.α+∠PCA+∠PCB>π,2α>∠PAC+∠PBCD.α+∠PCA+∠PCB<π,2α>∠PAC+∠PBC8.如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E、F分别是BC、AD的中点,将四边形ABEF沿EF折起,使得二面角A1-EF-D的大小为120°(如图2),则B1C=;三棱锥B1-CDE的外接球的表面积为.

9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,∠BCC1=π2,AB⊥面BB1C1(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值;(2)在棱CC1(不包含端点)上确定一点E,使得EA⊥EB1(要求说明理由);(3)在(2)的条件下,若AB=2,求二面角A-EB1-A1的大小.10.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A、B的点,PC⊥平面ABC,E、F分别是PA、PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)设PC=2AB,求二面角E-l-C大小的取值范围.11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为AC的中点.(1)当AE=12EA1时,求证:DE⊥BC1(2)在线段AA1上是否存在点E,使二面角A-BE-D的大小为30°?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.答案全解全析基础过关练1.CA中,α也可与β平行;B中,不一定有α⊥β;C中,∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β;D中,α∥β.故选C.2.C过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,∴A错;过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,∴B错;∵过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,而过这条直线的平面有无数个,∴由平面与平面垂直的判定定理,知这无数个平面都与已知平面垂直,∴C正确;过平面外一点有无数条直线与这个平面平行,∴D错.故选C.3.D∵四边形ABCD是矩形,∴DA⊥AB.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA.又AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB.同理,BC⊥平面PAB.又易证AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,∴平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.4.答案①②,①⑤,②⑤解析∵PA=PB,AC=BC,O为AB的中点,∴OP⊥AB,OC⊥AB,又OP∩OC=O,∴AB⊥平面POC,又AB⊂平面PAB,AB⊂平面ABC,∴平面PAB⊥平面POC,平面ABC⊥平面POC.底面ABC为等腰直角三角形,PA=PB=PC,∴PC2=PA2=PO2+OA2=PO2+OC2,∴PO⊥OC,又PO⊥OA,OC∩OA=O,∴PO⊥平面ABC,∵PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.故答案是①②,①⑤,②⑤.5.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB,又AB⊥BC,BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG.∵E、F、G分别是A1C1、BC、AB的中点,∴FG∥AC,且FG=12AC,EC1=12A1C∵AC∥A1C1,且AC=A1C1,∴FG∥EC1,且FG=EC1,∴四边形FGEC1是平行四边形,∴C1F∥EG,又EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,∴C1F∥平面ABE.6.B作正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示.一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线,如已知平面ABCD⊥平面ABB1A1,AB⊂平面ABCD,又A1B⊂平面ABB1A,但A1B与AB不垂直,故①错误;一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线,如已知平面ABCD⊥平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,在平面ABCD中,所有与BC平行的直线都与A1B垂直,故②正确;一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面,如平面ABCD⊥平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,但A1B与平面ABCD不垂直,故③错误;过一个平面内任意一点作交线的垂线,利用面面垂直的性质定理,知垂线一定垂直于另一个平面,故④正确.故选B.7.C连接AG,如图所示.∵四边形ACDE为正方形,∴AE⊥AC,AE∥CD.∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AE⊂平面ACDE,∴AE⊥平面ABC,∵AG⊂平面ABC,∴AE⊥AG.∵AC=BC=2,∠ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点,∴AG=AC2+C∴FG=AG2+A∴cos∠AFG=AFFG=66.∵AE∥CD,∴CD与GF所成角的余弦值为668.证明过点B作BM⊥AE于M,过点C作CN⊥ED于N,连接MN.∵平面BAE与平面DAE垂直,平面BAE∩平面DAE=AE,BM⊥AE,BM⊂平面BAE,∴BM⊥平面DAE,同理可证CN⊥平面DAE,∴BM∥CN.∵△BAE与△CDE全等,∴BM=CN,∴四边形BCNM是平行四边形,∴BC∥MN.又BC⊄平面DAE,MN⊂平面DAE,∴BC∥平面DAE.9.证明过点B作BD⊥AC于点D.∵平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,∴BD⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,∴PA⊥BD,又PA⊥AB,AB∩BD=B,AB⊂平面ABC,BD⊂平面ABC,∴PA⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.10.C由题意得PA⊥BC,AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.故选C.11.C设正方形的边长为a,取AC中点O,连接BO,则BO⊥AC.过O作AD的平行线OE交CD于E,连接BE.∵平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,BO⊥AC,∴BO⊥平面DAC,∴BO⊥CD,又OE⊥CD,∴CD⊥平面BOE,∴CD⊥BE,∴∠BEO即为二面角B-CD-A的平面角.∵BO=22a,OE=a∴由BO⊥OE得,BE2=BO2+OE2=34a2,∴BE=3∴cos∠BEO=OEBE=a2312.C过点A作AE∥BD,且AE=BD,连接DE、CE,∵BD⊥AB,∴AE⊥AB,又AC⊥AB,∴∠CAE即为二面角的平面角,∴∠CAE=60°,∴CE=CA2+AE2∵AC⊥AB,AE⊥AB,AC∩AE=A,∴AB⊥平面CAE.由AE∥BD,AE=BD,知四边形ABDE为平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB,∴DE⊥平面CAE,又CE⊂平面CAE,∴DE⊥CE,∴CD=CE2+D故选C.13.C∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,又BC⊥CD,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC,∴CD⊥AC,∴∠ACD是直角,故①正确;CD与EF不一定平行,故②错误;∵AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD,故C在平面ABD上的射影在BD上,故∠CDB是直线CD与平面ABD所成的角,故③正确;由①知CD⊥平面ABC,故CD⊥BE,又BE⊥AC,故BE⊥平面ACD,故BE⊥AD,又AD⊥BF,故∠BFE是二面角B-AD-C的平面角,故④正确.故选C.14.解析(1)∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BA,又DA⊥BA,∴BA⊥平面SAD,∴点B到平面SAD的距离为BA=2.∵BA⊂平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面SAD.过点C作CG⊥AD,交AD的延长线于点G,∵平面ABCD∩平面SAD=AD,∴CG⊥平面SAD,连接SG,则∠CSG为直线SC与平面SAD所成的角.∵BC∥AD,∴CG=BA=2.由题意得SC=23,∴sin∠CSG=CGSC=3∴直线SC与平面SAD所成角的正弦值为33(2)延长BA,CD,设E点是它们的交点,连接SE,则所求二面角延展为二面角C-SE-B.∵DA⊥BA,DA⊥SA,∴DA⊥平面SAB.∴DA⊥SE.在平面SAB内过A作AF⊥SE于点F,连接DF,∵AF∩DA=A,∴SE⊥平面FAD,又DF⊂平面FAD,∴DF⊥SE,∴∠AFD是二面角C-SE-B的平面角.由题意得,AE=AB=AS=2,∴AF=2,∴tan∠AFD=ADAF=2∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值为22能力提升练1.C易知G为DE的中点,A'D=A'E,FE=FD,∴FG⊥DE,A'G⊥DE,又FG∩A'G=G,故DE⊥平面FGA',又A'F⊂平面FGA',故A'F⊥DE,①正确;易知EF∥BD,故异面直线A'E与BD所成角(或其补角)为∠A'EF,当A'E2+EF2=A'F2时,异面直线A'E与BD垂直,②错误;由①证得DE⊥平面FGA',又DE⊂平面BCDE,故平面A'GF⊥平面BCDE,故③正确;由③证得平面A'GF⊥平面BCDE,故动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上,故④正确.故选C.2.CD∵AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∴∠DBC=∠ADB=45°.又∠BCD=45°,∴△BCD为等腰直角三角形.∵平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,∴CD⊥平面A'BD,∴C正确.取BD的中点E,连接A'E.∴A'E⊥BD,又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,∴A'E⊥平面BCD,∴A'E⊥BC,若A'D⊥BC,则可得到BC⊥平面A'BD,∴BC⊥BD,与已知矛盾,∴A错误.三棱锥A'-BCD的体积为13×12×2×2×22在Rt△A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,∴A'C=3.在△A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=3,满足BC2=A'B2+A'C2,∴BA'⊥CA',又BA'⊥DA',∴BA'⊥平面A'DC,∴平面A'BC⊥平面A'DC,∴D正确.3.解析(1)证明:由题意得,AB∥DE,AB⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,∴AB∥平面DEF.∵平面PAB∩平面DEF=MN,∴AB∥MN,∴DE∥MN,又MN⊄平面CDE,DE⊂平面CDE,∴MN∥平面CDE.(2)分别取线段AB、DE的中点G、H,连接CG,GH,CH,PG,则GH∥CP,∴P、C、G、H四点共面.易得Rt△PCA≌Rt△PCB,∴PA=PB,∴PG⊥AB.∵AB∥DE,∴PG⊥DE.若PG⊥CH,则PG⊥平面CDE,∴平面PAB⊥平面CDE.此时∠CPG=∠HCG,则PCCG=CG∵△ABC是边长为2的正三角形,∴CG=2sin60°=3.又GH=1,∴PC=CG∴PF=PC-FC=2,∴当PF=2时,平面PAB⊥平面CDE.4.答案3π解析如图,由AD=1,BD=2,AB=3,得AD2+BD2=AB2,则AD⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,∴AD⊥平面BCD,∴AD⊥BC.∵BC=CD=1,BD=2,∴BC2+CD2=BD2,∴BC⊥CD.∵AD∩CD=D,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC.取AB的中点O,则O为三棱锥A-BCD的外接球的球心.外接球的半径R=12AB=3∴球O的表面积为4πR2=4π×325.解析(1)证明:取BE的中点R,连接PR,QR,BD.∵P、Q分别是BF、DE的中点,∴PR∥EF,QR∥BD.又∵EF∥AC,∴PR∥AC,∵PR⊄平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PR∥平面ABCD,同理可得QR∥平面ABCD,又PR∩QR=R.∴平面PQR∥平面ABCD,又PQ⊂平面PQR,∴PQ∥平面ABCD.(2)设AC、BD交于点O,易知BD⊥AC.又∵平面AFEC⊥平面ABCD,平面AFEC∩平面ABCD=AC,∴BD⊥平面AFEC,∴多面体ABCDFE可以分解为四棱锥B-ACEF和四棱锥D-ACEF.在菱形ABCD中,AB=2,且∠ABC=60°,∴AC=2,BD=23,EF=AC2梯形ACEF的面积为S梯形ACEF=12(EF+AC)·BD4=则V多面体ABCDFE=13S梯形EFAC·BD=3方法总结求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决;②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.6.A过H作HG⊥AD,垂足为G,连接CG.由题意得CH⊥平面ABD,所以CH⊥AD,所以AD⊥平面CHG,所以AD⊥CG,所以∠AGH=∠AGC=90°,所以∠CGH(或其补角)为二面角C-AD-B的平面角.因为∠BAD+∠CAD=90°,所以若设∠BAD=α,则∠CAD=90°-α.在Rt△ACH中,AC=3,AH=1,则CH=2.在Rt△AGH中,HG=AH·sinα=sinα.在Rt△ACG中,CG=AC·sin(90°-α)=3cosα.在Rt△CGH中,由CH2+HG2=CG2,得2+sin2α=3cos2α,解得sinα=12,cosα=32,所以HG=12,CG=32,所以cos∠CGH=故选A.7.C如图(1),取PC的中点D,连接AD、BD,由PB=BC=a,PA=AC=b得BD⊥PC,AD⊥PC,又BD∩AD=D,∴PC⊥平面ABD.作PM⊥AB于M,连接MC,由△ABP≌△ABC,可得CM⊥AB,∴∠PMC=α.设PM=CM=h,则h<a<b,由图(2)可得α2=∠PMC2>∠∴2α>∠PCA+∠PCB>∠PBC2+8.答案23;20π解析由二面角的定义可知,二面角A1-EF-D的平面角为∠B1EC=120°.在△B1EC中,由余弦定理可得B1C=E=4+4−2×2×2×-12∵EF⊥B1E,EF⊥EC,B1E∩EC=E,B1E,EC⊂平面B1EC,∴EF⊥平面B1EC.又EF∥CD,∴CD⊥平面B1EC.△B1EC的外接圆半径r=B1则三棱锥B1-CDE的外接球半径R=r2+CD22∴三棱锥B1-CDE的外接球的表面积为4π×(59.解析(1)易知三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,∴C1B在平面ABC上的射影为CB,∴∠C1BC为直线C1B与底面ABC所成角.∵CC1=BB1=2,BC=1,∴tan∠C1BC=2,即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.(2)当E为CC1的中点时,EA⊥EB1.连接BE.∵CE=EC1=1,BC=B1C1=1,∴∠BEC=∠B1EC1=45°,∴∠BEB1=90°,即B1E⊥BE.∵AB⊥平面BB1C1C,EB1⊂平面BB1C1C,∴AB⊥EB1.∵BE∩AB=B,∴EB1⊥平面ABE,又AE⊂平面ABE,∴EA⊥EB1.(3)取EB1的