2019年高考真题和模拟题分类汇编（文科）数学打包共12个专题（全）

专题01集合与常用逻辑用语

1.【2019年高考全国I卷文数】已知集合

-={123,4,5,6,7。A={2,3,4,5},5={2,3,6,7}，则B”=

A.{1,6}B.{1,7}

C.{6,7}D.{1,6,7}

【答案】C

【解析】由已知得Q,，A={I,6,7},

所以8Q,,A={6,7}.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求

解.

2.【2019年高考全国II卷文数】已知集合4={幻">-1},5={x|x<2},则AnB=

A.(-1,+oo)B.(-0=,2)

C.(-1,2)D.0

【答案】C

【解析】由题知，A3=(-1,2).

故选C.

【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算

能力的考查.易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题.

3.【2019年高考全国III卷文数】已知集合4={-1,0,1,2},5="|炉41},则4B=

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】Vx2<1,-1<x<bB={x|-l<x<1},

又4={一1,0,1,2},.\4B={-1,0,1).

故选A.

【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.

4.[2019年高考北京文数】已知集合9={x|-l<x<2},8={x|x>l},则AU8=

A.(-1,1)B.(1,2)

C.(-1,+co)D.(1,+8)

【答案】c

【解析】•••A={x]—l<x<2},5={x|>l},

AA5=(-1,4w).

故选C.

【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.

5.【2019年高考浙江】已知全集。={一1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},

3={-1,0,1},则@A)B=

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】A

【解析】•••gA={-l,3},.•.(Q/A)8={-1}.

故选A.

【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.

6.[2019年高考天津文数】设集合

A={-l,l,2,3,5},3={2,3,4},C={xeR|l«x<3},贝iJ(AC)B=

A.{2}B.{2,3}

C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】因为AC={1,2},所以（AC）8={1,2,3,4}.

故选D.

【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，

同时注意数形结合，叩借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.

7.【2019年高考天津文数】设xwR，则"0<x<5"是“|x-1|<1"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分

条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由可得0<x<2,

易知由0cx<5推不出0<x<2,

由0<x<2能推出0<x<5,

故0<x<5是0<x<2的必要而不充分条件，

即"0<x<5”是“1X一1|<1"的必要而不充分条件.

故选B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x的取值范

围.

8.[2019年高考浙江】若o>0,b>0,则“a+b"”是“出?44”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当。时，a+h>2y[ab.则当a+/?K4时，有2点<〃+/?44,

解得就K4,充分性成立；

当a=l,b=4时，满足质W4,但此时a+b=5>4,必要性不成立，

综上所述，“a+bW4”是“HW4”的充分不必要条件.

故选A.

【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵

活地应用“赋值法”，通过取。力的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

9.[2019年高考全国II卷文数】设a,6为两个平面，则a\\6的充要条件是

A.a内有无数条直线与6平行B.a内有两条相交直线与6平行

C.a,6平行于同一条直线D.a,6垂直于同一平面

【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：a内有两条相交直线都与£平行是。〃尸的充分

条件；

由面面平行的性质定理知，若a〃6,则Q内任意一条直线都与夕平行，所以a内有

两条相交直线都与B平行是a//p的必要条件.

故a〃4的充要条件是a内有两条相交直线与“平行.

故选B.

【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理

记不住，凭主观臆断.

10.[2019年高考北京文数】设函数/(x)=cosx+bsinx(b为常数)，则“b=0”是7r

(x)为偶函数”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当。=0时，/(x)=cosx+/?sinx=cosx,/(x)为偶函数；

当/*)为偶函数时，f(-x)=/(%)对任意的x恒成立，

由f(—x)=cos(—x)+bsin(—x)=cosx-sinx,得

cosx+Z?sinx=cosx—Z?sinx,

则teinx=0对任意的x恒成立，

从而》=0.

故“b=0”是“/(X)为偶函数”的充分必要条件.

故选C.

【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

11.【2019年高考江苏】已知集合4={-1,0,1,6},5={x|x>0,xeR},则AB

【答案】［1,6}

【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.

由题意知，A5={1,6}.

【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.

12.【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测(三)数学】已知集合

A={(x,y)|x+y<2,x,yeN},则A中元素的个数为

A.1B,5

C.6D.无数个

【答案】C

【解析】由题得A={((),0),((),1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,())},

所以A中元素的个数为6.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平和分析推理能力.

13.【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】命题

“力)wR,*+/+1<0"的否定为

A.3x()eR,+x0+1>0B.Bx0eR,+x0+1<0

C.Vx0eR,XQ+x0+1>0D.Vx0R,XQ+x0+1>0

【答案】C

【解析】由题意得原命题的否定为Vx0eR，V+x()+l>0.

故选c.

【名师点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命

题，特称命题的否定是全称命题.

14.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)考试】已

知集合A={x=<l},B={x[3'<l},则

A.A8={x|x>l}B.AB=R

C.AB={x[x<()}D.AB=0

【答案】C

【解析】集合B={x|3，<l},即6={x|x<0},

而A={x|x<l},

所以A8={x|x<l},A8={x|x<0}.

故选C.

【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.

15.【北京市通州区2019届高三三模数学】已知集合。={0,1,2},Q={x\x<2},

贝"Q=

A.{0}B.{0,1}

C.{1,2}D.{0,2}

【答案】B

【解析】因为集合「={。」,2},Q={x|x<2},所以P0={0,1}.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.

16.【北京市昌平区2019届高三5月综合练习(二模)数学】已知全集U=R,集合

A=[X\X2<1},则M从=

A.(―℃,—1)(l,+oo)B.(―0o,—1][1,+<»)

C.(-1,1)D,[-1,1]

【答案】A

【解析】因为A=={xl-lWl},

所以品A={x[x<-1或x>l},

表示为区间形式即(TO,T)(1,+。。).

故选A.

【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

17.【福建省龙岩市(漳州市)2019届高三5月月考数学】已知集合4={刈％21},

5={%|2x-3>0}，则AB=

A.0+8)B.[1,-KO)

C-(I*)D.[O.|)

【答案】B

【解析】因为5={x|2x—3>()}={x|x>g},A={x\x>\},

所以AB=[l,+co).

故选B.

【名师点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题.

18.【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设集合A={x|-1<X<2,XGN},

集合B={2,3},则AU3等于

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3）

C,{1,2,3}D.{2}

【答案】B

【解析】因为集合4={划一1。42,彳6附={0,1,2},8={2,3},

所以A8={0,1,2,3}.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中正确

求解集合A,熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能

力，属于基础题.

19.【湖北省安陆一中2019年5月高二摸底调考数学】已知集合A={（）,1,2},

B={a,2},若BgA,贝ija=

A.0B.0或1

C.2D.0或1或2

【答案】B

【解析】由,可知3={0,2}或3={1,2},

所以"0或1.

故选B.

【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合中元素的互异性，属于基础

题.

20.【天津市第一中学2019届高三下学期第五次月考数学】设xeR，贝是

“x--<L的

22

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由％可得％<1,

由x—<一可得0<x<l,

22

据此可知"d<1"是"卜一曰<g"的必要而不充分条件.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在

考查学生的转化能力和计算求解能力.

21.【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学】若“>1,贝『'优是

"log“x>log“y”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

c.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由a>l,得a*>加等价为x>y;

log“x>log“y等价为x>y>0,

故"优>是"log,,x>log,,y"的必要不充分条件.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指数函数和对数函数的

单调性，掌握充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.

22.【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学】“0<2"是"方程

22

二+工一=1表示椭圆”的

m2-m

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

m>0

【解析】方程=1表示椭圆，即<2—机>0=0</i<2且加wl

m2-m

m于2—m

所以"0<m<2"是"方程三+」一=1表示椭圆”的必要不充分条件.

m2-m

故选C.

【名师点睛】本题考查了椭圆的概念，充分条件和必要条件的判断，容易遗漏椭

圆中〃2#2,属于基础题.

23.【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设a,b是空间两条直线，则

"a,b不平行"是"a,b是异面直线”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由a,b是异面直线=a,b不平行.

反之，若直线a,b不平行，也可能相交，不一定是异面直线.

所以"a,b不平行"是"a,b是异面直线”的必要不充分条件.

故选B.

【名师点睛】本题考查了异面直线的性质、充分必要条件的判定方法，属于基础

题.

24.【北京市人大附中2019年高考信息卷（三）】设“，b为非零向量，贝旷是

"a与b方向相同”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为。，。为非零向量，所以勺|万时，。与白方向相同或相反，

因此"a2"是与方方向相同"的必要而不充分条件.

故选B.

【名师点睛】本题考查充要条件和必要条件的判断，属基础题.

25.【江西省名校(临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试数学】已知集合

4=卜产+2x-3WO},8=卜|五<2}，则AB-

A.1x|-3<x<l}B,{x[0<x<l}

C.{x卜3<x<l}D,^x|-l<x<0|

【答案】B

【解析】因为A={X|-34XW1},6={X|0KX<4},

所以AB-{x|0<x<l}.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平和分析推理能力.

26.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学】已知集合

A={x|y=J(D(x+3)},3={x|k)g2X<l},则AB=

A.{x|-3<x<l}B,{x|0<x<l}

C.{x|-3<x<2}D.{x\x<2}

【答案】B

【解析】由二次根式有意义的条件，可得(1-x)(x+3)i(),

解得-3WE,

所以而={小=«_X)。+3)}={幻-3。七1}.

由对数函数的性质可得log2X«log22,

解得0<x<2,

所以8={x|log2X<l}={%|0<x<2},

所以AB={x|O<x<l}.

故选B.

【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合

的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于

集合A且属于集合3的元素的集合.

27.【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习(二)数学】设集合

A==,B={y|y=2\x43},则集合值A)IB=

A.{x\x<3}B.{x\x<3}

C.{x|()vxv3}D.{x|()<x<3}

【答案】C

【解析】因为A={x|y=Jx_3}={x|x23}，所以隼4={小<3},

又8=3"2，,％«3}=3。<”8},

所以(\A)B={x[0<x<3}.

故选C.

【名师点睛】本题考查了集合的交集运算、补集运算，正确求出函数y=

的定义域，函数y=2\x<3的值域是解题的关键.

28.【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三）】"人=Y3，是"直线

3

/:丁=左（“+2）与圆》2+〉2=1相切”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为直线/：y=k（x+2）与圆f+y2=i相切，

\2k\百

所以/,=L贝！Ik-±.

JG+13

所以"k=左"是"直线l--y=伙X+2）与圆/+V=1相切”的充分不必要条件.

3

故选A.

【名师点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

29.【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）数学】已知等差数列

{4}的首项为q，公差d声。,贝『4，。3，4成等比数列"是"4=“"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若4，%，弓成等比数列，则的2=的9,

即（%+2d）2=q（q+8d），变形可得％=△,

贝/4,4,%成等比数列"是"％=△”的充分条件；

若q=d，则％=4+2d=3d,佝=4+8d=9d,则有=aiag,

贝/4，%,为成等比数列"是"4=d"的必要条件.

综合可得："4,%，佝成等比数列"是"％=""的充要条件.

故选C.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质，充分必要条件的

定义与判断，属于基础题.

30.【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若"无>3"是的必要不充分

条件，则〃?的取值范围是.

【答案】（3,+刃）

【解析】因为“x>3"是"x>〃z"的必要不充分条件，

所以（根,”）是（3,”）的真子集，所以m>3,

故答案为（3,+8）.

【名师点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数的值，由题意得到（相,欣）是

（3,+0。）的真子集是解答的关键，属于基础题.

31.【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届高三一诊数学】设集合A={幻|x—2|W2},B=

[y\y=-x2,-1<x<2},则AnB-.

【答案】{0}

【解析】求解绝对值不等式|工-2|<2可得力={x|0<x<4},

求解函数y=-x2,-l<x<2的值域可得B={y|-4<y<0},

由交集的定义可知：ACB={0}.

故答案为{0}.

【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的值域，交集的定义及其

应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

32.【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测数学】设a,/?为两个不同平

面，直线mua,则"a〃邛是"的条件.

【答案】充分不必要

【解析】根据题意，a,6表示两个不同的平面，直线机ua,

当a||6时，根据面面平行的性质定理可知，a中任何一条直线都平行于另一个平

面，得m〃/?,所以a||0=>m///?;

当且mua时，划6或a与6相交，

所以"a〃/是"m〃/?"的充分不必要条件.

故答案为充分不必要.

【名师点睛】本题主要考查了面面平行的性质定理，面面的位置关系，充分条件

和必要条件定义的理解，属于基础题.

33.【安徽省江淮十校2019届高三第三次联考数学】若命题，久C［0可，1+tanx《

m"的否定是假命题，则实数m的取值范围是.

【答案】［1+V3,+00)

【解析】因为命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，

即不等式1+tanx<TH对VxG［。曰恒成立，

又y=1+tanx在xG［o,；］上为增函数，

所以(1+tanx)max=l+tan^=1+V3,

即?n>1+V3.

故实数TH的取值范围是：［1+遮,+8).

【名师点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析能

力和转化求解能力，属中档题.

专题02函数的概念与基本初等函数I

1.【2019年高考全国I卷文数】已知。=1。82().2,6=2°-2,。=0.2°3,贝1］

A.a<b<cB,a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

［解析］。=log,0.2<log,1=0,h=20-2>2°=1,

0<c=O.203<0.2°=1,即0<c<1,

则a<c<。.

故选B.

【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养.采取中间量法,

根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.

2.【2019年高考全国II卷文数】设f(x)为奇函数，且当松0时，/(x)=e-l,则当x<0

时J(x)=

A.—B.e-'+1

C.-e-r-lD.-e-r+1

【答案】D

【解析】由题意知/(x)是奇函数，且当后0时，於尸e，-l，

则当x<0时，—x>0,则/(—x)=er—l=—/(x),

得/(》)=一6-'+1.

故选D.

【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素

养.采取代换法，利用转化与化归的思想解题.

3.【2019年高考全国III卷文数】函数f(x)=2sinx-sin2x在[0,2汨的零点个数为

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】由/(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(l-cosx)=(),

得sinx-0或cosx=1.

XG[0,2K],.'.X=0>兀或2兀.

/(x)在[0,2可的零点个数是3.

故选B.

【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素

养，直接求出函数的零点可得答案.

4.【2019年高考天津文数】已知4=10氏7/=1。838,。=0.3°2,则。“/的大小

关系为

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】Vc=0.302<0.3°=b

a=log27>log24=2,

\<b=log38<log39=2,

c<b<a.

故选A.

【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断.

5.[2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是

A.y=x2B,y=2~x

C.y=bg/D.y=-

2X

【答案】A

【解析】易知函数y=2-*,y=log1x,>在区间（0,+（»）上单调递减，

2%

函数y=炉在区间（0,+8）上单调递增.

故选A.

【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、基函数的单调性，注重对重要知

识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.

sinx+x

6.【2019年高考全国I卷文数】函数/（x）=^------r在[-兀，旭的图像大致为

COSX+X

【答案】D

sin(-x)4-(-x)_-sinx-x

【解析】由f(-x)==一/（幻，得f（x）是奇函数，其图

cos(-x)+(-x)2cosx+x2

象关于原点对称.

1+-

又/吟）=」4+2兀TT

>1'小）=工>0'可知应为D选项中的图象・

2厘兀2

故选D.

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运

算素养.采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题.

7.[2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描

5,E,

述.两颗星的星等与亮度满足“2-叫,其中星等为机‘的星的亮度为々

2E2

(k=l,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮

度的比值为

A.IO101B.10.1

C.IglO.lD.IO-101

【答案】A

5,E.

【解析】两颗星的星等与亮度满足加2-町=7lgU，

2E2

令也=一1・45,m,=-26.7,

p22

则1g—L=—(/«,-mA=—x(-1.45+26.7)=10.1,

、E255

从而率=10'°」.

E2

故选A.

【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读

理解能力以及对数的运算.

8.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数y=二，y=log“(x+g)(a>0,

且81)的图象可能是

B.

【答案】D

【解析】当0＜。＜1时，函数y="的图象过定点（0,1）且单调递减，则函数＞

的图象过定点（0,1）且单调递增，函数y=log“（％+g）的图象过定点（g,0）且单调递

减，D选项符合；

当。＞1时，函数＞=优的图象过定点（0,1）且单调递增，则函数y=，的图象过定点

（0,1）且单调递减，函数y=log〃（x+g）的图象过定点（3,（））且单调递增，各选项均

不符合.

综上，选D.

【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致

判断失误；：是不能通过讨论。的不同取值范围，认识函数的单调性.

9.[2019年高考全国III卷文数】设/（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+8）单调

递减，则

1-~

A./(log3i)>/(22)>/(23)

4

i23N2

B./(log3i)>/(2)>/(2)

4

23

C./(2)>/(2)>/(log3l)

4

二3—2i

D./(2)>/(2)>/(log3i)

4

【答案】C

【解析】/(x)是定义域为R的偶函数，•••/(Iog3；)=/(log34).

_23_2_3

-i

log34>log33=l,l=2°>2^>2,.-.log34>2^>2^>

又/(X)在(0,+oo)上单调递减，

(_2\(3A

/./(log34)</2不<f2^,

77

r

即/2

4>

故选c.

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区

间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案.

2y[x,0<x<1,

10.【2019年高考天津文数】已知函数/（x）=1若关于X的方程

9x>1.

lx

/（x）=-；x+a（aeR）恰有两个互异的实数解’贝"a的取值范围为

5959

A.B.

4'4.44

5959

C.{1}D.{1}

4'444

【答案】D

2y/x,0<%<1,

【解析】作出函数.f（X）=<1

的图象，

x>1

以及直线>=一二X,如图，

4

关于'的方程小）=一1+.eR）恰有两个互异的实数解,

即为，=/（了）和丁=一,彳+。（。€1<）的图象有两个交点，

4

19

平移直线,=-三,考虑直线经过点（L2）和（1,1）时‘有两个交点，可得。二或

5

111,

考虑直线>=——*+〃(。611)与>=—在％>1时相切，ax——x=1,

4x4

由/=/一1=(),解得。=1(一1舍去)，

「59~1

所以。的取值范围是{1}.

_49J1

故选D.

【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点

个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.

11.【2019年高考浙江】已知，函数

x,x<0

/(x)=131/八2八,若函数y=/(x)一奴一b恰有3个零点，则

-x—(Q+I)X+QX,X20

[32

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,b<QD.a>-l,b>0

【答案】C

【解析】当x<0时，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(1-a)x-b=0f得x=

b

l-a

则y=f(x)-ax-b最多有一个零点；

当x20时，y=f(x)-ax-b=-x3--(a+1)x2+ax-ax-b=-x3--(a+1)x2-b,

7J3232

V=f一(Q+1)%,

f

当o+lWO,即aW-1时，y>09y=f(x)-。X-匕在［0,+°°)上单调递增，

则y=/(x)-ax-b最多有一个零点，不合题意；

当Q+1>0,即时，令yz>0得xw(a+l,+oo),此时函数单调递增，

令/V0得XE[0,a+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点=函数y=/(x)-ax-b在(-

8,0)上有一个零点，在[0,+8)上有2个零点,

如图：

—<0且，1,1,>

1-a[-(a+l)3--(a+l)(a+l)2—b<0

解得b<0,1-a>0,b>--(a+1)3,

6

则a>-l,b<0.

故选C.

【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当乂<0时一，y=f(x)-ax-b=x

-ax-b—(l-a)x-b最多有一个零点；当应0时，y—f(x)-ax-b=1x3—1

(a+l)x2-b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结

合题意可列不等式组求解.

12.[2019年高考江苏】函数v=J7+6x—x2的定义域是▲

【答案】[-1,7]

【解析】由题意得到关于X的不等式，解不等式可得函数的定义域.

2

由已知得7+6X-%2>0,BP%-6X-7<0.解得-1WXW7,

故函数的定义域为[-1,7].

【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式

或不等式组，然后求出它们的解集即可.

13.【2019年高考浙江】已知aeR，函数/(x)=一彳，若存在/eR，使得

2

|/(r+2)-/(r)|<-，则实数〃的最大值是.

【答案】-

3

2

【解析】存在EER,使得|/。+2)-/(。区

即有Ia(f+2)3—(/+2)—a:+/1<—,

3

化为12a(3r+6/+4)—2区g,

可得一gw2a(3r+6，+4)-2彳，

即34a(3/+6f+4)4§,

由3r+6f+4=3(f+l)2+121,可得0<a4].

4

则实数a的最大值是

【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得

|«(r+2)3-(z+2)-ar3+z|<|,去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性

质可求解.

14.[2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中

有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/

盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120

元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的

80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，

则X的最大值为.

【答案】①130；②15

【解析】①九=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付

(60+80)-10=130元

②设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，

当y<120元时，李明得到的金额为yx80%,符合要求；

当y2120元时，有(y-x)x80%2yx70%恒成立，

W8(y-x)>7y,x<A

o

因为方

=15,所以x的最大值为15.

IO

综上,①130；②15.