2017年山东省高考数学试卷（文科）

2017年山东省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）设集合M={x||x-VI},N={x|x<2},则MCN=（）

A.（-1,1）B.（-1,2）C.（0,2）D.（1,2）

2.（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=l+i,则z2=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

x-2y+540

3.（5分）已知x,y满足约束条件卜+3>0则z=x+2y的最大值是（）

.《2

A.-3B.-1C.1D.3

4.（5分）已知cosx=2，则cos2x=（）

4

A.--B.—C.--D.—

4488

5.（5分）已知命题p：3R,x2-x+1^0.命题q：若a2Vb则aVb,下

列命题为真命题的是（）

A.pAqB.p/\「qC.「pAqD.A-'q

6.（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2,

则空白判断框中的条件可能为（）

/输此/

A.x>3B.x>4C.xW4D.xW5

7.（5分）函数y=\际in2x+cos2x的最小正周期为（）

A.—B.22Lc.nD.2n

23

8.（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单

位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为

（）

甲组乙组

659

25617y

x478

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

9.(5分)设f(x)0<"<1若f(a)=f(a+1),贝If(±)=()

(2(xT),x>la

A.2B.4C.6D.8

10.（5分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域

上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（）

A.f（x）=2xB.f（x）=x*12*4C.f（x）=3xD.f（x）=cosx

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.（5分）已知向量于（2,6）,b=（-1,入），若a/b，则入=.

12.（5分）若直线三也l（a>0,b>0）过点（1,2）,则2a+b的最小值为.

13.（5分）由一个长方体和两个L圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几

4

何体的体积为.

14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2).若当x

e[-3,0]时，f(x)=6X,则f(919)=

22

15.（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线（a>0,b>0）的右支

2,2

ab

与焦点为F的抛物线x?=2py（p>0）交于A,B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|,则

该双曲线的渐近线方程为.

三、解答题

16.（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai，A2,A3和3个欧洲国家Bi，

B2,B3中选择2个国家去旅游.

（工）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（口）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括4但不包括

Bi的概率.

17.（12分）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB•AC=

-6,SMBC=3,求A和a.

18.（12分）由四棱柱ABCD-AiBiGDi截去三棱锥Ci-BiCDi后得到的几何体如

图所示，四边形ABCD为正方形，。为AC与BD的交点，E为AD的中点，AiE

_1_平面ABCD,

（工）证明：AiO〃平面BiCDi；

（口）设M是0D的中点，证明：平面AiEM_L平面BiCDi.

19.（12分）已知｛a。｝是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6,aia2=a3.

（1）求数列｛aj通项公式；

（2）｛bn｝为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n.产bnbn.l，求数列

邑｝的前n项和Tn.

20.（13分）已知函数f（x）=ix3-Lax2,aGR,

32

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3,f（3））处的切线方程；

(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有

无极值，有极值时求出极值.

22

21.(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：工+、1(a>b>0)的

bz

离心率为返，椭圆C截直线y=l所得线段的长度为2&.

2

(I)求椭圆C的方程；

(II)动直线I：y=kx+m(m#0)交椭圆C于A,B两点，交y轴于点M.点N

是M关于。的对称点，ON的半径为|NO设D为AB的中点，DE,DF与。N

分别相切于点E,F,求NEDF的最小值.

2017年山东省高考数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)(2017•山东)设集合M={x|x-1|VI},N={x|xV2},则MDN=()

A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)

【考点】IK：真题集萃；IE：交集及其运算.

【专题】11：计算题；5J：集合.

【分析】解不等式求出集合M,结合集合的交集运算定义，可得答案.

【解答】解：集合M={x||x-1|<1}=(0,2),

N={x|x<2}=(-°°,2),

AMAN=(0,2),

故选：C.

【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大,

属于基础题.

2.(5分)(2017•山东)已知i是虚数单位，若复数z满足zi=l+i,则z2=()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数.

【分析】根据已知，求出z值，进而可得答案.

【解答】解：•••复数z满足zi=l+i,

,z」+i=]-i,

i

z2=-2i,

故选:A.

【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题.

x-2y+540

3.（5分）（2017•山东）已知x,y满足约束条件,x+3>0则z=x+2y的最大值

,《2

是（）

A.-3B.-1C.1D.3

【考点】7C：简单线性规划.

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式.

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.

'x-2y+540

【解答】解：x,y满足约束条件卜+3>0的可行域如图：目标函数z=x+2y经

过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由：[尸2解得A（-1,2）,

[x-2y+5=0

目标函数的最大值为：-1+2*2=3.

故选：D.

【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键,

考查计算能力.

4.（5分）（2017•山东）已知cosx=3,则cos2x=（）

4

A.-LB.LC.-LD.L

4488

【考点】GT：二倍角的余弦.

【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值.

【分析】利用倍角公式即可得出.

【解答】解：,根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos2x-1,且cosx=旦,

4

/.cos2x=2X卢）2_

故选：D.

【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.（5分）（2017•山东）已知命题p：3xGR,x2-x+1^0.命题q：若a2Vb2,

则aVb,下列命题为真命题的是（）

A.pAqB.pA-'qC."^pAqD.A

【考点】2K：命题的真假判断与应用；2E：复合命题的真假.

【专题】2A：探究型；40：定义法；5L：简易逻辑.

【分析】先判断命题p,q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案.

【解答】解：命题p：2x=0GR,使x2-x+lN0成立.

故命题p为真命题；

当a=l,b=-2时，a2Vb2成立，但aVb不成立，

故命题q为假命题，

故命题pAq,「pAq,均为假命题；

命题pA-1q为真命题，

故选:B.

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不

等式与不等关系，难度中档.

6.（5分）（2017•山东）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出

的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为（）

A.x>3B.x>4C.xW4D.xW5

【考点】EF：程序框图.

【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5K：算法和程序框图.

【分析】方法一：由题意可知：输出y=2,则由y=log2X输出，需要x>4,则判

断框中的条件是x>4,

方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案.

【解答】解：方法一：当x=4,输出y=2,则由y=log2X输出，需要x>4,

故选B.

方法二：若空白判断框中的条件x>3,输入x=4,满足4>3,输出y=4+2=6,不

满足，故A错误，

若空白判断框中的条件x>4,输入x=4,满足4=4,不满足x>3,输出y=y=log24=2,

故B正确；

若空白判断框中的条件xW4,输入x=4,满足4=4,满足x<4,输出y=4+2=6,

不满足，故C错误，

若空白判断框中的条件xW5,输入x=4,满足4W5,满足xW5,输出y=4+2=6,

不满足，故D错误，

故选B.

【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题.

7.（5分）（2017•山东）函数y=J55in2x+cos2x的最小正周期为（）

A.—B..22Lc.nD.2R

23

【考点】Hl：三角函数的周期性及其求法.

【专题】11：计算题；40：定义法；57：三角函数的图像与性质.

【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据3值，可得函数的周

期.

【解答】解：Vy=-/3sin2x+cos2x=2sin（2x+—）,

6

Vu）=2,

••T=n，

故选：c

【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础

题.

8.（5分）（2017•山东）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的

产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和

y的值分别为（）

甲组乙组

659

25617y

x478

A.3,5B.5,5C.3,7D.5,7

【考点】BA：茎叶图.

【专题】11：计算题；27:图表型；51：概率与统计.

【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x,y的

值.

【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65,

故乙组数据的中位数也为65,

即y=5,

则乙组数据的平均数为：66,

故x=3,

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题.

9.(5分)(2017•山东)设f(x)=[«'°<,<1若f(a)=f(a+1),贝Uf(L)

[2(x­l),x〉la

=()

A.2B.4C.6D.8

【考点】5B：分段函数的应用；3T：函数的值.

【专题】11：计算题；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质.

【分析】利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可.

【解答】解：当时，』人‘°<X<1,若

ae(0,1)f(x)f(a)=f(a+1),

[2(x-l),x>l

可得后2a,

解得a=L则:f(1)=f(4)=2(4-1)=6.

4a

当aW[l,+8)时.f(x)=[4'0<X<1,若f(a)=f(a+1),

(2(x-l),x》l

可得2(a-1)=2a,显然无解.

故选：C.

【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力.

10.(5分)(2017•山东)若函数exf(x)(e=2.71828...是自然对数的底数)在f

(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性

质的是()

A.f(x)=2xB.f(x)=x2C.f(x)=3xD.f(x)=cosx

【考点】3F：函数单调性的性质.

【专题】2A：探究型；40：定义法；51：函数的性质及应用.

【分析】根据已知中函数f(x)具有M性质的定义，可得f(x)=2x时，满足

定义.

【解答】解：当f(x)=2x时，函数exf(x)=(且)x在R上单调递增，函数f

2

（x）具有M性质，

故选：A

【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11.（5分）（2017•山东）已知向量星（2,6）,fe=（-1,入），若Z//E，则入=

-3

【考点】96：平行向量与共线向量.

【专题】34：方程思想；5A：平面向量及应用.

【分析】利用向量共线定理即可得出.

【解答】解：aIIb，-6-2入=0,解得入=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题.

12.（5分）（2017•山东）若直线三中1（a>0,b>0）过点（1,2）,则2a+b

的最小值为8.

【考点】7F：基本不等式.

【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用.

【分析】将（1，2）代入直线方程，求得上+区1,利用“1”代换，根据基本不等

ab

式的性质，即可求得2a+b的最小值.

【解答】解：直线三声1（a>0,b>0）过点（1,2）,则上+21,

abab

由2a+b=（2a+b）X（L+2）=2+丝+且+2=4+丝+旦24+2但:W=4+4=8,

abbabayba

当且仅当班卜，即2=上，b=i时，取等号，

ba2

/.2a+b的最小值为8,

故答案为：8.

【点评】本题考查基本不等式的应用，考查"1"代换，考查计算能力，属于基础

题.

13.(5分)(2017•山东)由一个长方体和两个工圆柱体构成的几何体的三视图

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何.

【分析】由三视图可知：长方体长为2,宽为1,高为1,圆柱的底面半径为1,

高为1圆柱的工，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积.

4

【解答】解：由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积Vi=2XIX1=2,

圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V2=LXTIX12><I=2L,

44

则该几何体的体积V=VI+2VI=2+2L,

2

故答案为：2+2L.

2

【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式,

考查计算能力，属于基础题.

14.(5分)(2017•山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x

-2).若当xG[-3,0]时，f(x)=6X,则f(919)=6.

【考点】3L：函数奇偶性的性质.

【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用.

【分析】由题意可知：(x+6)=f(x),函数的周期性可知：f(x)周期为6,则f

(919)=f(153X6+1)=f(1),由f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),即可求

得答案.

【解答】解:由f(x+4)=f(x-2).则f(x+6)=f(x),

Af(x)为周期为6的周期函数，

f(919)=f(153X6+1)=f(1),

由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(1)=f(-1),

当xG[-3,0]时，f(x)=6X,

f(-1)=611=6>

Af(919)=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题.

22

15.(5分)(2017•山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线--心1(a>0,

a

b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点，若

|AF|+|BF|=4|0F|,则该双曲线的渐近线方程为v=土返x.

2-

【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质.

【专题】34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程.

22

【分析】把代入双曲线^--匕=可得：22

x2=2py(p>0)1(a>0,b>0),ay-

a2b2

2Pb2y+a2b2=0,利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出.

22

【解答】解：把x2=2py(p>0)代入双曲线^--(a>0,b>0),

a2b,2

可得：a2y2-2Pb2y+a2b2=0,

，yA+yB=-P->

a

V|AF|+BF|=41OFI，AYA+YB+2X^-=4XP.,

22

•2Pb2

-------2-P'

a

.b_'./2

••L-'...

a2

该双曲线的渐近线方程为：y=±VL.

_2

故答案为：y=±Y^x.

2

【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的

根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三、解答题

16.（12分）（2017•山东）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai，A2,A3和3个

欧洲国家Bi，B2,B3中选择2个国家去旅游.

（I）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（II）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括Ai但不包括

Bi的概率.

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

【专题】11：计算题；37：集合思想；40：定义法；51：概率与统计.

【分析】（I）从这6个国家中任选2个，基本事件总数廿区=15,这2个国家

都是亚洲国家包含的基本事件个数m=c2=3,由此能求出这2个国家都是亚洲国

家的概率.

（口）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，利用列举法能求出这2个国家包括

Ai但不包括Bi的概率.

【解答】解：（I）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai，A2,A3和3个欧洲国

家Bi，B2，B3中选择2个国家去旅游.

从这6个国家中任选2个，基本事件总数n=c2=15,

这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=c2=3，

.•.这2个国家都是亚洲国家的概率

n155

（n）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的基本事件个数为9个，分别

为：

(Ai,Bi),(Ai,B2),(Ai,B3),(A2,Bi),(A2,B2),

(A2，B3),(A3，Bi),(A3，B2),(A3，B3),

这2个国家包括Ai但不包括Bi包含的基本事件有：（Ai，B2）,（Ai，B3）,共2

个，

.•.这2个国家包括Ai但不包括Bi的概率P=l.

9

【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点,

考查运算求解能力，考查集合思想，是基础题.

17.（12分）（2017•山东）在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已

知b=3,AB,AC=_6,SAABC=3,求A和a.

【考点】9R：平面向量数量积的运算.

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形；5A：

平面向量及应用.

【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=-1,求出A和c的

值，再根据余弦定理即可求出a.

【解答】解：由AB•AC=-6可得bccosA=-6,①，

由三角形的面积公式可得SzxABc=LbcsinA=3,②

2

••tanA-—1,

V0<A<180°,

/.A=135O,

；.c=—^-2、反

3X半

由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+8+12=29

a=V29

【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理，考查了

学生的运算能力，属于中档题

18.（12分）（2017•山东）由四棱柱ABCD-A1BGD1截去三棱锥J-BiCDi后得

到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，。为AC与BD的交点，E为AD

的中点，AiE_L平面ABCD,

(I)证明：AiO〃平面BiCDi；

(II)设M是OD的中点，证明：平面AiEM_L平面BiCDi.

【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定.

【专题】14:证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距

离.

【分析】(I)取BiDi中点G,连结AiG、CG,推导出AiG力0C,从而四边形OCGAi

是平行四边形，进而AiO〃CG,由此能证明AiO〃平面BiCDi.

(□)推导出BD±AiE,AO±BD,EM_LBD,从而BD_L平面AiEM,再由BD/ZBiDi,

得BiDi_L平面AiEM,由此能证明平面AiEMl.平面BiCDi.

【解答】证明：(I)取BiDi中点G,连结AiG、CG,

•四边形ABCD为正方形，。为AC与BD的交点，

二四棱柱ABCD-AiBiGDi截去三棱锥Ci-BiCDi后，AiGROC,

二四边形OCGAi是平行四边形，，AQ〃CG,

•.,A106平面BiCDi，CGc平面BiCDi，

，AiO〃平面BiCDi.

(II)四棱柱ABCD-AiBiJDi截去三棱锥Ci-BiCDi后，BD"BR,

•.•M是0D的中点，。为AC与BD的交点，E为AD的中点，AiE,平面ABCD,

又BDc平面ABCD,/.BD±AiE,

•••四边形ABCD为正方形，。为AC与BD的交点，

.'.AO1BD,

•.•M是0D的中点，E为AD的中点，AEMIBD,

VAiEnEM=E,...BD-L平面AiEM,

VBD/ZBiDi，平面AiEM,

VBiDiC平面BiCDi，

，平面AiEM_L平面BiCDi.

【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，涉及到空间中线线、

线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处

理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

19.（12分）（2017•山东）已知｛a。｝是各项均为正数的等比数列，旦ai+a2=6,

3182=33•

（1）求数列｛an｝通项公式；

（2）｛bn｝为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2ml=bnbn，l，求数列

邑｝的前n项和Tn.

3n

【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和.

【专题】11：计算题；35：转化思想；49；综合法；54；等差数列与等比数

列.

【分析】（1）通过首项和公比，联立ai+a2=6、aia2=a3»可求出ai=q=2,进而利

用等比数列的通项公式可得结论；

（2）利用等差数列的性质可知s2n.i=（2n+l）bmi，结合S2n.i=bnbmi可知bn=2n+l,

进而可知bn.=2n+l”利用错位相减法计算即得结论.

an2n

【解答】解:⑴记正项等比数列｛aj的公比为q,

因为/ai+a2=6,3132=33f

所以（1+q）ai=6,q2=q2ai，

解得:ai=q=2,

所以an=22

（2）因为｛bj为各项非零的等差数列，

所以Sn+1=(2n+l)bn(l，

乂因为Szn+l二br)bn+l，

所以bn=2n+l,履=,勿+1,

an2n

所以17|=3・1+5,」~+...+(2n+l)

2222n

—Tn=3*-A_+5*-^—+...+(2n-1)・-L_+(2n+l)•—--，

222232n2n+1

两式相减得：—Tn=3»—+2(.+_1_)-(2n+l)•—--，

23nn+1

222222

gp±Tn=3«l.+(UA_+A_+…+_A_)-(2n+l)<—L-,

222222?2“-12/1

i-vr

即Tn=3+l+L+L+L+...+—^—)-(2n+l)«_1_=3+―J-------(2n+l)«J-

222232n-22n1A2n

2

=5.2n+5

2n

【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查等差数列的性质，考查错位相减

法，注意解题方法的积累，属于中档题.

20.(13分)(2017•山东)已知函数f(x)=±x3-iax2,aWR,

32

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；

(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有

无极值，有极值时求出极值.

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6H：

利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】15：综合题；32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用.

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求出曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的

切线方程，

(2)先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值

【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=1^3-X2,

3

Af(x)=x2-2x,

k=f(3)=9-6=3,f(3)=1x27-9=0,

3

曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x-3),即3x-y-9=0

(2)函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx=Aj<3-JLax2+(x-a)cosx-sinx,

32

.'.g'(x)=(x-a)(x-sinx),

令g，(x)=0,解得x=a,或x=0,

①若a>0时，当x<0时，g，(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,o)上单调

递增，

当x>a时，g'(x)>0恒成立，故g(x)在(a,+°°)上单调递增，

当OVxVa时，gz(x)<0恒成立，故g(x)在(0,a)上单调递减，

.,.当x=a时，函数有极小值，极小值为g(a)=-la3-sina

6

当x=0时，有极大值，极大值为g(0)=-a,

②若a<0时，当x>0时，g，(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,o)上单调

递增，

当x<a时，g'(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,a)上单调递增，

当aVxVO时，gz(x)V0恒成立，故g(x)在(a,0)上单调递减，

.,.当x=a时，函数有极大值，极大值为g(a)=-2-a3-sina

6

当x=0时，有极小值，极小值为g(0)=-a

③当a=0时，g'(x)=x(x+sinx),

当x>0时，gz(x)>0恒成立，故g(x)在(0,+8)上单调递增，

当xVO时，gz(x)>0恒成立，故g(x)在(-8,o)上单调递增，

Ag(x)在R上单调递增，无极值.

【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键

是分类讨论，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题

22

2L(14分)(2017•山东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：二+

2,2

ab

(a>b>0)的离心率为除，椭圆C截直线y=l所得线段的长度为2祀.

(I)求椭圆C的方程；

（II）动直线I：y=kx+m（mWO）交椭圆C于A,B两点，交y轴于点M.点N

是M关于。的对称点，ON的半径为|NO设D为AB的中点，DE,DF与。N

分别相切于点E,F,求NEDF的最小值.

【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；K3：椭圆的标准方程.

【分析】（I）首先根据题中信息可得椭圆C过点（&,1）,然后结合离心率可

得椭圆方程；

（n）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可

求得D、N坐标及ON半径，进而将DN长度表示出来，可求NEDF最小值.

【解答】解：（I）•椭圆C的离心率为返，

2

——,a*2=2b2,

a22乙

•.•椭圆C截直线y=l所得线段的长度为2a,

椭圆C过点（&,1）,

a2b2

/.b2=2,a2=4,

22

...椭圆C的方程为

42

（n）设A,B的横坐标为Xi，X2,

贝UA(xi，kxi+m),B(X2，kx2+m),D(—1-----y(x+x)+m),

212

联立，可得(l+2k*2)*x2+4kmx+2m2-4=0,

y=kx+iri

Xi+X2=-,-驮」一,

l+2k2

AD(-2km,rn),

l+2k2l+2k2

VM(0,m),则N(0,-m),

AON的半径为m|,

-2km)2..J.2m.l/4

5寸谓2)=2Vk+3k2+1

l+2kH2k

设NEDF=a,

9

■sin旦二典必=_______-_________J+2k乙

42

一2Vk+3k+l'

l+2k/

令y=L邈—,则y，J_^_,,

2Vk4+3k2+l2Vk4+3k2+l(k4+3k2+l)

当k=0时，sin—得最小值，最小值为L.

22

AZEDF的最小值是60。.

【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求

解.

考点卡片

1.交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A

AB.

符号语言：AAB={x|xGA,且xWB}.

AHB实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交

集.

运算形状：

①ACB=BCA.②AC0=0.③ACA=A.④ACBUA,AABUB.⑤ACB=A=AUB.⑥

AAB=0,两个集合没有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧[u(APB)=(CuA)U

(CuB).

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中："且"与"所有"的理解.不能

把"或"与"且"混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩

图.

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、

复合函数的单调性等联合命题.

2.真题集萃

【真题强化】

eg：1.从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a,则使命题：“存在x

e(-3,3)使关于x的不等式x2+ax+2Vo有解”为真命题的概率是：()

解：令f(x)=x2+ax+2,•.,存在xe(-3,3)使关于x的不等式x?+ax+2Vo有

解，

故函数f(x)=x2+ax+2至少有一个零点在区间(-3,3)上，

‘△=a2-8>0

，△二a2-8>0-3<技<3

故有①<f(-3)f(3)<0，或②f(-3)>0

a>0f(-3)>0

a>0

解①可得a>AL解②可得2注Vavlk

33

把①②的解集取并集可得2&<a<+8,且aWlk

3

再由aG集合{1,2,3,4,5},可得a=3、4、5,共3个，而所有的a共有5

个，

故所求事件的概率为3,

5

故答案为2.

5

点评：本题主要是对概念进行了考察,重点考察了韦达定理的应用和概率的表达,

像这种集合采用枚举法来表达，数据又比较少的题，一般的解法就是一一带入然

后验证.

eg：2.命题甲：集合乂=a|1«2-21«+：1=0}为空集；命题乙：关于x的不等式x2+

(k-1)x+4>0的解集为R.若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k

的取值范围是：—

解：•.•集合乂=仅|1«(2-21«+1=0}为空集,

当k#0时，△=(-2k)2-4kV0,解得OVkVl,

当k=0时，方程变为1=0,无解，满足题意，

故可得0WkVI；

又•••关于x的不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为R,

(k-1)2-4X4VO,解得-3<k<5,

当甲命题为真，乙命题为假时，可得

[0,1)C{(…，-3]U[5,+8)}=0,

当甲命题为假，乙命题为真时，可得

{(-8,0)U[1,+8)}n(-3,5)=(-3,0)U[1,5),

故答案为：(-3,0)U[1,5)

点评：这其实是个综合题，主要考察了一元二次函数根的求解和根与系数的关系

以及两个命题的逻辑关系，这种问题个个击破就可以了，先把一个命题的解求出

来，然后在看看两个解之间的关系进行综合.

【解题方法点拨】

从这两个例题当中可以看出集合问题一般喜欢和一元二次函数或者逻辑关

系结合起来一起考，所以在复习这个章节的时候，必须对一元二次函数的基本性

质和逻辑关系的一些基本概念同时复习.

3.复合命题的真假

【知识点的认识】

含有逻辑连接词"或""且""非"的命题不一定是复合命题.若此命题的真假满

足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题.逻辑中的"或""且""非"与日常用

语中的"或""且""非"含义不尽相同.判断复合命题的真假要根据真值表来判

定.【解题方法点拨】

能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、

疑问句以及祈使句都不是命题.能判断真假的不等式、集合运算式也是命题.写

命题p的否定形式，不能一概在关键词前、力r不"，而要搞清一个命题研究的对

象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将"是"改成"不是"，将"不是"

改成"是"即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将"是"改成"不

是"，将"不是"改成"是"，而要分清命题是全称命题还是存在性命题(所谓全称命

题是指含有"所有""全部""任意"这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含

有"某些""某个""至少有一个"这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是

存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题.因此，在表述一个命题的否定

形式的时候，不仅"是"与"不是"要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的

变化，常见关键词及其否定形式附表如下：

4.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有"或"、"且"、"非"的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真

假，然后由真值表判断复合命题的真假.

注意："非p"的正确写法，本题不应将"非p"写成"方程x2-2x+l=0的两根都不是

实根"，因为"都是"的反面是"不都是"，而不是"都不是"，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中

简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若p则q"形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方

法：若"pq",则"若p则q”为真；而要确定“若p则q"为假，只需举出一个反

例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真

同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知

识点多而且全，多以小题形式出现.

5.函数单调性的性质

【知识点的认识】

所谓单调性一般说的是单调递增或单调递减，即在某个定义域内，函数的

值域随着自变量的增大而增大或者减小，那么我们就说这个函数具有单调性.它

是求函数值域或者比较大小的常用工具.

【解题方法点拨】

定义法、导数法、性质法

①定义法：在满足定义域的某区间内任意两个自变量的值XI、X2,当X1VX2时都

有f（Xl）<f（X2）.那么就说f（X）在这个区间上是增函数.

②导数法：（当函数在所考察区间内可微（可导）时，才能利用导数研究它的单

调性）若f（x）>0则f（x）单调上升，则函数严格单调递增（如果存在有限个

孤立的点的导函数为0仍为递增函数）.

③性质法：n个单调递增（递减）的函数的和仍为递增（递减）函数

【命题方向】函数单调性的应用.

作为一个工具，凡是涉及到最值问题、大小比较问题都应立马联想到它的

单调性，并对一般常见函数的单调性有清醒的认识，这里面的一个扩展是一些数

列问题也可以转化为函数来求解.

6.函数奇偶性的性质

【知识点的认识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有f（-X）

=-f（X）,那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0,0）对称.②

如果函数f（X）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有f（-X）

=f（X）,那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)=-f(-X)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f(x)=f(-X)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相

反.

例题：函数y=x|x|+px,)

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解：由题设知f(x)的定义域为R,关于原点对称.

因为f(-x)=-x|-x-px=-x|x|-px=-f(x),

所以f(x)是奇函数.

故选B.

【命题方向】函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其

图象一起分析，确保答题的正确率.

7.函数的值

【知识点的认识】

函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域.函数的值

域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点.其概念为在某一个定义域内因

变量的取值范围.

【解题方法点拨】

求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种:

①基本不等式法:如当x>0时,求2x+2的最小值,有2X+髻2标

X

②转化法：如求|x-5|+|x-3|的最小值,那么可以看成是数轴上的点到x=5和

x=3的距离之和，易知最小值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行

比较

例题：求f(x)=lnx-x在(0,+°°)的