2023年高一数学人教A版2019必修第二册第04讲指数函数与对数函数Word版

第04讲指数函数与对数函数【学习目标】1、类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。2、通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。【考点目录】考点一：指数运算考点二：指数函数图像与性质考点三：对数运算考点四：对数函数图像与性质考点五：指对幂比较大小考点六：函数的零点与方程的根考点七：二分法考点八：选择恰当的数学模型解决实际应用问题【基础知识】知识点一、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点二、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点三、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①．②．③．知识点六、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点十、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．知识点十一、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．知识点十四：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.知识点十五：二分法1、二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．【考点剖析】考点一：指数运算例1．（2022·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；（2）计算：．例2．（2022·吉林延边·高一期末）已知，求下列各式的值：(1)；(2).例3．（2022·江苏连云港·高一期末）计算：（1）（2）解不等式：考点二：指数函数图像与性质例4．（2022·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（）A． B．C． D．例5．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A． B． C． D．例6．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数为奇函数，.(1)求的值；(2)判断函数的单调性；(3)若恒成立，求实数的取值范围．例7．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．例8．（2022·广东惠州·高一期末）设函数．(1)若函数的图象关于原点对称，求函数的零点；(2)若函数在，的最大值为，求实数的值．考点三：对数运算例9．（2022·上海长宁·高一期末）已知，，用，表示_____．例10．（2022·江苏南通·高一期末）的值为______.例11．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算______.例12．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程的解为___________．考点四：对数函数图像与性质例13．（2022·天津南开·高一期末）下列命题中：①与互为反函数，其图像关于对称;②已知函数，则;③当，且时，函数必过定点；④已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.例14．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.例15．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则________．例16．（2022·天津南开·高一期末）已知函数.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.例17．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数(1)若函数过点，求此时函数的解析式；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.考点五：指对幂比较大小例18．（2022·江苏连云港·高一期末）已知，则（）A． B． C． D．例19．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（）A． B． C． D．例20．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知，则（）A． B．C． D．例21．（2022·贵州六盘水·高一期末）在，，，四个数中，最大的是（）A． B． C． D．考点六：函数的零点与方程的根例22．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数的零点所在区间是（）A． B． C． D．例23．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．例24．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数关于x的方程有4个根，，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．例25．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．例26．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数且点在函数的图像上.(1)求，并在如图直角坐标系中画出函数的图像；(2)求不等式的解集；(3)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．例27．（2022·福建·福州四中高一期末）已知，(1)若函数满足，求实数的值；(2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由：（ii）若函数在R上有零点，求的取值范围.考点七：二分法例28．（多选题）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是（）A． B． C． D．例29．（多选题）（2022·福建·莆田第二十五中学高一期末）设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：0123若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（）A．1.31 B．1.38 C．1.43 D．1.44例30．（2022·河南信阳·高一期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）考点八：选择恰当的数学模型解决实际应用问题例31．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期末）某商人计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别是，，已知投资额为0时，收益为0.(1)求a，b的值;(2)若该商人投入万元经营这两种商品，试建立该商人所获收益的函数模型；(3)如果该商人准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收益的最大值.例32．（2022·广东珠海·高一期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？【真题演练】1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（）A．1 B．2 C．4 D．62．（2022·浙江·高考真题）已知，则（）A．25 B．5 C． D．3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（）A． B．C． D．4．（2021·天津·高考真题）若，则（）A． B． C．1 D．5．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（）A． B． C． D．6．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．【过关检测】一、单选题1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数）A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前2．（2022·湖北武汉·高一期末）已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A． B．C． D．3．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）函数的图像大致为（）A． B．C． D．5．（2022·浙江·余姚中学高一期中）已知函数（，且），若对于任意恒成立，则函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．6．（2022·河北行唐启明中学高一阶段练习）函数f（x）＝loga（x2－4x－5）（a>1）的单调递增区间是（）A．（－∞，－2） B．（－∞，－1）C．（2，＋∞） D．（5，＋∞）7．（2022·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数的零点所在的一个区间为（）A． B． C． D．8．（2022·安徽·合肥一六八中学高一期中）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调减区间为（）．A． B． C． D．二、多选题9．（2022·广东·珠海市第一中学高一期中）已知函数，以下结论正确的是（）A．在区间上先增后减B．C．若方程在上有6个不等实根，则D．若方程恰有3个实根，则10．（2022·河北·蠡县二中高一阶段练习）已知a<b<0，则下列结论正确的是（）A．a2<b2B．()a>()bC．2a>2