中考数学方案设计与决策型问题专题复习

方案设计与决策型问题专题提升方案设计与决策型问题1特征：日常生活和生产实践中，面对汹涌而来的信息，我们需要思考的是怎样获得有用的信息，在此基础上形成解决问题的方案策略，从而帮助我们做出正确的判断与决策，反映在近年的中考命题中，就是广泛出现的方案设计与决策型问题，即在密切联系生活、生产和市场经济的问题中，要设计出一个最好的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益.2类型：解题策略：（1）利用代数知识进行方案设计；（2）利用概率知识进行方案设计；（3）利用几何知识进行方案设计.建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.3某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服．（1）该店订购这两款运动服，共有哪几种方案？（2）若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获利最大？（1）解：设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服（30-x）套。7600≤350x+200×（30-x）≥800010.6≤x≥13.3∴x=11，12，13。方案：1、甲：11乙：192、甲：12乙：183、甲：13乙：17（2）方案一：（400-350）×11+（300-200）×19=2450（元）方案二：（400-350）×12+（300-200）×18=2400（元）方案三：（400-350）×13+（300-200）×17=2350（元）∴方案一即甲款11套，乙款19套，获利最大。答：甲款11套，乙款19套，获利最大．

4某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5解．（1）由题意，设y＝kx＋b，图象过点（70，5），（90，3），∴∴y＝－x＋12．（2）由题意，得w＝y（x－40）－z＝y（x－40）－（10y＋）＝（－x＋12）（x－40）－10×（－x＋12）－42.5＝－＋17x－＝－（x－85）2＋80．当x＝85时，年获利的最大值为80万元．（3）令w＝，得－＋17x－＝，整理，得x2－170x＋7000＝0．解得x1＝70，x2＝100．由图象可知，要使年获利不低于万元，销售单价为70元到100元之间．又因为销售单位越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于万元，销售单价应定为70元．6方案设计

例1：(2011年内蒙古乌兰察布)某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆．(1)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；7

(2)若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明(1)中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？8

(2)由于搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，所以搭配同样多的园艺造型A种比B种成本低，则应该搭配A种33个，B种17个．成本：33×200＋17×360＝12720(元)．答：方案③成本最低，为12720元．

小结与反思：也可列出成本和搭配A种造型数量x之间的函数关系，用函数的性质求解；或直接算出三种方案的成本进行比较也可.9（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%，对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？类型之一:利用不等式进行方案设计［2010·盐城］整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%，根据相关信息解决下列问题：10【解析】（1）设甲、乙两种药品出厂价格分别为x、y元，则根据出厂的价格之和与销售价格之和

列方程组；（2）由不低于900元和不少于40箱列不等式组，并就整数解讨论方案.解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x元，乙种药品的出厂价格为每盒y元，则根据题意列方程组，得x+y=6.6，5x－2.2+6y=33.8，解之得x=3.6，y=3.5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元），6×3=18（元）.答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元.（2）设购进甲药品x箱（x为非负整数），购进乙药品（100-x）箱，则根据题意列不等式组，得8×15%×10x+5×10%×10(100－x)≥900，100－x≥40，解之得5717≤x≤60，则x可取58，59，60，此时100-x的值分别是42，41，40.有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱.11【点悟】]不等式（组）方案设计应用题涉及知识面广，综合性强，所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能值.涉及我们日常生活的广告宣传、经济决策、文化娱乐、商品买卖、物品分配等多个方面.解题关键是建立不等式模型，同时注意运用方程、代数等方面的知识.12

今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：进入5月份，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月份第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数关系式y=-120x2+bx+c.类型之二:利用函数进行方案设计周数x1234价格y（元/千克）22.22.42.613（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=14x+1.2，5月份的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=－15x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜.从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的价格仅上涨0.8a%.若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值.（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；14【分析】（1）4月份是一次函数，5月份只须代入两点坐标即可；（2）由两种函数的性质求它们的最值；（3）列一元二次方程，就被开方数取近似值，得a.15解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8．把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4分别代入y=－120x2+bx+c，得-120+b+c=2.8,-120×4+2b+c=2.4，解得b=－0.25,

c=3.1，∴5月份y与x满足的函数关系式为y=－0.05x2－0.25x+3.1．（2）设4月份第x周销售一千克此种蔬菜的利润为W元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为M元．W=(0.2x+1.8)－14x+1.2=－0.05x+0.6．∵－0.05<0，∴W随x的增大而减小．∴当x=1时，W最大=0.55．

16M=(－0.05x2－0.25x+3.1)－－15x+2=－0.05x2－0.05x+1.1．∵对称轴为x=－－0.052×(－0.05)=－0.5，且－0.05<0，∴当x>－0.5时，y随x的增大而减小．∴当x=1时，M最大=1．∴4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元；5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．（3）由题意知：100(1－a%)+2×2.4(1+0.8a%)=2.4×100,整理，得a2+23a－250=0,解得a=－23±15292．∵392=1521，402=1600，而1529更接近1521，∴取1529≈39,∴a≈-31（舍去）或a≈8,∴a的整数值为8．17【点悟】

解此类问题的一般步骤是：（1）根据题意建立函数关系式；（2）根据实际意义建立方程或不等式组，求方程或不等式组的解；（3）根据求到的解，利用函数的性质求最大、最小值.18三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离(看守点到本区域内最远处的距离)相等.按照这一原则,他们先设计了一种如图Z-5-1(1)的划分方案:把正方形牧场分成三块相等的矩形,大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点),看守自己的一块牧场.过了一段时间,牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图Z-5-1(2):三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心.牧童C的划分方案如图Z-5-1(3):把正方形的牧场分成三块矩形,牧童的位置在三个小矩形的中心,并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等.类型之三:利用几何知识进行方案设计19请回答:(1)牧童B的划分方案中,牧童(填“A”,”B”或“C”)在有情况时所需走的最大距离较远;(2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示:在计算时可取正方形边长为2)20解：（1）依图形设正方形的边长为a，上边一个矩形的宽为b，则有ab=(a-b)·a2，a=3b，∴上面矩形最大距离为102b，下面其中一个矩形的最大距离为54b，图Z-5-2∵102>54，∴填C.（2）如图Z-5-2所示，取正方形边长为2，高HD=x,则HE=2-x.在R