有理数的乘法(讲+练) 【核心知识高效识记+巩固提升】 人教版七年级数学 上册核心考点精讲精练（含答案解析）

有理数的乘法有理数的乘法有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．注意：（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．题型1：有理数的乘法法则的辨析1.【例1】（2020秋•碑林区校级月考）下列叙述正确的是（）A．互为相反数的两数的乘积为1 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．绝对值等于本身的数是0 D．n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负【解题思路】根据相反数、有理数、绝对值的定义即可判断．【解答过程】解：A、互为相反数的两个数和为0，故A错误．B、实数和数轴一一对应，故所有的有理数都能用数轴上的点表示．故B正确．C、绝对值等于本身的是0和正数，故C错误．D、n个有理数相乘，负因数的个数为奇数个时，积为负，但0除外，故D错误、故选：B．【变式1-1】a、b是两个有理数，若ab＜0，且a+b＞0，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a、b两数异号，且正数的绝对值大 C．a＜0，b＜0 D．a、b两数异号，且负数的绝对值大【解题思路】根据有理数乘法积的符号判断因数的符号，再根据有理数和的符号判断绝对值的大小，进而得出答案．【解答过程】解：∵ab＜0，∴a、b异号，又∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：B．题型2：用乘法法则判断正负性2.如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数（）A．同号，且都为正数 B．异号，且正数的绝对值较大C．同号，且都为负数 D．异号，且负数的绝对值较大【答案】B【解析】【解答】解：∵两个有理数的积是负数，∴两个数为异号，∵和是正数，∴正数的绝对值比负数的绝对值大，故答案为：B．【分析】根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可确定两个数为异号；再根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值可得正数的绝对值比负数的绝对值大，进而可得答案．【变式2-1】如果a+b<0，ab>0那么这两个数()A．都是正数 B．都是负数C．一正一负 D．符号无法确定【答案】B【解析】【解答】解：∵ab＞0，∴a、b同号，∵a+b＜0，∴a、b都是负数，故答案为：B．【分析】根据有理数的乘法法则，得a、b同号，再由有理数的加法法则，得a、b都是负数．【变式2-2】如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（）A．和为正数 B．和为负数 C．积为正数 D．积为负数【答案】D【解析】【解答】解：从图中可以看出A、B两点表示的数分别为-3和3，它们的和为0，积为-9是负数.故答案为：D【分析】根据数轴的意义可确定A、B所对应的值分别为一正一负，再根据有理数的加法法则“同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数”和有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”即可判断求解.题型3：两个有理数相乘3.计算：【答案】：【变式3-1】计算的结果是（）A．1B．-1C．15D-【分析】先把假分数化为带分数，再确定积的符号，最后按分数的乘法法则求值．【解答】解：原式==-1．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．题型4：多个有理数相乘4.计算：（1）（﹣10）×(−1（2）（﹣3）×56×1（3）（﹣6）×（﹣7.9）×31【答案】（1）解：原式=﹣（10×0.1×14）=﹣（2）解：原式=3×56×（3）解：原式=0【解析】【分析】（1）根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积为负，再用乘法结合律把绝对值相乘即可求解；（2）根据多个有理数的乘法法则可得：积的符号由负因数的个数确定，奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正，并把绝对值相乘即可求解；（3）根据多个有理数的乘法法则可知，有一个因式为0，则积为0.【变式4-1】计算：（1）4924（2）(−8)×(−7.2)×(−2.5)×5（3）−7.8×(−8.1)×0×|−19.6|；（4）−|−0.25|×(−5)×4×(−1【答案】（1）解：492425×(−5)=（50-125（2）解：(−8)×(−7.2)×(−2.5)×512=-（8×（3）解：−7.8×(−8.1)×0×|−19.6|=0（4）解：−|−0.25|×(−5)×4×(−125)=-【解析】【分析】（1）由题意可将原式变为原式=50−1（2）多个有理数的乘法的符号法则是：偶数个负因数积为正，奇数个负因数积为负，根据符号法则可先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解；（3）根据有一个数是0的多个有理数相乘的法则可得原式=0；（4）根据多个有理数的乘法的符号法则先判断积的符号，再把绝对值相乘即可求解。有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．注意：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．题型5：有理数的乘法运算定律5.991819×15=(100−A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律、乘法结合律 D．乘法分配律【解题思路】根据有理数的乘法，即可解答．【解答过程】解：991819故选：D．【变式5-1】计算：（1）（2）（12＋56－7【答案】解：原式（2）解：原式=12×（﹣24）+56×（﹣24）﹣【分析】用分配律展开算式，相乘时括号里的每个数都要带上它前面的符号，且不要漏乘括号中的任何一项。【变式5-2】计算：【答案】解：原式倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．注意：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．题型6：倒数6.5的相反数的倒数是（）A．-5 B．5 C．−15 【答案】C【解析】【解答】解：5的相反数为-5，-5的倒数为−15，故5的相反数的倒数是故答案为：C.【分析】只有符号不同的两个数互为相反数；乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.【变式6-1】若x与13互为倒数，则|1−x|A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【解答】解：∵x与13∴x=3，当x=3时，|1-x|=|1-3|=|-2|=2，故答案为：A.【分析】利用互为倒数的两数之积为1，可得到x的值，再将x的值代入代数式计算.【变式6-2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021-（cd）2022值．【答案】解：根据题意得a+b=0、cd=1，(a+b)【解析】【分析】根据“a、b互为相反数，c、d互为倒数”可得a+b=0，cd=1，再将a+b=0，cd=1代入（a+b）2021-（cd）2022计算即可。题型7：有理数的应用-数轴7.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（）A．−b<a<b<−a B．a+b<0C．ab<0 D．|b|<|a|【答案】A【解析】【解答】解：由数轴可知，a<-2<1<b<2，∴-2<-b<-1，2<-a<3，∴a<-b<b<-a，a+b<0，ab<0，|b|<|a|，故A选项符合题意；B、C、D选项不符合题意.故答案为：A.【分析】由数轴可知：a<-2<1<b<2，求出-a、-b的范围，据此判断.【变式7-1】将﹣（﹣2），（﹣1）3，0的相反数，﹣0.4的倒数，比﹣1大52【答案】解：﹣（﹣2）=2，（﹣1）3=﹣1，0的相反数是0，﹣0.4的倒数是﹣2.5，比﹣1大52的数是﹣1+5在数轴上表示出来为：用“＜”连接起来为：﹣|﹣3|＜﹣2.5＜（﹣1）3＜0＜1.5＜﹣|﹣3|【解析】【分析】先求出各数，再在数轴上表示出来，然后用“＜”连接起来即可．【变式7-2】在数轴上，点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，如果点A表示的有理数为a，点B表示的有理数为b，求a与b的乘积．【答案】解：由题意知，a＝3或a＝-3，b＝5或b＝-5.当点A与点B位于原点的同侧时，a，b的符号相同，则ab＝3×5＝15或ab＝（-3）×（-5）＝15；当点A与点B位于原点的异侧时，a，b的符号相反，则ab＝3×（-5）＝-15或ab＝（-3）×5＝-15.综上所述，a与b的乘积为15或-15.【解析】【分析】只告诉了数轴上表示的数离开原点的距离，故要分表示这个数的点位于原点的左边还是右边两种情况来考虑；由点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，a＝3或a＝-3，b＝5或b＝-5，当点A与点B位于原点的同侧时，则ab＝3×5＝15或ab＝（-3）×（-5）＝15；a，b的符号相同，当点A与点B位于原点的异侧时，a，b的符号相反，则ab＝3×（-5）＝-15或ab＝（-3）×5＝-15；然后根据有理数的乘法法则即可算出答案，综上所述，即可得出答案。题型8：有理数的应用-绝对值8.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求a-（-b）-mcd的值【答案】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0．∵c，d互为倒数，∴cd=1．∵|m|=2，∴m=±2．整理得：原式=a+b-mcd当m=2时原式=-2，；当m=-2原式=2．∴代数式的值2或-2【解析】【分析】本题考查了代数的求值，根据相反数的定义可得a+b=0；根据倒数的定义可得cd=1；根据绝对值的意义可得m=±2，然后代入求值.【变式8-1】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，求a+b+x2-cdx的值.【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，∴a＋b＝0，cd＝1，x＝±3，当x＝3时，a+b+x2-cdx=0+9-1×3=6；当x＝-3时，a+b+x2-cdx=0+9-1×（-3）=12，∴a+b+x2-cdx的值为6或12.【解析】【分析】由互为相反数的两个数和为0得a＋b＝0，互为倒数的两个数的乘积为1得cd＝1，x的绝对值是3，可得x＝±3，然后分别代入计算即可.【变式8-2】如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是绝对值最小的有理数，求2ab-(c+d)+m的值．【答案】解：∵a、b互为倒数∴ab=1∵c、d互为相反数∴c+d=0∵m是绝对值最小的有理数∴m=0∴2ab-（c+d）+m=2×1-0+0=2【解析】【分析】根据倒数、相反数、有理数以及绝对值的含义，求出代数式的值即可。题型9：有理数的应用-新定义运算9.如果一对有理数a，b使等式a﹣b=a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（）A．（3，12） B．（2，1C．（5，23） D．（﹣2，﹣1【答案】D【解析】【解答】解：A、由（3，12），得到a﹣b=52，a•b+1=32B、由（2，13），得到a﹣b=53，a•b+1=23C、由（5，23），得到a﹣b=133，a•b+1=103D、由（﹣2，﹣13），得到a﹣b=﹣53，a•b+1=23故答案为：D【分析】根据题意，分别将四个选项中的一对数代入a﹣b和a•b+1中，比较二者的数值是否相等即可得出答案。【变式9-1】若定义新运算：a△b=（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）=．【答案】-216【解析】【解答】∵a△b=（﹣2）×a×3×b，∴（1△2）△（﹣3）=（-2×1×3×2）△（﹣3）=（-12）△（﹣3）=(-2)×(-12)×3×(-3)=-216【分析】根据新定义得到四个有理数的乘法，由三个负数得到结果是负数，求出它们的积.【变式9-2】定义：a是不为1的有理数，我们把11−a称为a的差倒数，如：2的差倒数是11−2＝﹣1，﹣1的差倒数是11−(−1)=12.已知a1＝﹣12，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4【答案】−【解析】【解答】解：由题意可得：a1＝﹣12，a2＝11−(−12)a4＝11−3∵2020÷3＝673…1，∴a2020＝−1故答案为：−1【分析】根据差倒数的定义，先计算a2、a3、a4的值，即可发现规律是每3个数循环，然后由2020除以3的余数即可得出答案.题型10：有理数的应用-实际问题10.某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）:（1）这天仓库的原料比原来增加了还是减少?请说明理由；（2）根据实际情况，运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元，问这天共需运费多少元?【答案】（1）解：−3×2+4×1−1×3+2×3−5×2＝−6+4−3+6−10＝−9；∴仓库的原料比原来减少9吨.（2）解：（4+6）×5+（6+3+10）×8＝50+152＝202（元）.∴这天共需运费202元.【解析】【分析】（1）将进出数量×进出次数，再把它们相加即可求解；（2）根据运进的数量乘以价格加上运出的数量乘以价格，即可得到答案.【变式10-1】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修小组一天中行驶的距离记录如下(单位：千米)：-4，+7，-9，+8，+6，-4，-5．（1）求收工时检修小组在A地的哪边？距A地多远？（2）距A地最远时是哪一次？（3）若检修小组所乘汽车每千米耗油0．5升，则从出发到收工时共耗油多少升？【答案】（1）解：-4+7+（-9）+8+6+（-4）+（-5）=−1（千米）．答：收工时检修小组在A地西面1千米处．（2）解：第一次距A地|-4|=4千米；第二次：|-4+7|=3千米；第三次：|-4+7-9|=6千米；第四次：|-4+7-9+8|=2千米；第五次：|-4+7-9+8+6|=8千米；第六次：|-4+7-9+8+6-4|=4千米；第七次：|-4+7-9+8+6-4-5|=1千米．所以距A地最远的是第5次．（3）解：从出发到收工汽车行驶的总路程：|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-4|+|-5|=43；从出发到收工共耗油：43×0.5=21.5（升）．答：从出发到收工共耗油21.5升．【解析】【分析】（1）将7个数据相加，利用有理数的加法法则计算即可求解；（2）根据绝对值的意义计算出每次到A地的距离，即可求解；（3）先将记录的数据的绝对值相加得出行驶的路程之和，再乘以每千米的耗油量，即可作答。【变式10-2】在抗洪抢险过程中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天航行路程记录如下：（单位：千米）15，﹣7，18，9，-3，6，-8（1）通过计算说明B地在A地的什么位置；（2）已知冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为40升，若冲锋舟在救援前将油箱加满，请问该冲锋舟在救援过程中是否还需要补充油？【答案】（1）解：15﹣7+18+9-3+6-8=30（千米）答：B地在A地东面30千米；（2）解：15+7+18+9+3+6-8=66（千米）66×0.5=33<40答：不需补充【解析】【分析】根据题意列式子，再根据有理数的加减法则进行计算即可求解。1．－3的倒数是（）A．3 B．−13 C．−3 【答案】B【解析】【分析】根据倒数的定义即可确定-3的倒数；【解答】-3的倒数是−1故选：B【点评】本题主要考查了倒数，绝对值，平方根的定义，主要考查的是基础知识．2．−1A．﹣2 B．12 C．−12【答案】A【解析】【解答】解：−1故答案为：A.【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解.3．如果a+b＞0，ab＞0，那么（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0【答案】A【解析】【解答】解：∵ab＞0，∴a，b同号，又∵a+b＞0，∴a＞0，b＞0．故本题选A．【分析】由题意可知：a、b同号，又知；a+b＞0，所以，即可判定a、b的取值范围．4．三个有理数的积为正数，则三个数中负数的个数是（）．A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】D【解析】【解答】解：∵三个有理数的积为正数，∴这三个数中负数的个数可能是0或2．故答案为：D．【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．5．倒数是它本身的数是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【答案】C【解析】【解答】倒数是它本身的数是1或﹣1，0没有倒数．故答案为：C．【分析】根据倒数的定义：乘积为1的数，叫做互为倒数；从而得出倒数是它本身的数是1或﹣1。6．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断：①a＜c＜b；②ab＜0；③a+b＞0；④c﹣a＜0中，错误的有（）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2＜-1＜c＜0＜b＜1，①数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以a＜c＜b，此结论正确；②由数轴图不难得出ab异号，故ab＜0，此结论正确；③异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，很明显，|a|＞|b|，所以a+b＜0，此结论错误；④正数减去负数所得差必为正数，所以c﹣a＞0，此结论错误.故错误的有2个.故答案为：B【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点，得出a＜﹣2＜-1＜c＜0＜b＜1且a>二、填空题7．-3的倒数是．【答案】−【解析】【解答】解：−3的倒数是−故答案为−【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答即可.8．计算：−12的相反数是，倒数，绝对值是【答案】12；﹣2；【解析】【解答】解：−12的相反数是12故答案为：12，﹣2，1【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．利用这些知识即可求解．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．9．从－3、－1、0、＋2、＋4中，任取3个数相乘，则乘积的最大值是．【答案】12【解析】【解答】解：积最大的是：（-3）×（-1）×（+4）=3×1×4=12．故答案为：12．【分析】乘积的最大值是正数，得到积最大的是（-3）×（-1）×（+4）.