电路第四版答案12

第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱12—1求图示波形的傅里叶级数的系数。解：f(t) 在第一个周期( 1T 2 )内的表达式为题12-1图Em(1t)1tEm(f(t)1t)1tEm(1t)1t显然,f(t)为奇函数f(t)展开为傅里叶级数为f(t)a0(akcosk1tbksink1t)k1由于f(t)为奇函数,所以,有a00,ak0。而bk=2aEm(1t)sin(k1t)]d(1t)Em(1t)sin(k1t)d(1t)[aa0a=2Em[1t1t)1sin(k1t)]aEm[cos(k1t)1t1t)1sin(k1t)]acos(kk20acos(kk2kkka=2Emsinka(k=1,2,3.)2a(ka)12—2 以知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：（）=0;(2)对所有k，b=0（）对所有k，a=0（）和bk为零，当k为1a0k;3k;4ak偶数时。解：（1）当 a0=0时，在后半个周期上，只要画出 f(t) 的负波形与横轴（ t 轴）所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。 以下题解12—2 图中的（b），（c）图均满足此条件。题12-2图（a） （b）c）题解12-2图（2）对所有k,bk=0,f(t) 应为偶函数，即有 f(t)=f(-t), 波形如题解12—2图（a）所示，波形对称于纵轴。（3）对所有

k,a

k=0,f(t)

应为奇函数，即

f(t)=

-f(-t),

波形如图（

b）所示，波形对称于原点。（4）ak

和

b

k为零，当

k为偶数时，此时，

f(t)

称为奇谐波函数，既

ak

和bk只出现在

k为奇数时，函数

f(t)

满足镜对称性质，即有f(t)=

-f(t+

T

),

波形如图（c）2所示。注：12—1和12—2题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数计算。12—3一个RLC串联电路。其R=11,L=0.015H,C=70F,外加电压为u(t)=[11+141.4cos(1000t)–35.4sin(2000t)]V试求电路中的电流i(t)和电路消耗的功率。解：RLC串联电路如题解—3图所示，电路中的非正弦周期电压u(t)为已知，12分别有直流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式.U(k).UkIk1ZkRj(kL)kC其中,L=15,1=14.286.C电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：（1）直流U0=11V作用时，电感L为短路，电容C为开路，故，I0=0,P0=0。.（2）基波(k=1)作用时，令U=10000VZ(1)=R+j(L—1)=（11+j0.714）=11.0233.710C.=U(1)=10000=9.0723.710A故I1Z(1)11.0233.710P(1)=I(1)2R=905.28W（3）二次谐波(k=2)作用时，令U(2)=35.4900=25.032900V2Z(2)=R+j(2L—21)=11+j(30—114.286)=25.36664.30C2故I(2)=U(2)=25.032900=0.98725.70AZ(2)25.36664.30P(2)=I(22)R=(0.98)211=10.716W所以，电路中的电流i(t)为i(t)=0+29.072cos(1000t—3.710)+20.987cos(2000t+25.70)=12.83cos(1000t-3.710)–1.396sin(2000t–64.30)A电路消耗的功率P=P0+P(1)+P(2)=905.28+10.716=916W12—4电路如图所示，电源电压为uS(t)=[50+100sin(314t)–40cos(628t)+10sin(942t+200)]V试求电流i(t)和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。解：设电流i(t)第k次谐波的向量为Im(k)(采用复振幅相量)。（）当k=0，1直流分量U0=50V作用时，电路如题解12-4图所示，有Z0=R+R1=60，故I0=U0=50=5AZ0606Ps0=U0I0=505=41.667W6（）当k=1，即=1=314rads,基波向量Usm(1)=100900V作用时，有2Z(1)=10+j3.14+11=71.26719.310j0.015750j31.4故Im(1)=Usm(1)=100900=1.40370.690AZ(1)71.26719.310Ps(1)=1Usm(1)Im(1)cos(19.310)11001.403cos19.31022=66.2W（3）当k=2，即 21 628rads, 二次谐波向量Usm(2) 40 00V作用时，有Z(2)10j6.28142.52854.5520j0.03141j62.850故Im(2)Usm(2)40000.941125.4480AZ(2)42.52854.5520Ps(2)1Usm(2)Im(2)cos(1400.94cos54.552010.915W54.5520)22（4）当k=3，即.31942rads，三次谐波相量USM31070V作用时，有Z310j9.42120.55251.191j0.0471j94.250故..USM31070Im30.48718.81AZ320.55251.19PS31cos(51.19)10.487cos51.191.526WUSM3Im31022所以，电流i（t）为it 0.833 1.403sin(314t 19.31) 0.941cos(628t 54.552) 0.487sin(942t 71.19)A电源发出的平均功率 Ps为PS PS0 PS1 PS2 PS3 41.667 66.2 10.915 1.526 120.308W电源电压有效值USU022225021002402102USM1USM2USM391.378V222222电源电流有效值21.40320.94120.48725I2221.497A612—5有效值为100V的正弦电压加在电感L两端时，得电流I=10A，当电压中有3次谐波分量，而有效值仍为100V时，得电流I=8A。试求这一电压的基波和3次谐波电压的有效值。解：根据题意，可求得基波时的感抗为100ZL1 L 1010故，三次谐波时的感抗为ZL3 3L 30所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式U12U321002U12U3282ZL1ZL3代入参数值并整理得U12U3210029U12U3264900解之，得U1649001002877.14VU3100277.14263.64V12—6以知RLC串联电路的端口电压和电流为u(t)[100cos(314t)50cos(942t300)]Vi(t)[10cos(314t)1.755cos(942t3)]A试求：（1）R,L,C的值；（2）3的值；（3）电路消耗的功率。解：RLC串联电路如图12—6图所示，电路中的电压知，分别含有基波和三次谐波分量。(1)由于基波的电压和电流同相位，所以， RLC

u(t)

和电流

i(t)

均为已电路在基波频率下发生串联谐振。故有Um110010R10Im1且XL1Xc1X1即1X1(1314rads)1L1C而三次谐波的阻抗为Z3Rj31Lj110j(3X11X1)10j8X131C33Z3的模值为282Um350Z310(3X1)Im31.75528.49解得X1为X1(28.492102)910.00464故.X110.004L31.86mH31411C318.34F1X131410.004（2）三次谐波时，Z3的阻抗角为8X13arctan3arctan2.66869.45010而3 u3 i3 300 3则3 300 3 99.450（3）电路消耗的功率 P为P1100101501.755cos69.450515.4W2212—7图示电路各电源的电压为U060Vu1[1002cos(1t)202cos(51t)]Vu2502cos(31t)Vu3u3[302cos(1t)202cos(31t)]Vu4[802cos(1t)102cos(51t)]Vu5102sin(1t)V（1）试求Uab,Uac,Uad,Uae,Uaf;（2）如将U0换为电流源is22cos(71t)，试求电压Uac,Uad,Uae,Uag（Uab等为对应电压的有效值）。解：本题各电源电压含有的各次谐波分量为：恒定分量和 4个奇次（ 1,31,51,71）谐波分量，各电压的有效值计算如下：1）Uab1002202101.98VUac1002502202113.578VUad6021002502202128.45VUae602(10030)2(5020)2202147.648VUaf602(1003080)2(5020)2(2010)284.261V(2)设电压UR参考方向如图中所示，当将U0换为电流源is（其方向设为从c点指向d点）时，有uR Ris 20 2cos(71t)V各电压有效值分别为Uac1002502202113.578VUad[(8030)2102]20210220259.16VUac(802102)10220283.666VUaguR20V注：本题在求解各电压有效值中，需要先将不同电源电压的相同频率的时域响应相加，再进行各次谐波有效值的计算，最后求出所要求解的非正弦电压的有效值。12—8

图示为滤波电路，需要负载中不含基波分量，但

41的谐波分量能全部传送至负载。如

1

1000rads,C

1F,

求

L1和L2解：欲使负载中不含基波分量，既在此时负载中的电流需为零，则有 L1和C在 1处发生并联谐振，由谐振条件得111000radsL1C故111HL11000210612C若要求4次（41）谐波分量能全部传送至负载端，需要此电路在 4 1 处发生串联谐振，因XL2 41L2 4000L2而 L1与C 并联的电抗为141L1800XL1C11612CL11341C1L14串联谐振时，有j(XL2XL1C)800j(4000L2)03即4000L2800380011L2400066.67mH31512—9图示电路中uS(t)为非正弦周期电压，其中含有31及71的谐波分量。如果要求在输出电压u(t)中不含这两个谐波分量，问L,C应为多少？解：根据图示结构知，欲使输出电压u(t)中不含31和71的谐波分量，就要求该电路在这两个频率时，输出电压 u(t) 中的3次谐波分量和 7次谐波分量分别为零。若在 31 处1H 电感与电容C发生串联谐振，输出电压的3次谐波 U3 0 ，由谐振条件，得11131,C912L1C912L1若在71处1F电容与电感L发生并联谐振，则电路中7次谐波的电流I70，电压U70，由谐振条件，得11171,L49LC14912C1

21也可将上述两个频率处发生谐振的次序调换一下，即在 3 1 处，使 L与C1发生并联谐振，而在 7 1 处，使 L1与C发生串联谐振，则得L1112C1294912—10图示电路中is [5 10cos(10t 200) 5sin(30t 600)]A,L1 L2 2H,M 0.5H 。求图中交流电表的读数和 u2 。解：由图示电路可知，电流表读数为电流 is的有效值即A52102529.354A22而电压u2(t)为u2(t)Mdis50sin(10t200)75cos(30t600)Vdt电压表读数为电压 u2 的有效值，有V2502752263.738V212—11图示电路中us1[1.5t0)]V，电流源is22sin(1.5t)A。求uR52sin(290及us1发出的功率。解：电路各响应的求解，可以看作是电压源us1的各频率分量和电流源 is2 单独作用时，所得各响应分量的叠加，具体计算如下（1）直流UV单独作用时，电感短路，电容开路，电路如题解12—11图(a)s1(0)1.5所示，根据KVL，有Us10 2UR(0)UR(0)3UR(0)故UR(0)1Us1(0)0.5V3I(0)UR(0)0.5APs1(0)Us1(0)I(0)1.50.50.75W（2）Us1(1)52sin(2t900)A(12rads)的电压分量单独作用时，电路如题解图(b)所示，令Us1(1)500V,jXL(1)j1Lj4。根据KVL，有U且U

s1(1)jXL(1)I(1)2UR(1)UR(1)j4I(1)3UR(1)R(1)I(1)解之，得UR(1)Us1(1)500153.130V3j4553.130I(1)UR(1)153.130APs1(1)Us1(1)I(1)cos53.130510.63W（3）电流源is2(21.5rads)单独作用时，电路如题解图（c）所示。令Is229002900A,jXL(2)j2Lj3,jXC(2)j1j1.22C对独立结点a，列出结点电压方程11)Ua(2)Is22UR(2)(jXL(2)Ua(2)3UR(2)代入参数值并消去Ua(2) ，有1(j1)3UR(2)Is22UR(2)3UR(2)Is22900101j1245045V所以，电压uR为uR(t) 0.5 2cos(2t 53.130) 2cos(1.5t 450)V电压源 us1发出的功率为Ps1 Ps1(0) Ps1(1) 0.75 3 3.75W*12-12对称三相星形连接的发电机的A相电压为uA[2152cos(1t)302cos(31t)102cos(51t)]V，在基波频率下负载阻抗为Z(6j3)，中线阻抗ZN(1j2)。试求各相电流，中线电流及负载消耗的功率。如不接中线，在求各相电流及负载消耗的功率；这时中点电压 UN'N 为多少？解：图示电路中，对称三相电压源的基波构成正序对称三相电压，5次谐波构成负序对称三相电压，而3次谐波构成零序对称组。由于此电路是对称三相四线制连接，对正，负序电压分量而言，可以归结为一相（A相）电路的计算且此时中线电流为零。令UA(1)21500V,UA(5)1000V，而Z(1)(6j3),Z(5)(6j15),则可得正序和负序对称组电流UA(1)2150026.570AIA(1)32.05Z(1)6j3根据对称性可以写出IB(1)a2IA(1)32.05146.570AIC(1)aIA(1)32.0593.430AIA(5)UA(5)10000.6268.20AZ(5)6j15IB(5)a2IA(5)0.6251.80AIC(5)aIA(5)0.62188.20A对图示电路中的零序对称组电压（既三次谐波），令UA(3)UC(3)UB(3)3000V，而Z(3)(6j9),ZN(3)(1j6)，则中性点N与N之间的电压UN'N(3)为3UA(3)Z(3)3UA(3)ZN(3)33000(1j6)8.9680VUN'N(3)19.236313ZN(3)Z(3)9j27Z(3)ZN3故，零序对称组电流为IA(3)IB(3)IC(3)UN'N(3)300019.2368.968071.570AUA(3)Z(3)6j9中线电流IN(3)为.71.570AIN(3)3IA(3)3.162所以，各相电流为iA[32.052cos(1t26.570)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t68.20)]AiB[32.052cos(1t146.570)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t51.80)]Aic[32.052cos(1t93.430)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t188.20)]A而中线电流iN为iN3.162cos(31t71.570)A负载消耗的功率为P3(IA2(1)IA2(3)IA2(5))R3(32.0521.05420.622)618517W若不接中线，正序和负序对称组的各相电流均未改变而