《等差数列的通项公式》示范课教案【高中数学苏教版教学设计】

第四章数列《等差数列的通项公式》教学设计教学目标教学目标1.理解等差数列的通项公式的意义；2.能在具体的情境中发现数列的等差关系，并解决相关问题；3.体会等差数列与一次函数的关系；4.通过等差数列的通项公式的推导，培养学生的数学抽象、逻辑推理等素养.教学重难点教学重难点重点：理解等差数列的通项公式的意义．难点：利用等差数列解决相关问题．教学过程教学过程一、新课导入情境：第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能举行，届数照算.按此规则，问：2050年举行奥运会吗？分析：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列.这个数列为1896，1900，1904，1908，…要判断2050年是否举行奥运会，只需要看2050是否在这个数列内.追问：如何判断2050是否在这个数列内呢？答案：写出数列的通项公式，看是否存在n∈N∗时，这节课我们一起来研究等差数列的通项公式.二、新知探究问题1：观察等差数列a4，7，10，13，16，…，如何写出它的第100项a100呢分析：试着用等差数列的取值规律表示每一项.答案：a1a2a3a4…从而a100想一想：设数列an是一个首项为a1，公差为d的等差数列，根据上面的等式规律你能写出它的第n项a答案：一般地，对于等差数列an的第n项an，有追问：能否证明上面的结论？证明：因为an为等差数列，所以当n≥2时，a2a3…an将上面n−1个等式的两边分别相加，得an所以an当n=1时，上面的等式也成立.总结：首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为练一练：等差数列9，5，1，…的第101项是多少？解：由a1=9得a101问题2：现在你能否解决前面提到的情境问题？答案：由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列.这个数列的通项公式为a=1892+4n(n∈假设an=2050，则2050=1892所以an=2050答：按此规则，2050年不举行奥运会.问题3：我们知道，数列是一种特殊的函数，观察等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d追问1：在通项公式an=a答案：a1和d是常量，an和追问2：变量之间有什么变化关系？答案：an随n的变化而变化，且每一个n的值对应一个an.所以an小结：将an=a1+(n−1)d整理一下，可得an=a1（1）当公差d=0时，f（n）是常数函数，此时数列a（2）当公差d≠0时，问题4：你能画出等差数列an的图象吗追问1：an的图象与一次函数y答案：等差数列的图象是一次函数图象的一个子集，是图象上一些间隔的点．追问2：公差d的几何意义是什么？答案：公差d是对应直线y=dx追问3：d的取值对图象的增减性是否有影响？答案：有，分d＞0，d＜小结：等差数列an的图象是斜率为d，截距为a总结：等差数列的增减性当d＞0时，数列当d＜0时，数列当d=0时，数列设计意图：通过等差数列的通项公式的推导过程强化对通项公式意义的理解，并通过探究通项公式体会等差数列与一次函数的关系.三、应用举例例1在等差数列an中（1）已知a1=3，公差d=已知a3=10，a9思考1：等差数列由哪些基本量确定？答案：a1和d思考2：已知任意两项如何确定通项an答案：利用通项公式列方程组求解即可.解：（1）由等差数列的通项公式，得a6（2）设等差数列的公差为d，那么a解得a所以an已知等差数列an得通项公式为an=2n−1，思考1：已知通项如何求a1和d？答案：令n=1求a1，an＋1an=d思考2：an答案：与一次函数y=2x−1有关.解：a1a2所以d=等差数列an=2n−1是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点设计意图：通过例题，对等差数列的通项公式进行练习，掌握求等差数列的通项公式的方法，并通过画图进一步体会等差数列与一次函数的关系．四、课堂练习1．(1)求等差数列8，5，2…的第20项．(2)已知{an}是等差数列，且a2＝-5，a6＝a4＋6，求首项a1和公差d．2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？3.诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次.（1）从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？（2）你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？4.已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值，若不是，说明理由；(3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项．参考答案：1．(1)由已知条件得a1＝8，d＝5-8＝-3，n＝20，从而a20＝8＋(20-1)×(-3)＝-49．所以这个数列的第20项是-49.(2)解：设数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d，由已知得a1+d=-5a1+5d=a1+3d+6，解得2.由a1得这个数列的通项公式为an令-4n由于100∈N∗，所以-4013.解：（1）由题意知，彗星出现的年份构成的数列是一个以1823为首项，83为公差的等差数列.这个数列的通项公式为a=1657+83n(n∈所以，a8（2）假设an=2500，则2500=1657所以an=2500所以这颗彗星不会在2500年出现.4.(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b，由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得2d+b=1，4d+b=5(2)(n，17)是{an}图象上的点．由2n−3＝17，得n＝10∈N*，所以(10，17)是{an}图象上的点．(3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列．令2n−3>0，得