2021高三数学教师用书：第8章 第5讲直线、平面垂直的判定及性质含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第8章第5讲直线、平面垂直的判定及性质含解析第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1．直线与平面垂直(1）直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的eq\x（\s\up1（01)）任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的eq\x（\s\up1(02)）两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α（3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线eq\x（\s\up1（07）)平行⇒a∥b2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是eq\x（\s\up1（10）)直二面角,就说这两个平面互相垂直．（2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的eq\x(\s\up1（11))垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β(3）平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于eq\x（\s\up1(14）)交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α3．直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围:θ∈［0°，90°]．4．二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的eq\x(\s\up1(19））两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱eq\x(\s\up1（20))垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角．直线与平面垂直的五个结论（1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．（2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α,β是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且l⊂α,m⊂β，下列结论正确的是()A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β,则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确;当α⊥β，l⊂α，m⊂β时,l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行,也可能相交，故C错误;当α∥β,l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行,也可能异面，故D错误．故选A.2．(2019·浙江杭州模拟）已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α,n⊥β，则（)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C。3．（2019·广东五校诊断考试)设m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α,m∥n,n⊂β，则α⊥βC．若m⊥n,m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β,m⊂α，n⊂β，则m∥n答案B解析A项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n相交或m，n为异面直线，故不正确；C项，若m⊥n,m⊂α,n⊂β，则α，β有可能相交但不垂直，故不正确；D项，若α∥β，m⊂α,n⊂β，则m，n有可能是异面直线，故不正确，故选B。4．若a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(）A．a⊥c,b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α答案C解析对于A，B,直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；对于D，一定能推出a∥b。故选C。5．（2019·江西南昌模拟）如图,在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在（）A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC,则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.6．(2019·沈阳模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA,PB,PC两两垂直,则下列命题:①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC。其中正确的个数是________．答案3解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB,PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC。又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB。但AB不一定垂直于BC.核心考向突破考向一有关垂直关系的判断例1(1）已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A．若l垂直于α内的两条平行线,则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线,则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α答案A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B,D正确，选项C是直线与平面垂直的判定定理，而A中,直线l可以是与平面α相交但不垂直的直线或平行的直线，故选A.（2)(2019·江西临川一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形,E①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1;③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面A．② B．①③C．①④ D．②④答案A解析对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内,故错误;对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形,E是BC的中点，所以AE⊥BC，又因为B1C1∥BC,故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．(2)善于寻找反例,若存在反例，结论就被驳倒了．(3)要思考完整,反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．［即时训练］1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β答案B解析因为α⊥β，m⊂α,则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内,故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β,m∥α，则m，β的位置关系也不确定,故C错误；若m⊥n，n∥β,则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B。2．（2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD中,E，F分别是BC,CD的中点，G是EF的中点，现沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C,D三点重合，重合后的点记为H，那么,在这个空间图形中必有（）A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案A解析由平面图形，得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直例2（1）(2019·河北唐山一模)如图,在△ABC中，AB＝BC＝4,∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE.①证明：BC⊥平面PBE；②求点F到平面PEC的距离．解①证明:因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EF∥BC，因为∠ABC＝90°,所以EF⊥BE，EF⊥PE,又因为BE∩PE＝E,所以EF⊥平面PBE,所以BC⊥平面PBE.②取BE的中点O，连接PO，由①，知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE,所以平面PBE⊥平面BCFE，因为PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE，又因为PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，在Rt△POC中,PC＝eq\r(PO2＋OC2)＝2eq\r(5)，在Rt△EBC中，EC＝eq\r(EB2＋BC2）＝2eq\r（5)，在△PEC中，PC＝EC＝2eq\r（5）,PE＝2，所以S△PEC＝eq\r(19），又因为S△ECF＝2，设点F到平面PEC的距离为d，由VF－PEC＝VP－ECF，得S△PEC·d＝S△ECF·PO,即eq\r（19)×d＝2×eq\r（3)，所以d＝eq\f(2\r(57），19).即点F到平面PEC的距离为eq\f（2\r(57）,19）。(2）(2019·广东揭阳二模）已知如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝4，BB1＝2eq\r（2）,点E，F,M分别为C1D1,A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的相应面相交，交线围成一个几何图形．①在图中画出这个几何图形,并求这个几何图形的面积(画图说出作法,不用说明理由)；②求证：D1B⊥平面DEF。解①设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC,CM，则四边形MNAC为所作图形．连接A1C1，易知MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2）A1C1,又因为A1C1綊AC，所以四边形MNAC为梯形，且MN＝eq\f(1,2）AC＝2eq\r(2)，过M作MP⊥AC于点P，因为MC＝eq\r（8＋4）＝2eq\r(3），PC＝eq\f（AC－MN,2)＝eq\r（2），所以MP＝eq\r(MC2－PC2）＝eq\r（10),所以梯形MNAC的面积S＝eq\f（1，2）×（2eq\r(2)＋4eq\r（2)）×eq\r（10)＝6eq\r(5)。②证法一:在长方体ABCD－A1B1C1D1中,设D1B1交EF于点Q，连接DQ,则Q为EF的中点并且为D1B1的四等分点，如图,D1Q＝eq\f（1,4）×4eq\r(2）＝eq\r(2）,由DE＝DF,得DQ⊥EF，又因为B1D1⊥EF，B1D1∩DQ＝Q，所以EF⊥平面BB1D1D，则EF⊥D1B。因为eq\f（D1Q，D1D)＝eq\f(D1D,DB）＝eq\f（1,2），且∠QD1D＝∠D1DB，则△QD1D∽△D1DB，所以∠D1QD＝∠BD1D,所以∠QD1B＋∠D1QD＝∠DD1B＋∠BD1Q＝90°，所以DQ⊥D1B,又因为EF∩DQ＝Q，所以D1B⊥平面DEF.证法二：设D1B1交EF于点Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q＝eq\f（1,4)×4eq\r(2）＝eq\r(2），由BB1⊥平面A1B1C1D1,知BB1⊥EF又因为B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1,所以EF⊥平面BB1D1D，所以EF⊥D1B，由eq\f（D1Q,D1D）＝eq\f（D1D，DB)＝eq\f（1,2），得tan∠QDD1＝tan∠D1BD,得∠QDD1＝∠D1BD,所以∠QDB＋∠D1BD＝∠QDB＋∠QDD1＝90°，所以DQ⊥D1B，又因为DQ∩EF＝Q,所以D1B⊥平面DEF.角度2利用线面垂直证明线线垂直例3(1）(2019·广东韶关模拟)如图，四边形ABCD是直角梯形,其中BC＝CD＝1，AD＝2,∠ADC＝90°.点E是AD的中点，将△ABE沿BE折起如图，使得A′E⊥平面BCDE.点M，N分别是线段A′B，EC的中点．①求证：MN⊥BE;②求三棱锥E－BNM的体积．解①证明：∵AD＝2，且点E是AD的中点∴ED＝1。∵四边形ABCD是直角梯形，BC＝1,∴ED綊BC，∴四边形BCDE为平行四边形,∵BC＝CD＝DE＝1，∠ADC＝90°，∴四边形BCDE为正方形．∵N是EC的中点，∴N是BD的中点．又M是A′B的中点,∴MN∥A′D.∵A′E⊥平面BCDE，∴BE⊥A′E，又BE⊥ED,且A′E∩ED＝E，∴BE⊥平面A′ED，∴BE⊥A′D，则BE⊥MN.②∵A′E⊥平面BCDE,且M是线段A′B的中点，∴M到底面BEN的距离为eq\f（1,2)A′E＝eq\f（1,2)，又正方形BCDE的边长为1，∴S△BNE＝eq\f(1,4)×1×1＝eq\f（1，4)。∴三棱锥E－BNM的体积V＝VM－BEN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4）×eq\f（1,2)＝eq\f(1,24）.(2）(2019·北师大实验中学3月模拟）如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD,SA＝AD＝1，点M是SD的中点,AN⊥SC,交SC于点N.①求证：SC⊥AM；②求△AMN的面积．解①证明：∵SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴SA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩SA＝A,∴CD⊥平面SAD。∵AM⊂平面SAD，∴CD⊥AM。又SA＝AD＝1，点M是SD的中点，∴AM⊥SD.∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD.∵SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM。②∵M是SD的中点,∴VS－ACM＝VD－ACM＝VM－ADC，∴VS－ACM＝eq\f(1,3）S△ACD·eq\f（1,2）SA＝eq\f（1,3）×eq\f（1，2)×eq\f（1，2）＝eq\f(1,12）,∵AN⊥SC,SC⊥AM，AN∩AM＝A,∴SC⊥平面AMN，∴VS－ACM＝eq\f（1，3)S△AMN·SC.∵SC＝eq\r（3),∴△AMN的面积S△AMN＝eq\f（3VS－ACM，SC）＝eq\f(\r（3），12).(1）证明线线垂直的常用方法①利用特殊图形中的垂直关系．②利用等腰三角形底边中线的性质③利用勾股定理的逆定理．④利用直线与平面垂直的性质．(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理,它是最常用的思路．②利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．③利用面面垂直的性质:a。两个平面互相垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．b．若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．[即时训练］3．如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°,PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上,且PM＝2MC，N为AD的中点．（1)求证：AD⊥平面PNB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解(1）证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD。又底面ABCD是菱形,∠BAD＝60°,∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD。又PN∩BN＝N,∴AD⊥平面PNB。（2）∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝eq\r（3）。又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD,∴PN⊥NB，∴S△PNB＝eq\f(1，2)×eq\r（3）×eq\r(3）＝eq\f(3，2).∵AD⊥平面PNB，AD∥BC,∴BC⊥平面PNB。又PM＝2MC,∴VP－NBM＝VM－PNB＝eq\f（2,3)VC－PNB＝eq\f（2，3)×eq\f(1,3）×eq\f(3,2)×2＝eq\f(2，3).4．(2019·湖南六校联考)如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB＝60°，EB⊥底面ABCD,FD⊥底面ABCD,EB＝2FD＝4。（1）求证：EF⊥AC;(2）求几何体EFABCD的体积．

解（1）证明：连接BD,∵FD⊥底面ABCD，EB⊥底面ABCD，∴EB∥FD，AC⊥EB，且E，F，D,B四点共面，设DB∩AC＝O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥DB,又DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB。∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF。（2）∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四边形EFDB为直角梯形，在菱形ABCD中，∵∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝eq\r(3),∴梯形EFDB的面积S＝eq\f（2＋4×2,2)＝6。∵AC⊥平面EFDB，∴VEFABCD＝VC－EFDB＋VA－EFDB＝eq\f(1，3）S·AO＋eq\f(1,3）S·CO＝4eq\r(3).考向三面面垂直的判定与性质例4（1)（2019·陕西汉中重点中学3月联考）在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD.AB＝2AD＝4，∠DAB①证明：平面D1BC⊥平面D1BD；②若直线D1B与底面ABCD所成的角为30°，M,N，Q分别为BD，CD，D1D的中点,求三棱锥C－MNQ的体积．解①证明：∵D1D⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC.又AB＝4,AD＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r（22＋42－2×2×4×cos60°）＝2eq\r（3)，∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD。又AD∥BC,∴BC⊥BD。又D1D∩BD＝D，BD⊂平面D1BD，D1D⊂平面D1BD，∴BC⊥平面D1BD，而BC⊂平面D1BC,∴平面D1BC⊥平面D1BD。②∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即∠D1BD＝30°，而BD＝2eq\r（3)，∴DD1＝2，又VC－MNQ＝VQ－CMN＝eq\f(1,4）VQ－BDC,∴VC－MNQ＝eq\f(1,4）×eq\f(1，3）×eq\f（1,2)×2eq\r（3）×2×1＝eq\f（\r（3)，6).（2）（2019·河南焦作四模)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,底面为正三角形，AA1⊥底面ABC,AA1＝3AB，点E在线段CC1上,平面AEB1⊥平面AA1B1B。①请指出点E的位置，并给出证明；②若AB＝1，求点B1到平面ABE的距离．解①点E为线段CC1的中点．证明如下：取AB的中点为F,AB1的中点为G,连接CF，FG，EG。则FG∥CE，FG＝CE,所以四边形FGEC为平行四边形．所以CF∥EG。因为CA＝CB，AF＝BF，所以CF⊥AB。又因为AA1⊥底面ABC,CF⊂底面ABC，所以AA1⊥CF.又因为AA1∩AB＝A，所以CF⊥平面AA1B1B.所以EG⊥平面AA1B1B，而EG⊂平面AEB1，所以平面AEB1⊥平面AA1B1B.②由AB＝1,得AA1＝3.由①可知，点E到平面ABB1的距离为EG＝CF＝eq\f(\r（3），2)。而△ABB1的面积S△ABB1＝eq\f(1,2）×1×3＝eq\f（3,2），AE＝BE＝eq\f（\r(13），2），等腰△ABE底边AB上的高为eq\r（\f（13，4）－\f(1，4））＝eq\r(3）.记点B1到平面ABE的距离为h，由VB1－ABE＝VE－ABB1⇒eq\f(1,3)×h×eq\f(1，2)×1×eq\r(3）＝eq\f(1，3)×eq\f(3,2)×eq\f（\r（3)，2)，解得h＝eq\f(3,2），即点B1到平面ABE的距离为eq\f(3，2）。(1)证明面面垂直的方法证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用