2021数学（文）统考版二轮复习学案：板块2 命题区间精讲 精讲4 统计与概率含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学（文）统考版二轮复习学案：板块2命题区间精讲精讲4统计与概率含解析统计与概率命题点1用样本估计总体总体估计的方法（1）统计量法:①若数据已知，常借助eq\x\to(x)，s2等量对样本总体做出估计,其中eq\x\to（x）＝eq\f（x1＋x2＋…＋xn,n），s2＝eq\f（1,n)eq\o(∑，\s\up7(n）,\s\do10（i＝1））（xi－eq\x\to（x）)2。②若数据未知，如以频率分布直方图形式给出,则应明确直方图中各统计量的求法．(2)图表分析法:若根据图表比较样本数据的大小，可根据数据分布情况直观分析，大致判断平均数的范围，并依据数据的波动情况比较方差(标准差）的大小．[高考题型全通关］1．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．经数据处理后得到该样本的频率分布直方图,其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．（1)求图中a，b，c的值；（2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明:①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1。50的产品至少要占全部产品的90%"的规定？切入点:依据eq\f(频数，样本容量)＝频率求解图中a，b，c的值；借助互斥事件的概率对（3)做出判断．[解]（1)由频率分布直方图和茎叶图得：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（5,100×0.1)＝a，,\f（10,100×0。1）＝b，,a＋b＋3＋4＋c＝\f(1,0。1），）)解得a＝0.5，b＝1,c＝1。5。(2)估计这种产品质量指标值的平均数为：eq\o(x,\s\up7（－））＝1。35×0.5×0.1＋1。45×1×0.1＋1。55×3×0.1＋1.65×4×0。1＋1.75×1。5×0.1＝1.6，估计这种产品质量指标值的方差为：s2＝（1。35－1.6）2×0。05＋(1.45－1。6）2×0。1＋(1。55－1.6)2×0。3＋（1.65－1.6)2×0。4＋（1。75－1。6）2×0.15＝0.0105.（3）∵质量指标值不低于1。50的产品占比为：0．30＋0.40＋0。15＝0.85＜0。9，∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于1.50的产品至少要占全部产品的90％"的规定．2．某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成,对A,B两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：（1）通过茎叶图比较A，B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；(2）举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流，所得分数低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级根据所得分数，估计A,B两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大，并说明理由．[解]（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散。（2)A选手直接晋级的概率更大．用CA表示事件“A选手直接晋级”，CB表示事件“B选手直接晋级”．由茎叶图得:Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(CA))的估计值为（5＋3)÷20＝eq\f（8，20）＝eq\f（2，5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（CB））的估计值为(5＋2）÷20＝eq\f（7,20），所以，A选手直接晋级的概率更大．命题点2回归分析进行回归分析的一般思路(1）定关系:依据样本数据散点图或相关系数r，确定两个变量是否具有较强的相关关系．（2）算各值:分别计算eq\x\to(x），eq\x\to（y）,eq\o(∑,\s\up7（n)，\s\do10(i＝1)）xeq\o\al（2,i），eq\o(∑,\s\up7(n），\s\do10(i＝1)）xiyi的值．(3）求系数：求出回归系数eq\o（b，\s\up7(^)),eq\o(a,\s\up7（^))。其中eq\o(b，\s\up7(^)）＝eq\f（\o(∑，\s\up7(n)，\s\do10(i＝1))xi－\x\to（x)yi－\x\to（y),\o（∑,\s\up7(n),\s\do10（i＝1）)xi－\x\to(x）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up7（n)，\s\do10(i＝1））xiyi－n\O（\x\to(x）)\O(\x\to（y)），\o(∑,\s\up7（n）,\s\do10(i＝1)）x\o\al（2,i)－n\x\to（x)2).(4）写方程：eq\o(y，\s\up7(^）)＝eq\o(b，\s\up7(^）)x＋eq\o（a，\s\up7（^））。（5）作预测：依据回归方程给出预测值．提醒：非线性回归分析可借助代数变换转化为线性回归分析．[高考题型全通关］1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位:千元)对年销售量y（单位：吨）和年利润z（单位:千元）的影响,对近13年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，13)数据作了初步处理，得到如下图所示的散点图及一些统计量的值．由散点图知，按y＝a＋beq\r(x），y＝c＋eq\f（d,x）建立y关于x的回归方程是合理的．令s＝eq\r（x)，t＝eq\f(1,x)，经计算得如下数据：eq\x\to（x)eq\x\to(y）eq\x\to（s）eq\x\to（t)10。15109。943.040。16且(si，yi)与（ti，yi)(i＝1,2，…，13)的相关系数分别为r1＝0。886与r2＝－0。995.(1)从以上模型中选择更优的回归方程，并用相关系数加以说明；(2）根据（1）的选择结果及表中数据,建立y关于x的回归方程；（3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝10y－x.根据（2)的结果回答下列问题:①年宣传费x＝20时，年利润的预报值是多少?②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(ui，vi）（i＝1，2，…，n)，其回归直线v＝eq\o(α,\s\up7（^))＋eq\o（β，\s\up7(^））u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β，\s\up7(^)）＝eq\f（\o（∑，\s\up7(n）,\s\do10（i＝1)）uivi－n\O(\x\to（u））\O（\x\to（v）),\o(∑，\s\up7（n)，\s\do10（i＝1))u\o\al（2,i)－n\x\to（u)2)，eq\o(α,\s\up7（^）)＝eq\x\to(v)－eq\o（β，\s\up7(^））eq\x\to（u).［解］(1）由于|r1｜＜|r2｜＜1，故y＝c＋eq\f(d，x）更优．(2)eq\o(d，\s\up7(^))＝eq\f(\o（∑，\s\up7（13)，\s\do10(i＝1)）tiyi－13\O(\x\to(t）)\O（\x\to（y)),\o（∑，\s\up7（13），\s\do10（i＝1）)t\o\al（2,i）－13\x\to(t）2)＝eq\f（－2.10，0.21)＝－10，eq\o（c,\s\up7(^）)＝eq\x\to（y)－eq\o(d，\s\up7（^））eq\x\to(t）＝109.94＋10×0。16＝111.54。则y关于x的回归方程为eq\o（y，\s\up7（^））＝111。54－eq\f（10,x）。（3)由题意，年利润z＝10y－x＝1115。4－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(100，x)＋x)),①当x＝20时，年利润的预报值是eq\o(z，\s\up7(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（100,20）＋20））＝1090.4.②由基本不等式得，年利润的预报值eq\o(z，\s\up7（^)）＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(100,x)＋x)），由于x＋eq\f(100,x)≥20，当且仅当x＝eq\f（100,x）,即x＝10时等号成立，此时eq\o（z,\s\up7（^））max＝1115。4－20＝1095.4.[点评］处理本题(2)应抓住两点：一是会借助题设信息实现非线性回归方程与线性回归方程的转换．二是会利用已知数据进行代数运算，只要这两点到位第（2)问的求解便顺理成章．复习备考要强化这种意识，对于第(3)问，体现了函数的应用及最值的求法．实现了知识的横向联系．2．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单位：万元)和收益y（单位：万元）的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120。3131.831.1837。8344.67他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值:eq\x\to(x）eq\x\to（y)eq\o（∑，\s\up7（6），\s\do10(i＝1））xiyieq\o(∑,\s\up7(6),\s\do10（i＝1））xeq\o\al(2,i）7301464.24364（1）根据残差图,比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由;（2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．①剔除异常数据后,求出(1)中所选模型的回归方程；②广告投入量x＝18时，（1）中所选模型收益的预报值是多少?附：对于一组数据(x1，y1），(x2,y2)，…,（xn,yn)，其回归直线eq\o(y,\s\up7（^))＝eq\o（b,\s\up7(^))x＋eq\o（a,\s\up7（^））的斜率和截距的最小二乘估计分别为:eq\o（b,\s\up7（^））＝eq\f（\o（∑,\s\up7(n),\s\do10（i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\o（∑,\s\up7（n）,\s\do10(i＝1））xi－\x\to(x）2)＝eq\f（\o(∑，\s\up7(n）,\s\do10(i＝1））xiyi－n\O(\x\to（x））\O（\x\to（y）），\o(∑，\s\up7（n),\s\do10(i＝1))x\o\al(2，i)－n\x\to(x)2)，eq\o（a，\s\up7（^)）＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up7(^）)eq\x\to（x)。[解］（1)应该选择模型①,因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．（2)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得eq\x\to（x)＝eq\f(1,5）×（7×6－6）＝7。2，eq\x\to(y）＝eq\f（1,5）×(30×6－31.8)＝29.64.eq\o（∑，\s\up7(5）,\s\do10(i＝1）)xiyi＝1464。24－6×31.8＝1273。44，eq\o(∑，\s\up7(5），\s\do10（i＝1））xeq\o\al（2，i）＝364－62＝328。eq\o(b，\s\up7(^)）＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do10（i＝1))xiyi－5\O(\x\to(x））\O（\x\to（y)）,\o(∑，\s\up7(5)，\s\do10（i＝1）)x\o\al（2，i)－5\x\to(x)2)＝eq\f（1273.44－5×7.2×29。64,328－5×7.2×7.2）＝eq\f（206。4,68.8)＝3,eq\o(a,\s\up7(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up7(^)）eq\x\to（x)＝29。64－3×7。2＝8.04.所以y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up7（^））＝3x＋8.04.②把x＝18代入①中所求回归方程得eq\o(y，\s\up7（^）)＝3×18＋8。04＝62.04,故预报值为62.04万元．命题点3独立性检验解决统计案例问题关键是过好三关:(1）假设关,即假设两个分类变量无关．（2）应用公式关,把相关数据代入独立性检验公式求出K2的观测值k。(3）对比关,将k与临界值进行对比，进而作出判断．[高考题型全通关]1．某工厂有两台不同的机器A和B,生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示．该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在[90，100）内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在［80，90)内的产品,质量等级为良好；鉴定成绩在［60,80）内的产品，质量等级为合格．将频率视为概率．（1)完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据,判断能不能在误差不超过0。05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上（含良好)与生产产品的机器有关；A机器生产的产品B机器生产的产品总计良好以上（含良好）合格总计(2)已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件,质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元,B机器每生产10万件的成本为30万元．该工厂决定,按样本数据测算,两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则保留原来的两台机器，你认为该工厂会怎么做?附：K2＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d），P(K2≥k）0。250。150。100。050。010k1。3232。0722。7063。8416.635[解］（1)完成2×2列联表如下．A机器生产的产品B机器生产的产品总计良好以上(含良好）61218合格14822总计202040结合列联表中的数据,可得K2的观测值k＝eq\f（40×6×8－12×142，20×20×18×22)＝eq\f（40，11）≈3.636〈3。841。故在误差不超过0。05的情况下,不能认为产品等级是否达到良好以上（含良好)与生产产品的机器有关．（2）由题意得，A机器每生产10万件产品的利润为10×(12×0.1＋10×0。2＋5×0.7)－20＝47(万元）,B机器每生产10万件产品的利润为10×（12×0.15＋10×0.45＋5×0.4）－30＝53(万元)，因为53－47＝6(万元）,6〉5，所以该工厂应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．［点评］破解直方图、茎叶图、独立性检验相交汇的开放性问题的关键是会利用直方图、茎叶图得到相关的数据，充分利用2×2列联表准确地计算出K2的观测值k，并将K2的观测值k与临界值进行比较,进而作出统计推断．对于开放性问题要会转化,如本题第(2)小题，把所求问题转化为比较两台机器每生产10万件产品所获利润的大小,即可得出结论．2．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组:(0，2]，（2,4］，(4，6]，（6，8]，（8，10］分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；(2）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？微信控非微信控总计男性50女性50总计100参考公式：K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，参考数据:P（K2≥k）0。100.050.0250。0100。0050.001k2。7063。8415.0246.6357。87910。828［解]（1）女性平均使用微信的时间为：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0。12×9＝4。76（小时）．(2)由已知得:2（0.04＋a＋0。14＋2×0。12)＝1,解得a＝0.08。由题设条件得列联表微信控非微信控总计男性381250女性302050总计6832100∴K2的观测值k＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）＝eq\f(100×38×20－30×122,50×50×68×32）≈2.941＞2.706.所以有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”．命题点4随机事件的概率以统计图表为背景的随机事件的概率问题(1）估计概率：根据频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等图表准确求出随机事件的频率，并用之估计相应概率．(2）计算概率:正确分析随机事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件;对于含有“至多”“至少”等问题的概率常用间接法求解．［高考题型全通关］1．(2020·惠州三调）惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量x（10≤x≤20,单位:公斤)，其频率分布直方图如图所示．该海鲜每天进货1次,每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元．假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤,商店销售该海鲜的日利润为y元．(1）求商店日利润y关于日需求量x的函数表达式．（2)根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数．②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率．［解](1）当10≤x<14时，y＝40x－10×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(14－x））＝50x－140；当14≤x≤20时，y＝40×14＋30×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－14））＝30x＋140。所求函数表达式为:y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(30x＋140\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（14≤x≤20))，,50x－140\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（10≤x<14））.））（2)①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（10，12））的频率是f1＝2×0.05＝0。1；海鲜需求量在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(12,14））的频率是f2＝2×0。1＝0。2；海鲜需求量在区间eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(14，16))的频率是f3＝2×0。15＝0。3;海鲜需求量在区间eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(16，18)）的频率是f4＝2×0。12＝0。24;海鲜需求量在区间eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(18，20））的频率是f5＝2×0。08＝0。16。这50天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：eq\x\to（x)＝eq\x\to(x1)·f1＋eq\x\to(x2)·f2＋eq\x\to(x3）·f3＋eq\x\to（x4)·f4＋eq\x\to(x5)·f5＝11×0.1＋13×0.2＋15×0.30＋17×0.24＋19×0。16＝15。32(公斤)．②当x＝14时，y＝560，由此可令30x＋140≥620，得x≥16。所以，估计日利润不少于620元的概率为(0.12＋0.08）×2＝0.4.[点评]将函数问题融于概