2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第2讲平面向量的基本定理及坐标表示含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第2讲平面向量的基本定理及坐标表示含解析第2讲平面向量的基本定理及坐标表示基础知识整合1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个eq\x(\s\up1(01））不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝eq\x(\s\up1(02））λ1e1＋λ2e2。2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与eq\x（\s\up1(03））x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，eq\x(\s\up1(04）)(x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a＝（x,y）,显然i＝eq\x(\s\up1(05))（1，0)，j＝eq\x(\s\up1(06))(0,1)，0＝eq\x（\s\up1（07))(0，0）．3．平面向量的坐标运算（1）设a＝（x1，y1)，b＝（x2，y2）,则a＋b＝eq\x(\s\up1(08))（x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝eq\x（\s\up1（09）)（x1－x2,y1－y2)，λa＝eq\x(\s\up1(10))（λx1，λy1)．（2)设A(x1，y1）,B(x2,y2)，则eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\x(\s\up1（11))（x2－x1，y2－y1），|eq\o（AB，\s\up6（→））｜＝eq\x（\s\up1(12)）eq\r（x2－x12＋y2－y12）。4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1,y1），b＝（x2，y2),其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔eq\x（\s\up1(13））x1y2－x2y1＝0.1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．2．当且仅当x2y2≠0时,a∥b与eq\f(x1，x2)＝eq\f(y1，y2）等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0,则λ＝μ＝0。4．已知P为线段AB的中点，若A（x1，y1),B（x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x1＋x2，2),\f(y1＋y2，2)）).5．已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2＋x3，3），\f（y1＋y2＋y3，3））)。6．A（x1,y1），B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1）（y3－y1)－(x3－x1)（y2－y1）＝0，或(x2－x1）（y3－y2)＝(x3－x2）(y2－y1)，或(x3－x1）（y3－y2)＝(x3－x2）（y3－y1)．1．（2019·福州模拟）已知向量a＝(2,4），b＝(－1,1）,则2a＋bA．（5,7) B．(5,9）C．（3，7） D．（3，9)答案D解析2a＋b2．(2019·郑州模拟)设向量a＝（x,1），b＝（4,x），若a，b方向相反，则实数x的值是（)A．0 B．±2C．2 D．－2答案D解析由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又因为a，b方向相反，所以x＝－2。故选D。3．（2019·桂林模拟）下列各组向量中，可以作为基底的是(）A．e1＝（0，0)，e2＝（1，－2）B．e1＝(－1,2)，e2＝（5,7)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10）D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2),－\f（3,4））)答案B解析两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B。4．在△ABC中,已知A（2，1)，B(0,2)，eq\o（BC，\s\up6(→）)＝（1，－2),则向量eq\o(AC，\s\up6（→)）＝（)A．（0，0) B．（2，2）C．(－1，－1） D．（－3,－3)答案C解析因为A(2,1），B（0，2），所以eq\o（AB，\s\up6(→））＝(－2，1）．又因为eq\o（BC，\s\up6（→)）＝(1，－2)，所以eq\o（AC,\s\up6（→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＝(－2,1）＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C。5．已知点A(1，3），B(4，－1）,则与eq\o（AB,\s\up6（→)）同方向的单位向量是（)A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，5），－\f（4，5)）) B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(4，5），－\f（3，5)）)C.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5)，\f(4,5））) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5），\f(3,5)））答案A解析因为eq\o(AB，\s\up6(→））＝(3,－4），所以与eq\o（AB,\s\up6(→）)同方向的单位向量为eq\f(\o（AB,\s\up6(→））,|\o(AB,\s\up6(→))｜）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，5），－\f（4，5)）)。6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3，4）．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于________．答案eq\f（1,2)解析因为a＋λb＝(1＋λ，2），c＝(3,4)，且(a＋λb）∥c，所以eq\f（1＋λ，3）＝eq\f（2,4）,所以λ＝eq\f(1,2）.核心考向突破考向一平面向量基本定理的应用例1(1）（2019·四川雅安模拟)已知A，B，C三点不共线,且点O满足eq\o（OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB，\s\up6(→))＋eq\o(OC，\s\up6（→）)＝0,则下列结论正确的是（)A。eq\o(OA,\s\up6（→））＝eq\f（1,3）eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\f（2,3)eq\o(BC，\s\up6(→）） B.eq\o(OA,\s\up6（→）)＝eq\f(2，3）eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f（1,3）eq\o(BC,\s\up6（→））C.eq\o(OA，\s\up6(→)）＝eq\f(1，3）eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\f（2,3）eq\o（BC,\s\up6（→)) D。eq\o（OA，\s\up6(→））＝－eq\f（2，3)eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\f（1，3)eq\o(BC,\s\up6（→）)答案D解析∵eq\o（OA，\s\up6(→））＋eq\o(OB,\s\up6(→)）＋eq\o(OC,\s\up6(→））＝0，∴O为△ABC的重心，∴eq\o（OA,\s\up6（→))＝－eq\f(2,3）×eq\f（1，2）（eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AC，\s\up6（→）））＝－eq\f(1，3）(eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→）)）＝－eq\f(1，3)(eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o（BC，\s\up6（→）））＝－eq\f（1，3）(2eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BC，\s\up6（→))）＝－eq\f(2，3）eq\o（AB，\s\up6(→）)－eq\f(1,3）eq\o(BC,\s\up6(→)）。故选D。(2)如图所示，|eq\o（OA,\s\up6(→)）|＝｜eq\o(OB，\s\up6（→））｜＝1，｜eq\o（OC,\s\up6(→））|＝eq\r（3）,∠AOB＝60°，eq\o（OB，\s\up6(→)）⊥eq\o(OC，\s\up6(→）)，设eq\o(OC，\s\up6（→))＝xeq\o(OA，\s\up6(→)）＋yeq\o(OB，\s\up6（→））,则x＋y＝________。答案－1解析如图，过C作CD∥OB,交OA的反向延长线于点D，连接BC,由|eq\o(OB,\s\up6(→）)｜＝1，｜eq\o(OC,\s\up6(→）)｜＝eq\r(3），eq\o（OB,\s\up6(→)）⊥eq\o(OC，\s\up6（→）），得∠OCB＝30°.又∠COD＝180°－∠COB－∠AOB＝30°，∴BC∥OD，∴eq\o(OC，\s\up6（→)）＝eq\o(OD，\s\up6（→）)＋eq\o（OB，\s\up6（→））＝－2eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\o(OB,\s\up6(→)）.∴x＝－2，y＝1,则x＋y＝－1.应用平面向量基本定理表示向量的方法应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算,基本方法有两种：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．（2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．［即时训练]1。（2019·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点，且eq\o（MB,\s\up6（→))＋eq\f(3,2）eq\o(MA,\s\up6（→)）＋eq\f（3,2）eq\o(MC，\s\up6(→)）＝0，D是AC的中点,则eq\f(｜\o（MD，\s\up6(→)）｜,｜\o(BM，\s\up6(→）)｜)的值为(）A。eq\f(1，3) B。eq\f(1,2）C．1 D．2答案A解析∵D是AC的中点，∴eq\o(DA,\s\up6（→））＋eq\o（DC,\s\up6（→)）＝0。又eq\o（MB，\s\up6（→)）＋eq\f(3,2)eq\o(MA，\s\up6(→））＋eq\f(3，2）eq\o（MC，\s\up6（→）)＝0，∴eq\o(MB,\s\up6（→)）＝－eq\f（3，2)(eq\o（MA,\s\up6(→))＋eq\o（MC,\s\up6(→))）＝－eq\f（3，2)（eq\o（DA,\s\up6(→））－eq\o(DM,\s\up6（→))＋eq\o（DC,\s\up6（→)）－eq\o（DM,\s\up6(→））),即eq\o（MB,\s\up6（→）)＝3eq\o(DM,\s\up6（→)），故eq\o（MD,\s\up6（→））＝eq\f（1，3)eq\o（BM,\s\up6（→）)，∴eq\f（｜\o（MD,\s\up6(→））｜,|\o(BM，\s\up6(→))｜）＝eq\f(1,3).故选A.2．如图,在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN上且Aeq\o(P,\s\up6（→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（m＋\f(2，11))）eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\f(2，11）Beq\o(C,\s\up6（→）），则实数m的值为（）A．1 B。eq\f(1,2)C。eq\f（9,11） D.eq\f(5,11)答案D解析设Beq\o(P，\s\up6（→））＝λeq\o(BN,\s\up6（→）)＝λ（Aeq\o(N,\s\up6(→））－Aeq\o（B,\s\up6(→）)）＝λeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,3）A\o(C,\s\up6（→））－A\o（B，\s\up6(→））)）＝－λeq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\f（λ,3)Aeq\o(C，\s\up6(→))（0≤λ≤1），∴Aeq\o（P,\s\up6（→））＝Aeq\o（B,\s\up6（→））＋Beq\o(P,\s\up6（→））＝(1－λ)Aeq\o（B,\s\up6（→））＋eq\f（λ,3）Aeq\o（C,\s\up6(→））。又Aeq\o(P,\s\up6(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（m＋\f（2，11)）)Aeq\o（B，\s\up6(→)）＋eq\f(2,11）Beq\o(C,\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（m＋\f（2，11）））Aeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)(Aeq\o(C,\s\up6(→))－Aeq\o（B，\s\up6（→)))＝meq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\f（2,11)Aeq\o(C，\s\up6（→))，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(λ,3)＝\f(2，11），，m＝1－λ，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝\f（6,11),,m＝\f(5,11），）)∴m＝eq\f(5，11）.故选D。考向二平面向量的坐标表示例2(1）(2019·河南洛阳统考)如图,在正方形ABCD中，M，N分别是BC,CD的中点，若eq\o(AC，\s\up6(→)）＝λeq\o（AM，\s\up6（→))＋μeq\o（BN，\s\up6（→)）,则λ＋μ的值为（)A.eq\f(8,5) B。eq\f（5，8）C．1 D．－1答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令正方形ABCD的边长为2，则eq\o(AC,\s\up6(→)）＝（2,2），eq\o（AM，\s\up6(→))＝（2,1）,eq\o(BN,\s\up6(→)）＝（－1，2）．由eq\o(AC,\s\up6（→）)＝λeq\o(AM，\s\up6（→))＋μeq\o（BN,\s\up6(→)），得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2λ－μ＝2,，λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝\f（6,5），，μ＝\f(2，5）,)）∴λ＋μ＝eq\f(8,5）。故选A.（2)（2019·河北武邑模拟）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝1,AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq\o（AD，\s\up6(→））＝λeq\o(AB，\s\up6(→））＋μeq\o(AC，\s\up6（→))（λ，μ∈R)，则eq\f(λ，μ)＝（)A。eq\f（2\r（3），3） B.eq\f（\r（3)，3）C．3 D．2eq\r（3)答案A解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0），C点的坐标为(0,2),因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为（m，eq\r（3)m)(m≠0)。eq\o(AD，\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)m）＝λeq\o（AB,\s\up6(→））＋μeq\o（AC,\s\up6（→)）＝λ(1，0）＋μ（0,2）＝（λ，2μ)⇒λ＝m，μ＝eq\f(\r(3），2)m，则eq\f（λ,μ)＝eq\f（2\r（3），3）.故选A.平面向量坐标运算的技巧(1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标．(2）解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组）来进行求解，并注意方程思想的应用．［即时训练]3。已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq\o（OA,\s\up6(→）)＝(2,4），eq\o(OB,\s\up6（→）)＝（1,3），若点E满足eq\o（OC，\s\up6（→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→）），则点E的坐标为（）A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(2,3)，－\f（2,3)）） B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f（1，3）））C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)，\f（1，3))） D.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）,\f(2,3））)答案A解析易知eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o（OB,\s\up6（→））－eq\o（OA，\s\up6（→）)＝（－1,－1），则C（－1，－1)，设E（x，y）,则3eq\o(EC，\s\up6（→))＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y)，由eq\o（OC,\s\up6(→））＝3eq\o(EC，\s\up6（→))，知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1,）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\f（2，3)，，y＝－\f（2,3)，)）所以点E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（2，3），－\f(2，3)）).4．(2020·天津和平区模拟）如图，在直角梯形ABCD中,AB∥DC，AD⊥DC,AD＝DC＝2AB，E为AD的中点,若eq\o（CA,\s\up6（→)）＝λeq\o（CE,\s\up6(→)）＋μeq\o（DB，\s\up6(→）)(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.eq\f(6，5） B.eq\f(8,5）C．2 D。eq\f(8,3)答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0）,A（0，2),B（1，2），E(0，1)，∴eq\o(CA，\s\up6(→))＝（－2,2），eq\o(CE，\s\up6(→））＝（－2,1），eq\o(DB,\s\up6(→)）＝（1，2）,∵eq\o（CA,\s\up6(→））＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6（→))，∴(－2,2)＝λ(－2，1）＋μ(1,2），∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2,，λ＋2μ＝2，））解得λ＝eq\f(6,5)，μ＝eq\f(2，5)，则λ＋μ＝eq\f（8,5)。故选B.考向三平面向量共线的坐标表示例3(1)已知向量eq\o(OA，\s\up6(→))＝（1,－3）,eq\o（OB，\s\up6（→))＝(2，－1），eq\o(OC,\s\up6（→))＝（k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f（1,2）C．k＝1 D．k＝－1答案C解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量eq\o(AB，\s\up6(→）），eq\o(AC，\s\up6（→））共线，∵eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\o(OB,\s\up6（→)）－eq\o(OA,\s\up6(→）)＝(2，－1）－(1，－3)＝（1，2)，eq\o(AC,\s\up6（→）)＝eq\o(OC,\s\up6（→））－eq\o（OA,\s\up6（→）)＝（k＋1,k－2)－(1，－3）＝（k，k＋1），∴1×(k＋1）－2k＝0，解得k＝1。故选C.（2）（2019·福建福州质检)设向量eq\o（OA，\s\up6(→））＝(1,－2），eq\o（OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC，\s\up6（→))＝（－b，0），其中O为坐标原点，a>0，b〉0，若A，B，C三点共线，则eq\f（1,a）＋eq\f（2,b)的最小值为(）A．4 B．6C．8 D．9答案C解析∵eq\o（OA，\s\up6(→))＝（1，－2)，eq\o(OB，\s\up6(→））＝（a，－1），eq\o(OC,\s\up6(→）)＝（－b,0),∴eq\o（AB，\s\up6（→）)＝eq\o（OB,\s\up6（→)）－eq\o（OA，\s\up6(→））＝（a－1,1)，eq\o(AC，\s\up6(→))＝eq\o（OC,\s\up6(→)）－eq\o(OA，\s\up6(→））＝（－b－1，2），∵A，B，C三点共线，∴eq\o（AB，\s\up6（→))＝λeq\o(AC，\s\up6(→))，即（a－1,1）＝λ（－b－1，2)，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－1＝λ－b－1,，1＝2λ，))可得2a＋b＝1，∵a〉0，b〉0,∴eq\f（1,a)＋eq\f（2，b)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f（2，b)))（2a＋b)＝2＋2＋eq\f(b，a）＋eq\f(4a,b）≥4＋2eq\r(\f(b，a)·\f(4a,b)）＝8，当且仅当eq\f（b，a）＝eq\f(4a,b），即a＝eq\f（1,4)，b＝eq\f(1,2）时取等号,故eq\f(1，a)＋eq\f（2,b)的最小值为8.故选C。利用两向量共线解题的技巧(1）一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．（2)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时，那么利用“若a＝（x1，y1),b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”[即时训练］5。已知点A（8，－1）,B(1，－3)，若点C（2m－1，m＋2）在直线AB上，则实数mA．－12 B．13C．－13 D．12答案C解析eq\o(AB,\s\up6（→)）＝(－7，－2)，因为点C在直线AB上，故eq\o(AC,\s\up6(→）)与eq\o(AB，\s\up6（→）)共线．又因为eq\o（AC,\s\up6(→))＝（2m－9，m＋3），故eq\f(2m－9,－7)＝eq\f(m＋3,－2），所以m＝－13。故选C.6．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1（3，1）,P2(－1，3）,P1，P2,P3三点共线且向量eq\o(OP3，\s\up6（→))与向量a＝（1，－1）共线，若eq\o(OP3，\s\up6(→)）＝λeq\o(OP1，\s\up6(→))＋(1－λ）·eq\o(OP2，\s\up6（→)），则λ＝（)A．－3 B．3C．1 D．－1答案D解析设eq\o（OP3，\s\up6(→))＝(x,y），则由eq\o（OP3，\s\up6（→）)∥a知x＋y＝0，于是eq\o（OP3,\s\up6（→))＝(x,－x)．若eq\o(OP3，\s\up6（→))＝λeq\o（OP1,\s\up6（→)）＋（1－λ）eq\o（OP2，\s\up6(→))，则有（x，－x）＝λ(3,1）＋（1－λ）(－1,3）＝（4λ－1，3－2λ），即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，）)所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1。故选D.在矩形ABCD中，AB＝1,AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq\o（AP，\s\up6(→)）＝λeq\o(AB，\s\up6(→)）＋μeq\o(AD，\s\up6（→）)，则λ＋μ的最大值为()A．3 B．2eq\r(2）C。eq\r（5） D．2答案A解析分别以C为坐标原点,eq\o（CB，\s\up6（→))，eq\o（CD，\s\up6（→））为x轴的正方向、y轴的正方向建立直角坐标系，则A（2，1),B（2，0)，D（0，1)．∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，∴可设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,\r（5)）cosθ，\f（2，\r（5）)sinθ)）.则eq\o（AB,\s\up6（→)）＝(0，－1)，eq\o(AD,\s\