2021高三数学第9章 第3讲圆的方程含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三人教B版数学一轮（经典版）课时作业：第9章第3讲圆的方程含解析课时作业1．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）A．（－1，1) B．（1，－1)C．(－1，0) D．(0，－1)答案D解析r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2）＝eq\f(1,2)eq\r（4－3k2），当k＝0时,r最大．所以圆的方程为x2＋y2＋2y＝0,则圆心坐标为(0，－1）．2．圆（x－1）2＋(y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．（x－2）2＋(y－1）2＝1B．（x＋1)2＋(y－2）2＝1C．(x＋2）2＋(y－1)2＝1D．(x－1）2＋（y＋2)2＝1答案A解析已知圆的圆心C（1,2)关于直线y＝x对称的点为C′（2,1)，所以圆(x－1）2＋（y－2）2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2）2＋(y－1）2＝1，故选A．3．已知圆C:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D〈0"是“圆C与y轴相切于原点"的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上,设圆心的坐标为(a，0)，则半径r＝｜a｜.所以当E＝F＝0且D〈0时，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（D,2)，0))，半径为eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（D,2))），圆C与y轴相切于原点；圆（x＋1）2＋y2＝1与y轴相切于原点,但D＝2〉0，故选A．4．(2019·辽宁沈阳联考)已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(）A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案D解析设圆心为（a，0)(a>0）,由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq\f（|3a＋4|,\r(32＋42）)＝eq\f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为（2，0），则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D．5．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（）A．(－2，－4）B．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），－1)）C．（－2,－4)或eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1）)D．不确定答案A解析∵方程a2x2＋（a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆,∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时,方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,即（x＋2)2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4)，半径为5。当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋eq\f（5,2)＝0，此时方程不表示圆．故选A．6．(2020·湖北襄阳第一次联考)已知点P(1，2）和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（)A．R B．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞，\f（2\r(3）,3）））C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（2\r(3)，3)，\f（2\r(3）,3）)) D．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(2\r(3）,3)，0）)答案C解析圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（k，2）))2＋（y＋1)2＝1－eq\f(3，4)k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4＋k＋4＋k2>0，,1－\f（3,4）k2〉0，））解得－eq\f（2\r(3),3)<k〈eq\f（2\r(3），3).故选C．7．(2019·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(）A．8 B．－4C．6 D．无法确定答案C解析∵圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(m,2），0）)，即－eq\f（m,2)＋3＝0，∴m＝6.故选C．8．(2019·承德模拟)曲线x2＋（y－1）2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(）A．eq\r（2） B．2C．eq\f(\r（2)，2）＋1 D．eq\r(2)－1答案C解析因为圆心（0，1)到直线x－y－1＝0的距离为eq\f(2,\r(2））＝eq\r（2)〉1,所以半圆x2＋（y－1）2＝1（x≤0)到直线x－y－1＝0的距离的最大值为eq\r(2）＋1，最小值为点（0,0）到直线x－y－1＝0的距离，为eq\f(1,\r(2））＝eq\f(\r（2），2），所以a－b＝eq\r(2)＋1－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2）＋1，故选C．9．过三点A（1,3）,B(4，2)，C（1，－7)的圆交y轴于M，N两点,则｜MN｜＝（）A．2eq\r（6) B．8C．4eq\r（6) D．10答案C解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0,,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0,）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.）)则圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0。令x＝0,得y2＋4y－20＝0，设M（0，y1)，N(0,y2），则y1,y2是方程y2＋4y－20＝0的两根，由根与系数的关系,得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，故｜MN|＝｜y1－y2｜＝eq\r（（y1＋y2)2－4y1y2)＝eq\r（16＋80）＝4eq\r(6）.10．(2019·厦门模拟)已知实数x,y满足x2＋y2＝4（y≥0)，则m＝eq\r（3)x＋y的取值范围是()A．(－2eq\r（3），4） B．［－2eq\r（3)，4]C．［－4，4] D．[－4,2eq\r（3）]答案B解析x2＋y2＝4（y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线eq\r（3)x＋y－m＝0的斜率为－eq\r(3)，在y轴上的截距为m.当直线eq\r(3)x＋y－m＝0过点（－2,0）时，m＝－2eq\r(3).设圆心（0，0）到直线eq\r(3）x＋y－m＝0的距离为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3），,d≤2，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,\f(｜－m|，2）≤2，）)解得m∈[－2eq\r(3），4]．11．（2019·宁夏六盘山模拟）已知圆的方程为x2＋（y－1）2＝4，圆心为C,若过点Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，\f（1,2)））的直线l与此圆交于A，B两点,则当∠ACB最小时，直线l的方程为（)A．4x－2y－3＝0 B．x＋2y－2＝0C．4x＋2y－3＝0 D．x－2y＋2＝0答案A解析圆心坐标为C（0，1），当弦长｜AB|最小时，∠ACB最小，此时直线AB与PC垂直，kl＝eq\f(－1,\f(1－\f（1，2）,0－1))＝2,所以直线l的方程为y－eq\f（1,2）＝2（x－1），即4x－2y－3＝0，故选A．12．已知在圆M:x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．3eq\r（5） B．6eq\r（5)C．4eq\r(15） D．2eq\r(15）答案D解析∵圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为（x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心M(2,－1），半径r＝eq\r（5）,最长弦为圆的直径，∴AC＝2eq\r（5)，∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝eq\r(2），∴BD＝2BE＝2×eq\r（5－2）＝2eq\r（3).∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)·BD·EA＋eq\f(1,2)·BD·EC＝eq\f(1,2）·BD·(EA＋EC)＝eq\f(1,2）·BD·AC＝eq\f（1，2）×2eq\r（3)×2eq\r（5)＝2eq\r（15)。故选D．13．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A（－1,1），B(1，3)，若M(m,eq\r（6))在圆C内，则m的取值范围为________。答案（0,4）解析设圆心为C（a,0)，由｜CA|＝|CB|，得（a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝｜CA|＝eq\r((2＋1）2＋12)＝eq\r(10)。故圆C的方程为（x－2)2＋y2＝10.由题意知（m－2)2＋（eq\r(6)）2〈10，解得0〈m<4.14．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC｜的最小值是________．答案3解析点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，又圆心C的坐标是(1，1），因此最小距离为eq\f（｜3×1＋4×1＋8|,5）＝3。15．（2019·泰安模拟)已知x，y满足x2＋y2＝1,则eq\f(y－2，x－1)的最小值为________．答案eq\f(3,4）解析eq\f(y－2，x－1）表示圆上的点P（x,y）与点Q（1，2)连线的斜率，∴eq\f(y－2,x－1)的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0,由eq\f（|2－k|，\r(k2＋1)）＝1,得k＝eq\f(3,4），结合图形可知eq\f(y－2,x－1)≥eq\f（3，4)，∴所求最小值为eq\f(3,4).16．(2019·石家庄模拟）如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方)，且｜AB|＝2.（1）圆C的标准方程为____________________；（2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．答案（1)(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2（2)－eq\r（2)－1解析（1）记AB的中点为D，在Rt△BDC中,易得圆C的半径r＝BC＝eq\r(2），则圆心C的坐标为(1，eq