数学核心素养

数学核心素养第一页，共43页。

数学核心素养

与小学数学教学

东北师范大学

史宁中第二页，共43页。上海经验：一切课改最终要落实在课堂、落实于学生。教无定法。应当建立教学常态：讲好一堂课的原则应当是什么？评价一堂课的标准应当是什么？关于课堂教学，《中华人民共和国义务教育法》只提到一句话：国家鼓励学校和教师采用启发式教育教学方法，提高教育教学质量。因此原则和标准是：启发式教学。启发式教学是为了引发学生思考。正在修改的《普通高中数学课程标准》明确指出：

数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考。第三页，共43页。孔子：学而不思则罔，思而不学则殆。课标：结果性目标、过程性目标、情感态度价值观。

什么是过程性目标：经历、体验、探索？关于教育的哲学，《教育研究》1998年10期

教育是生存的需要、还是社会的需要？教育是主动的、还是被动的？教育三阶段：经验的教育（历史、过程）知识的教育（现在、结果）

智慧的教育（未来、结果+过程）

经历过程是为了培养智慧。从“双基”到“四基”。试论教育的本源，《教育研究》2009年8期充分彰显人与动物的最大区别：是劳动？是思维？

（1）生理：大脑容量；表现：制造工具；思维：想象能力。

（2）生理：发音器官；表现：语言交流；思维：抽象能力。第四页，共43页。启发学生自己的思考，帮助积累活动经验，让学生：

会用数学的眼光观察现实世界、

会用数学的思维思考现实世界、

会用数学的语言表达现实世界。这是数学教育的终极目标，也是制定数学核心素养的依据。综上所述，数学教学活动应当秉承这样的基本理念：

把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题，启发独立思考、与他人交流，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学内容的本质，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。

掌握知识↗提高能力↗发展素养第五页，共43页。一、什么是数学核心素养二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养第六页，共43页。一、什么是数学核心素养文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》提到核心素养。明确要求：修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终。北师大研究小组定义核心素养：是指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。高中数学课标修订组定义数学核心素养：是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的

知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。

第七页，共43页。高中阶段的数学核心素养

数学抽象、逻辑推理、数学建模

直观想象、数学运算、数据分析义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念）

（数感、符号意识）、推理能力、模型思想

（几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习第八页，共43页。设定数学核心素养的理由（三会）会用数学的眼光观察现实世界数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象）

引发的数学特征：数学的一般性；会用数学的思维思考现实世界数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算）

引发的数学特征：数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界数学的语言是什么：数学模型（数据分析）

引发的数学特征：数学应用的广泛性。第九页，共43页。二、如何在小学数学教学活动中体现数学核心素养1.数学抽象（符号意识、数感；几何直观、空间想象）2.逻辑推理（推理能力、运算能力）3.数学模型（模型思想、数据分析观念）

第十页，共43页。1.数学抽象（义务教育阶段：符号意识、数感；几何直观、空间想象）

抽象对象：现实世界的数量与数量关系、图形与图形关系抽象功能：得到数学的研究对象（概念、关系、规律）抽象模式：舍去背景、保留关系、符号表达（更详细的？）义务教育阶段，主要体现在下述基本概念和运算法则数量与关系：自然数、整数、分数、小数；运算、方程

图形与关系：点、线、面、体、角；长度、面积、体积

第十一页，共43页。

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。

主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。对称图形指的是什么？图形面积指的是什么？

什么是抽象？第十二页，共43页。如何理解数感？数是对数量的抽象，抽象的核心是舍去现实背景；

数感是对数的感悟，感悟的核心是回归现实背景。

感悟数100：100粒黄豆、100匹马（感觉不同）100元钱去超市、100元钱去买房（场合不同）如何理解估算？

在本质上，精算是对数的运算、估算是对数量的运算

估算需要背景（场合与量纲：课桌、教室、操场、县城）

估算需要原则（课标例26李阿姨买鱼：够不够、能不能）

第十三页，共43页。抽象小结

抽象出数学研究对象的概念（符号）、关系、法则（度量）把数量和数量关系、图形与图形关系抽象到数学内部概念：自然数、整数、分数、小数；点、线、面、体、角关系：三种关系（数量关系、图形关系、随机关系）运算：四则运算；距离、面积、体积抽象的东西不是具体的存在：现实中没有2，只有具体的两匹马、两头牛而是理念的存在：苹果、足球→看到的圆→头脑中的圆郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。第十四页，共43页。2.逻辑推理（推理能力、运算能力）推理对象：研究对象的性质、关系之间的规律推理功能：得到数学的结论（命题、模式、结构）

推理模式：通过归纳类比猜想命题、通过演绎推理验证命题义务教育阶段，主要体现在下述性质、规律数量与关系：正比例、反比例；方程、不等式、函数；随机现象

图形与关系：平移、旋转、轴对称；平行线；全等；直角坐标系

第十五页，共43页。什么是数学的推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。

主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

与合情推理的区别：不包括广义的联想和想象（形象思维）。试论数学推理过程中的逻辑，《数学教育学报》，2016（4）

第十六页，共43页。什么样的推理是有逻辑的？下面三个推理是否有逻辑1.因为两点间直线段最短，所以三角形两边之和大于第三边。2.三角形内角和180度，因为180度是平角，所以三角形是平角。3.因为两个偶数的和是偶数，所以和为偶数的两个数必为偶数。什么是推理？是一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。什么是命题？

可以判断正确或者错误的陈述句。第十七页，共43页。三、小学数学中的推理数学命题：可以判断正确或者错误的陈述句可以判断：下面陈述不是数学命题

这个三角形是美的数学命题的两种形式：性质命题、关系命题性质命题：A是P。

数是可以比较大小的。三角形内角和是180度。关系命题：如果A是P，那么A是Q。如果两个数是偶数，那么这两个数的和也为偶数。

如果三条线段可以构成一个三角形，那么其中任意两

条线段的长度之和必然大于第三条线段的长度。第十八页，共43页。逻辑推理：具有传递性的推理。有两种形式演绎推理：从一般到特殊的推理（大范围到小范围）。

凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。结果是必然成立的，用于验证结论。归纳类比：从特殊到一般的推理（从经验到未经验）。

苏格拉底是人、苏格拉底有死，柏拉图是人、柏拉图有死，所以凡人都有死。结果是或然成立的，用于发现结论。比如：

苏格拉底不到80岁死去，柏拉图不到80岁死去，所以凡人不到80岁死去。第十九页，共43页。演绎推理演绎前提：同一律：a=a

矛盾律：

a→P和a→Pc

不能同时成立

排中律：

a→P和a→Pc

必有一个成立几何前提：基本事实。数与代数前提：命题1

等式（不等式）关系具有传递性

a=b(a﹥b），b=c(b﹥c）→a=c(a﹥c）命题2

等式（不等式）两边加减相同量，等式（不等式）不变

a=b(a﹥b）→a+c=b+c(a+c﹥b+c）

第二十页，共43页。演绎推理问题：如何定义有理数的加法？必须让学生感悟：加上一个正数比原来的数大。

符号表示：对任意的数a

和正数b，a+b＞a。证明：因为b

为正数，所以

b＞0

在不等式两边分别加上a，由命题2

得到

a+b＞a

所以结论成立。类似方法可以证明对称命题：加上一个负数比原来的数小。

第二十一页，共43页。演绎推理类似命题：减去一个正数等于加上这个正数的相反数

减去一个正数比原来的数小数学符号：b＞0，则

a-b=a+(-b)证明：因为“减法是加法逆运算”：

a-b=x←→a=b+x由命题2，等式的两边分别加上（-b）等式不变：

a+(-b)=b+(-b)+x。根据相反数的定义：a+(-b)=x。由命题1：

a-b=x=a+(-b)第二十二页，共43页。演绎推理类似命题：减去一个正数等于加上这个正数的相反数减去一个正数比原来的数小符号表示：b＞0，则

a-b=a+(-b)证明：因为“减法是加法逆运算”：

a-b=x←→a=b+x由命题2，等式的两边分别加上（-b）等式不变：

a+(-b)=b+(-b)+x。根据相反数的定义：a+(-b)=x。由命题1：

a-b=x=a+(-b)第二十三页，共43页。演绎推理类似命题：减去一个负数等于加上这个负数的相反数减去一个负数等于加上一个正数减去一个负数比原来的数大符号表示：b＞0，则

a-(-b)=a+b证明：令x=a+b。等式两边加

b的相反数-b，由命题2：

x+(-b)=a+b+(-b)=a上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2：

x+(-b)–(-b)=a–(-b)因为同数相减为0：x=a–(-b)。由命题1：

a-(-b)=a+b

第二十四页，共43页。演绎推理演绎推理：验证结论。因为论证形式是：

已知A求证B其中A和B都是确定性命题，没有新的知识。需要归纳推理。归纳推理：发现结论。推理主要表现在：

从条件预测结果的推理

从结果探究成因的推理归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西

从小范围成立的命题推断更大的范围类似命题在数学教育中没有归纳推理，不利于培养创新人才。第二十五页，共43页。归纳推理通过归纳得到程式：计算程式、运算法则（从经验到一般）分数加法：

运算道理（同样单位）

+=+=+=

=运算程式（直接通分）+===

第二十六页，共43页。归纳推理通过归纳探究成因：计算方法规定的缘由（通过经验）混合运算

为什么要先乘除后加减？为什么

3+2×6=3+12=18举例说明操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。

问现在操场上有多少名同学？计算缘由

现在同学数=原来同学数+后来同学数

=3+2×6得到结论混合运算讲两个以上故事，先乘除后加减是一个故事

一个故事的计算。第二十七页，共43页。四、小学数学中的模型3.数学模型（模型思想、数据分析观念）课标中主要要求两个模型总量模型（加法模型）

与时间无关：总量=部分+部分、部分=总量–部分

与时间有关：现在=过去+变化、将来=现在+变化路程模型（乘法模型）

有一个量纲：总价=单价×个数有两个量纲：路程=速度×时间、速度=路程/时间

工程模型、植树模型第二十八页，共43页。四、小学数学中的模型数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。在数学建模核心素养的形成过程中，学生能够：感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；加深对数学内容的理解；提升应用能力，增强创新意识。第二十九页，共43页。三、如何在小学数学教学评价中考查数学核心素养教育质量监测的四个原则1.不要求计算速度（速度的训练是课业负担重的主要原因）2.监测内容蕴含的数学素养（概念、推理、计算、想象）3.应当有一道开放题（超市的位置，加分原则）4.说学生能懂的话（对可能性的理解）第三十页，共43页。考察学生思维能力

五年一班和二班举行跳绳比赛，每班派10人参加比赛。已经赛完9人，将派最后1名上场。五年一班可以在甲、乙两名同学中选出。这两名同学最近成绩如下：

甲:21,35,39,23,40,25

乙:27,29,31,33,28,32你建议让那位同学上场比赛？建议的理由是什么？第三十一页，共43页。

谢谢各位！第三十二页，共43页。小学阶段通过抽象得到基本概念（关系、法则）得到概念的两种方法：对应方法（名义）、内涵方法（实质）。

建议：开始用对应的方法（重在感悟）

以后用内涵的方法（重在理解）问题：数是什么、数的本质是什么、表示数的关键是什么素养：符号意识、数感

概念：数是一种符号的表达，数是对数量的抽象。

关系：数量的本质是多与少，数的本质是大与小。

第三十三页，共43页。开始用对应的方法：

三个苹果、三只鸡→□□□←→3

（形式上去掉后缀名词、实质上舍去物理属性）用对应方法认识负数：与自然数数量相等、意义相反。以后用内涵的方法：自然数是一个一个多起来的（后继数）

1=0+1，2=1+1，3=2+1，4=3+1，

同时也定义了加法。

如何认识10000?10个1000？10个千？

比9999多1（读法可以不同，符号表达一致）第三十四页，共43页。改造于《九章算术》方程篇第八题。在汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下：第一次卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱；第二次卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当；第三次买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合计支出6钱。如何用数学的方法表达？第三十五页，共43页。文字形式

牛羊猪合计第一次收入24收入25支出39收入10第二次收入36支出45收入900第三次支出60收入30收入24支出6数字形式

牛羊猪合计第一次2425-3910第二次36-45900第三次-603024-6负数与自然数：数量相等（绝对值）、意义相反。第三十六页，共43页。读数的关键有两条：十个符号+数位。如何读2002？

数位与数不同

数位：个(ones)、十(tens)

因为是十进制，所以

“十”是十个“个”、“万”是十个“千”

数：借助数位表达

因为是一个一个多起来的，所以

10=9+1，10000=9999+1

第三十七页，共43页。问题：运算的本质是什么、运算的关键是什么运算的本质是加法：四则运算源于加法如何理解加法。与数一样，有两种抽象方法：对应、内涵。

内涵：□□□←□3+1=4？

4=3+1→3+1=4

对应：

□□□□□□□哪边多

□□□←□

□□□□哪边多？

→3+1=4

理解等号的意义：等号两边讲两个故事，两个故事量相等。

方程的定义？第三十八页，共43页。运算的关键在于数位（计数单位）：

只有基于同样单位才能比较大小、才能进行计算大数相乘：3百×

5百=3×5·百×百=1