高教社杯全国大学生数学建模竞赛

/2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B题 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：中北大学参赛队员(打印并签名)：1.张大朋2.郝冬冬3.夏正欢指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：梅银珍日期：2008年9月21日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：高等教育的学费标准制定问题摘要高等教育的学费收取问题牵涉到国家、学校、家庭（或学生）三方的利益，学费的过高或者过低，都会造成三方利益的矛盾，所以要制定一个合理的学费收取标准，就必须使三方都尽可能达到满意。首先，我们收集了大量的数据，通过分析发现学生的培养成本在很大程度上与学费呈正相关性,其次考虑到不同地区、不同教育层次、不同档次的学校的不同的专业对一个学生的培养费用是不同的，在计算培养费用时进行了分类统计，同时在处理贫困生的学费问题时将奖、助学金等也作为培养成本的一个重要因素。然后根据学费、人均培养成本、家庭收入以及国家生均拨款等之间的了解建立了一个兼顾三方利益的多目标规划模型，求解时利用隶属度关系转化为单目标规划，通过几类地区的实际数据计算验证，与实际较为吻合，在保证教学质量的基础上使国家、学校和家庭达到了一种利益的平衡。最后根据建模过程和结果为管理部门提供了关于高校收费问题的合理化的建议。关键词：学费标准，多元化收费，生均成本，隶属度主要符号表:生均培养费用:国家生均拨款:生均教师工资成本:生均行管与后勤服务人员工资成本:生均教辅人员工资:生均社会保险费:生均奖助学金成本:生均年学费标准:生均公务费成本:生均业务费成本:生均年土地成本:家庭可支配收入:在校大学生年均消费额、、、均表示比例系数。：i地区高校的人均培养成本占A、B、C三个地区高校的人均培养成本之和的比重，其中，i=1、2、3分别表示A地区、B地区、C地区。:j层次教育的人均培养成本占三个教育层次的人均培养成本之和的比重，其中，j=1、2、3分别表示研究生、本科生、专科生教育层次。：k类高校的人均培养成本占甲、乙、丙三类高校的人均培养成本之和的比重，其中k=1、2、3分别表示甲、乙、丙类高校。：第l专业的人均培养成本占热门、一般、冷门三类专业的人均培养成本之和的比重，其中l=1、2、3分别表示热门、一般、冷门专业。

1 问题的重述高等教育事关国家创新能力增强、高素质人才的培养、和谐社会建设的大局，高等教育的培养质量是高等教育的核心问题，培养质量需要有相应的经费作保证。高等教育是非义务教育，其经费由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等组成。学费自然成为学校、家庭和国家关注的焦点。焦点问题就是如何制定合理的收费标准。2 问题的分析高等教育总经费由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。要提高教育，就必须有经费作保障，也就是说，一方面，国家必须拨款给学校，家庭(或学生)必须交学费给学校，同时还有一些企业单位会向学校提供一些捐助，而对于国家、家庭所关注的重点分别是教育质量的提高和教育的公平、教育质量的提高和能否支付得起高等教育的费用。国家的满意度如何和学费建立关系。我们通过分析，一般地，不同层次的教育的投入成本越多其相应的收益越大，教育质量就越高，即教育质量和投入成本有正相关性[1]。另一方面，随着人们对教育需求的不断扩大，受教育者需要更多更高的教育，这样就促使学校规模的扩大、师资队伍的提高和教学设备的的更新，所以，学校所关注的重点在于是否有足够的经费，以保证教学质量的前提下能够加快自身的发展。由于国家对不同地区（发达地区、一般地区和贫困地区）的不同高校的拨款不同，所以，不同地区不同高校不同专业的学生的人均培养费用不同，我们应该将全国按教育事业的发达程度分地区、分学校、分专业来讨论生均培养成本。3 模型假设（1）国家经济不会出现巨大波动，对教育投资不会产生较大影响；（2）学校教育资源可以得到充分利用；4模型的分析与建立 由前面的分析可知，确定收费标准我们需要从三个方面入手。首先，计算生均培养成本，它是影响学费标准的最直接因素，在计算中，把奖学金、助学金及勤工助学部分的资金作为其中重要的组成部分，充分顾及到贫困生因素；其次，按不同标准给出不同的分类，并确定分类中各项的比重；最后，以国家利益、学校利益、学生家庭利益分别作为目标建立多目标规划的学费模型。 我们首先取特定分类中的一种统计数据作为样本，计算其生均培养成本后，代入多目标规划学费模型中求出该样本类的学费标准，再将该学费标准乘以相应比例系数，即可得到上面分类中的其它各类的学费标准。4.1生均培养成本的计算本文采用的生均培养成本的界定是：教育机构为实现教育的基本职能(不包括其他职能),并达到教学质量的基本标准,在一定的会计期间(一年)所必须发生的,平均用于每个学生的直接支出和应计费用的总和[2]。 根据我国实际情况，生均培养成本主要由以下6大成本项目组成：人员工资、奖助学金支出、社会保障支出、公务费、业务费、固定资产折旧费。因此，将生均培养成本的计算也分由以下6个部分来计算：4.1.1人员经费的计算(1)专任教师人员经费成本生师比一般国家都有标准,如目前国家本科教育评价标准是14:1；计算公式如下::表示生均教师工资成本:表示专任教师年人均工资标准(2)行政管理和后勤服务人员经费成本:行政管理和后勤服务人员工资应以专任教师的工资为基础,即:表示生均行管与后勤服务人员工资成本:表示行管人员和后勤服务人员占专任教师的比例，可根据国家有关标准确定,如教育部曾规定,高等学校事业编制的党政工作人员人数应控制在全校教职工人数的15～20%)。:表示行管和后勤工资标准与专任教师工资标准的比,可以按70%左右确定。(3)教辅人员经费成本：表示生均教辅人员工资：教辅人员占专任教师的编制比例(一般为10～15%)：教辅人员工资占专任教师的工资的比例(一般为70%左右)(4)社会保障费成本按历史经验数据计量,即根据近年财务决算中离退休人员经费支出占在职教职工工资支出的比重测算。计量公式如下::生均社会保险费:各类社会保险、公积金等综合费率:历史的或经验的离退休费用占在职职工工资比率4.1.2奖、助学金成本:生均奖助学金成本:生均年学费标准:奖助学金占学费的比重(一般按20%计算)4.1.3公务费成本公务费属于管理性、消耗性费用,开支的内容繁多、项目复杂,绝大部分没有统一的、细化的开支标准,只能按历史数据测算。生均公务费计算公式如下::生均公务费成本:某地区(学校)近年公务费年平均数:某地区(学校)近年学生年均当量数4.1.4业务费成本:生均业务费成本:历史统计的某一地区(学校)近年的业务费年均成本:年均学生当量数4.1.5土地使用及基础设施建设成本按现行本科教学评价标准,生均0.1亩土地面积计算，生均土地成本计算公式如下::生均年土地成本:土地单位(每亩)价格,包括土地出让金、各类补偿费、拆迁费、“三通一平”费(水、电、路、平整地)、道路建设费、绿化费、规划设计费等:土地价值摊销年限,一般按50年摊销4.1.6固定资产折旧费(1)房屋建筑物折旧成本根据国家现行本科教学评价办法,生均12平方米的标准,房屋建筑物折旧生均成本计算公式如下::生均房屋建筑物折旧费:单位平方米工程造价I:房屋建筑物折旧年限(2)教学设备折旧成本国家规定了不同类型院校(专业)教学设备生均应拥有不同标准(4000-6000元不等),教学设备折旧一般要求较快,可采用5-10年左右的综合折旧率,计算公式如下::生均设备成本:生均占有设备值(4000-6000元):设备折旧年限(5-10年)(3)图书折旧成本图书是教育的重要条件,国家也明确规定了生均图书的拥有量。目前,规定的标准是生均100册,照此计算,高校生均图书成本公式如下::表示生均图书成本:图书折旧年限(一般5-10年):单位图书平均购价(一般可采用20～30元)(4)运动场地折旧成本按现行本科教学评价标准要求,生均运动场地为3。照此标准计算,运动场地成本公式如下::表示生均运动场地成本:运动场地折旧年限:运动场地单位造价综上得：生均培养成本=人员经费+奖助学金+公务费+业务费+土地使用费+固定资产折旧即： (4.1)因此，通过查找相应的统计数据分别计算出(4.1)式中，代入上式即可求出相应的生均培养成本。高等教育的多元性分类考虑到不同地区、不同教育层次、不同档次的学校的不同专业对一个学生的培养费用的影响，所以在计算生均培养费用时进行了不同的分类（图1）。4.2.1 高校所在地区的划分通过对2003年至2007年中国统计年鉴中的教育经费的查询可以发现，国家对不同省份的财政性教育拨款不同，而且不同省份的社会捐助，以及社会团体和公民个人办学经费的多少都不相同。同时，中国统计年鉴中的经济和教育方面的数据也表明，上述的不同很大程度上和各个省份的经济发达程度有关，所以，我们可以根据全国各个省份的经济发达程度将全国省份分为A、B、C三个地区，分别表示发达地区、一般地区和贫困地区。根据各地区高校的生均成本的不同得到以下关系式：=，=，且，i=1,2；其中，表示A地区高校的生均成本占A、B、C三个地区高校的生均成本之和的比重；表示B地区高校的生均成本占A、B、C三个地区高校的生均成本之和的比重；表示C地区高校的生均成本占A、B、C三个地区高校的生均成本之和的比重；表示比例系数。我们通过数据资料的查找及对2003年至2007年的数据进行处理得到表3：表3在教育层次和学校类别等都相等的条件下的不同地区的生均成本 地区生均成本A地区B地区C地区总计生均培养成本(单位：元)1199010560880031350所以有：=0.38，=，=；进一步可以得到：，。全国所有高校全国所有高校A地区高校B地区高校研究生教育本科生教育专科生教育甲类高校乙类学校丙类学校热门专业一般专业冷门专业┅┅┅┅┅C地区高校┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅图1高等教育的多元划分示意图4.2.2 高等教育层次的划分目前，我们国家的高等教育一般分为研究生教育、本科生教育和专科生教育三种教育层次。通过资料查询及对数据的处理可以得到以下数据：表1学历与未来年收益之间的数据关系（单位：元） 年份年收益学历20032004200520062007研究生3243633928335523549840332本科生1738818187185881966621456专科生1527615978159961692316920注意：这里所说的未来年收益，是指某一学历的毕业生第一年工作的收益。表2学历与年教育成本之间的关系（单位：元） 年份年成本学历20032004200520062007研究生19499.919670.319592.122183.721329.4本科生10833.39593.59493.612923.112465.3专科生10215.49382.19248.310769.210455.6由上表可知，教育层次与教育成本及其未来收益在一定程度上是成正相关的，也就是说，三个不同层次的教育将直接给受教育者带来个人预期收入的差异，随着学历的递增而递增，其成本投入也随着学历的递增而递增，甚至成倍的递增。根据各教育层次的高校的生均成本的不同可以得到以下关系式：=,=，且，j=1,2。其中，表示研究生教育的生均成本占三个教育层次的生均成本之和的比重；表示本科生教育的生均成本占三个教育层次的生均成本之和的比重；表示专科生教育的生均成本占三个教育层次的生均成本之和的比重；表示比例系数。我们通过数据资料的查找及对2003年至2007年的数据进行处理得到下表：表4在地区和学校类别等都相同的条件下的不同教育层次的生均成本 教育层次生均成本研究生教育本科生教育专科生教育总计生均培养成本(单位：元)20455110611001441530所以=，=，=进一步可以得到：，4.2.3 高校的类别划分对于不同教育层次的高校又有不同质量的高校，根据高校的具体情况及差异，有不同的分类方法，在此我们按高校的排名将全国的高校分为甲类、乙类、丙类三类高校，其中，甲类为排名前30名的高校，乙类为排名在30至150名之间的高校，丙类为150名以后的高校。显然，这三类高校的教学设备的先进程度、教学人员的教学素养、教育资源的利用率、学生的素质和学习的环境等都有明显的差别。根据各个等级的高校的生均成本的不同可以得到以下关系式：=，=，且，k=1，2。其中，表示甲类高校的生均成本占甲、乙、丙三类高校的生均成本之和的比重；表示乙类高校的生均成本占甲、乙、丙三类高校的生均成本之和的比重；表示丙类高校的生均成本占甲、乙、丙三类高校的生均成本之和的比重；表示比例系数。我们通过数据资料的查找及对2003年至2007年的数据进行处理得到下表：表5在地区、教育层次等都相同的条件下的不同学校类别的生均成本 高校类别生均成本甲类高校乙类高校丙类高校总计生均培养成本（单位：元）13629111731034835150按上述同样方法可以算得：=0.39，=0.32，=0.29；=1.34，=1.11。4.2.4 专业的类别划分考虑到教育质量与教育的成本，以及未来预期收益这三者之间有一定程度的正相关性，也就是说，在其它条件不变的情况下，一个学生所接受的高等教育的质量越高，对其投入的教育成本就越多，同时他个人预期的收益就越高，反之亦然。所以我们可以根据高等教育中的个人收益的高低及就业前景的好坏，将高等教育的专业分为热门专业、一般热门专业和冷门专业这三类专业。在一般情况下，毕业于热门专业的学生，其个人预期收益要比毕业于一般专业的学生的个人预期收益要高，而毕业于一般专业的学生的个人预期收益又要比毕业于冷门专业的学生的个人预期收益要高一些。根据各个专业的生均成本的不同可以得到以下关系式：=，=，且，l=1，2。其中，表示热门专业的生均成本占热门、一般、冷门三类专业的生均成本之和的比重；表示一般专业的生均成本占热门、一般、冷门三类专业的生均成本之和的比重；表示冷门专业的生均成本占热门、一般、冷门三类专业的生均成本之和的比重；表示比例系数。我们通过数据资料的查找及对2003年至2007年的数据进行处理得到下表：表6在地区、教育层次和学校都相同的条件下的不同专业的生均成本 专业生均成本热门专业一般专业冷门专业总计生均培养成本（单位：元）14238112971007335608同理可得：=0.40，=0.32，=0.28；，。所以，我们可以将C地区的丙类高校中冷门专业的专科生的生均成本占总培养成本的比重表示为b=，那么，对于任何一个地区的某一类高校中的某一教育层次的某一类专业的学生的生均成本的比重可以折算成的形式，比如，A地区中乙类高校中热门专业的本科生的生均成本的比重可以表示为(其中，=2.47)。也就是说，任何一种接受高等教育的学生的生均成本都可以用b来表示，或者与b互相进行比例转化。学费标准模型对于国家来说，它关注的是高等教育的质量，即国家希望教育质量更好。而教育的质量需要经费来作保障，根据前面的假设可知教育质量与教育经费之间在一定程度上有正相关性，而教育经费又决定了生均成本，所以要使教育质量更好，也就是使教育经费更多，从而可以转化为使生均成本更高，所以可得到一个目标函数：,表国家利益目标。对于学校来说，它关注的是在保证教育质量的前提下，有更多的经费用于自身的发展，据此可以得到另一个目标函数：，表学校利益目标。对于家庭（或学生）来说，关注的是对学费和生活费等的支付能力，因此，我们可以得到最后一个目标函数：，表学生家庭利益目标。下面我们来讨论约束条件：在保证教育质量的情况下，学校不能亏本，据此可得约束条件：；为了满足某一家庭的学生能顺利的上学，即家庭能够提供的起学费和生活费，所以可得一约束条件：国家文件规定:学费不超过生均培养费的25%。所以我们可以得到以下多目标规划模型： （4.2）5模型求解5.1某B区的学校作为样本来计算其生均培养成本表7中国2004年分地区中央部门普通高等学校教育经费支出明细统计（部分）地区省1省2总计64735101671129个人部分2562497750430基本工资393084138276补助工资382540121008其他工资777136172769职工福利会保障费605046206179奖贷助学金26219188437公用部分3041798787659公务费668753214400业务费351999151434设备购置费678932156350修缮费40548976699校舍建设费11335710664其他费用936625188776基建支出869215133040自筹基建支出668667115330通过查询中国统计年鉴知2004年在校高校生人数为892018，将上表中数据代入公式（4.1），可求出该区生均培养费为：C=1.477(万元)5.2求解该样本的学费标准查询中国统计年鉴可得2004年该样本的预算内教育经费为774717.633万元，从而得到生均国家拨款B=0.868(万元)，Q=0.826(万元)。 考察该样本的平均每户家庭每年可支配收入J=9421.61*2.98=2.81（万元）20004年国内生产总值GDP=136875.9亿元，教育经费占GDP的百分比查询数据：2004年A区的在校大学生年均生活消费额S=5021元2004年B区的在校大学生年均生活消费额S=4637元下面求解多目标规划问题4.2，直接求解较复杂，应将多目标转化为单目标，然后进行求解。首先应建立三个目标函数的隶属度关系函数。隶属度在本文中指所求得的对约束条件的满意度[3]。目标的隶属度函数的交集，可以表示为如下形式：，其中，分别表示解、目标和约束的隶属度函数，所以，含有L个目标（本文中L=3）和k个约束的多目标规划模型的解为：其最优解为：所以求解多目标线性规划的重点是求隶属度函数，而要求隶属度函数就必须先求出函数的偏离上限值和偏离下限值。为了更好的求出隶属度函数以及函数的偏离上限值和偏离下限值，在此我们采用各个目标的隶属度函数为降半阶梯形分布的隶属度函数[2]，为的隶属度函数，当约束条件完全满足时，；当约束条件被严重违反时，；随着约束从严重违反到完全满足，从0单调地增加到1，则相应的图形表示如图1所示：的隶属度函数图相应的目标函数隶属度函数的数学表达式为如下：在上述表达式中，是第L个目标函数的值，分别表示相应目标函数的偏离上限值和偏离下限值。所以可以将本文要求解的多目标线性规划转化为以下三个求最小值的多目标线性规划问题：约束条件不变,依然为：采用Zimmemann求解方，每次选择一个目标函数在所有的约束条件在分别求出最大值和最小值；用LINGO软件可求下列结果：；为了求得符合以上三个目标的最优解，我们引入变量，，且使目标，由上述可知的值越大，满意度越大，方案的可行性越高。因此，本文中的多目标线性规划模型转化为如下容易求解的单目标线性规划模型：；通过某A区一类高校的各项统计数据，带入本篇论文的模型，得出A区学费元，满意度=0.72；将某B区的一类高校的各项统计数据，带入模型，得出B区学费元，=0.69。通过对以上的结果分析得出，上述两所高校处于经济发展不相同的两个地区，但是同属于一种档次的学校，两者的学费存在差异。由此，我们可以考虑高等教育，针对不同的地区、不同的专业采取不同的收费，实现教育的均衡发展。同时，这种学费标准与实际能够较好的吻合，且在上面的约束下保证了其合理与公平。同时可以看到，它们的满意度都在较高的水平，可以使得社