2021年初中数学人教版特色小组课程第4讲‘’数家族‘’的体量大升级-实数《讲义教师版》

第4''数家族'体大级实学习目标知平方根、立方根的基本概念，会求平方根和算数平方根；熟掌握实数的分类，会准确的区分有理数和无理数入门测单选题练习1.已知，

的值为（）.A．0

B．2021

．﹣1

D．1【答案】【解析】题干解析:由题意得，﹣1=0，b+2=0，解得，a=1，b=﹣2，则（a+b）练习2.的立方根是（）.A．﹣4

B．±4

．±2

D．﹣2【答案】D【解析】题干解析:首先根据立方根的定义计算出

的结果，然后利用立方根定求解即可第1

练习3.下列说法正确的是（）.A．任何非负数都有两个平方根．只有正数才有平方根

B．一个正数的平方根仍然是正数D．负数没有平方根【答案】D【解析】题干解析:A、非负数0的方根是0，只有一个，故本选项误；B．一个正数有个方根，它们互为相反数，故本选项错；C．因的方是0，本选项错误；D．负数没有平根故本选项正确.填空题练习1.4是

的算术平方根．【答案】【解析】题干解析:∵4，∴4是16的算术平方根．故答案为：．解答题练习1.已知a+b﹣5的方根是±3，a﹣b+4的方根是2．求3a﹣b+2的【答案】24【解析】题干解析:∵a+b﹣5的平方根是±3﹣b+4的立方根是2，∴a+b﹣5=9﹣b+4=8，解得：a=9，b=5．∴3a﹣b+2=27﹣5+2=24情景导入第2

洋洋在玩“七巧板”时，发现里面的正方形不见了，洋洋急坏了，爸爸决定给他制作一个和原来一样的正方形，但现在只知道丢失正方形的面积，爸爸能完成这项任务么？赶快行动吧，认真学习这一讲的知识，相信我们能帮助爸爸完成想想任务。知识精讲平方根概念知识讲解平方根（）般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。记作：，a叫做被开方数。（）一个数a的方根的运算，叫做开平方运算。例题精平方根的念例1.下列说法正确的是（）.第3

A．任何非负数都有两个平方根．只有正数才有平方根

B．一个正数的平方根仍然是正数D．负数没有平方根【答案】D【解析】题干解析:A、非负数0的方根是0，只有一个，故本选项误；B．一个正数有个方根，它们互为相反数，故本选项错；C．因的方是0，本选项错误；D．负数没有平根故本选项正确.例2.若5a+1和﹣19是正m的两平方根，求m的值【答案】256【解析】题干解析:根据5a+1a﹣19是正数m的两个平方根，则5a+1和a﹣19为相反数，有（5a+1）+（a﹣19）=0，解得：a=3，故的值为256．例3.实数、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为

，，的值．【答案】∵a、b互为相反数∴a+b=0∵c、d互为倒数∴cd=1∵x绝对值等于∴x=∵y=9∴y=±3（1）当x=，y=3时原式=5+0﹣3=2（2）当，y=﹣3时原式=8（3）当x=﹣，y=3时原式=2（4）当x=﹣，y=﹣3时原式=8∴原式=2或8【解析】题干解析:首先根据a互为相反数，c、d互为倒数，可得：a+b=0；然后根据x的绝对值为，y=9，分别求出x、y的值各是多少，再代入x2+（a+b）x﹣y，求出算式的值是多少即可．算术平根第4

知识讲解算术数方：（）般地，如果一个正数x的平方等于，，那么这个正数x叫做a的术平方根。记作：，叫被开方数。（）定0的算数平方根是0。例题精算术平方例1.下列语句写成数学式子正确的是（A．9是81的算术平方根：．±6是36的平方根：【答案】B【解析】题干解析:

B．5是（﹣5）算术平方根：D．﹣2是4的负的平方根：A、981的术平方，即

=9，误；B、5（﹣5）算术平方根，即

=5，正确；C、±6是36的方根，即±D、﹣2是4的平方根，即﹣例2.

=±6，错误；=﹣2错.第5

下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；

的术方根是a；④（π﹣4）算术平方根是π﹣4⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有（）.A．2个

B．3个

．4个

D．5个【答案】【解析】题干解析:根据平方根概念可知：①负数没有平方根，故此选项错误；②反例0的术平方根是0，故此选项错误；③当a＜0时，a

的算术平方根是﹣，故此选错；（）

的术方根是﹣π，故此选项错误；⑤算术平方根不可能是负，故此选项正确．所以不正确的有个．例3.已知2a﹣7的平方根是±5，2a+b﹣1的算术平方根是4，﹣+b的值．【答案】见解析【解析】题干解析:依据平方根的定义可得到﹣7=25，2a+b﹣1=16，∴a=16﹣15，∴﹣+b=﹣4+（﹣15）=﹣19算术平根的非性1.2.

知识讲解1、熟悉三种常的负数：绝对值、算术平方根、平方数。2、互为相反数两和为0.例题精算术平方的非性第6

例1.已知，

的值为（）.A．0

B．2021

．﹣1

D．1【答案】【解析】题干解析:由题意得，﹣1=0，b+2=0，解得，a=1，b=﹣2，则（a+b）

例2.已知+|1|．（）与y的值；（）+的平方根．【答案】见解析【解析】题干解析:解：（1∵+|x﹣=0∴x﹣1=0，+2y﹣7=0，解得：x=1，y=3．（2x+3=4．∵4的平方根为±，∴x+y的平方根为±2．立方根知识讲解1.定：一般地，如果一个数的立方等于a，么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就说，如果，那么叫做a的方.求一个数的立方根的运算，叫做开立方运.第7

一般地，

.2.性：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数0的立方根是0.例题精立方根例1.的立方根是（）.A．﹣4

B．±4

．±2

D．﹣2【答案】D【解析】题干解析:首先根据立方根的定义计算出

的结果，然后利用立方根定求解即可例2.立方根等于本身的数的个数为a，平方根等本身的数的个数是b，算术平方根等于本身的数的个数为c倒数等于本身的数的个数是d，=。【答案】【解析】题干解析:根据题立方根、平方根的性质知：立方根等于本身的数的个数为3，故a=3，平方根等于本身的数的个数是1，故b=1算术平方根等于本身的数的个数为2，故c=2，倒数等于本身的数的个数是2，故，把这些值代入得：a+b+c+d=8．例3.求下列各式中x的．（1）64x﹣27=0（2）125（x+l=8第8

【答案】x=x=﹣【解析】题干解析:熟练掌握立方根的定义是解题的关键平方根立方根综合应知识讲解掌握平方根与立方根结合的一些常见题型即.例题精平方根与方根综合应用例1.的平方根是。【答案】±【解析】题干解析:注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根即为它的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．例2.已知2a+1平方根是±3，

是﹣1算术平方根试求a+2b的方根．【答案】±【解析】题干解析:依据平方根的性质可得到，3a+b﹣1=16从而可求得a的值，然后再求代数式的值即可．第9

例3.请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1求该魔方的棱长；（2求该长方体纸盒的长．【答案】（1）设魔方的棱长为xcm，可得：x=216，解得：x=6．答：该魔方的棱长．（2）设该长方体纸盒的长为ycm，6y=600，y=100，y=10．答：该长方体纸盒的长为10cm．【解析】题干解析:本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．无理数知识讲解常见的理：（1无限不循环的；（2含π的；（3有规律但不循环的；（4开方开不尽的；（5类分数形式的，如，无理数，且不是分数。例题精第10

无理数例1.在0、﹣、、、、、、2.121221222122221（个“1”间依次一个“2”）中，理有（）．A．3

B．4

．5

D．【答案】A【解析】题干解析:由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的概念即可判定选择项．需要注意的是

是有理数在0、﹣、、、、3.、、2.121221222122221（两个“1”之间依次多一个“2）中，根据无理数的概念，无理数有﹣、、

三个．故选A．例2.写出一个比3大比小无理数：。【答案】π【解析】题干解析:此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多个0）等形式例3.在小学里我们学过循环小数，如0.以以下方法进行．

可化成0.323232…，如果我们要把0.

化分，可第11

解：设0.=x，即x=0.323232…两边同乘以100，得100x=32.323232即100x=32+0.323232…∴100x=32+x解这个方程，得

即0.=试用上面介绍的方法把0.

化成分数．【答案】解：设x=0.，即x=0.279279279…，两边同时乘以1000，得：1000x=279.279279…，即1000x=279+0.3279279279…，∴1000x=279+x，解这个方程得：x===，即0.=．【解析】题干解析:根据题目中给的提示，即可得到关于的方程，求出x即可实数的念及分1.2.3.4.

知识讲解1.有数和无理数统称为实数。无理数：无限不循环小数。2.实和数轴上的点是一一对应关系。3.实的性质：绝对值：正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数0的绝值是0。相反数：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数0的反数是0。倒数：乘积为1的个数互为倒数。4.实的按性质和按定义的分类方法。例题精第12

实数的概及分例1.下列说法错误的有（）.①互为相反数的数的立方根也互为相反数；②不整式；③算术平方等它身的数只有零；④实数和数轴上的点一一对应；⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数．A．1

B．2

．3

D．【答案】【解析】题干解析:解：①互为相反数的数的立方根也互为相反数，故说法正确；②是式故说法误；③算术平方根等于它本身的数有0，1，说法错误；④实数和数轴上的点一一对应，故说法正确；⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数，错误故正确的有2个错误的有3个故选C．例2.把下列各数填入相应的大括号里．﹣，﹣3.14，260，，，﹣0.010010001…，﹣7，，0，，0.03，，10，﹣0.，正分数集合…}正数集合{…}整数集合{…}第13

非正数集合；有理数集合…}自然数集合…}【答案】正分数集合{，3.1415，0.03，…}；正数集合{260，，3.1415，π，，0.03，10，…}；整数集合{260，﹣2009，﹣7，0，10，﹣…}；非正数集合{﹣，﹣3.14，，﹣0.010010001…，﹣7，0，﹣3，﹣0.，﹣…}；有理数集合{﹣，﹣3.14，260，﹣2009，，﹣7，3.1415，0.03，﹣3，10，，﹣…}；自然数集合{260，0，10，…}．【解析】题干解析:根据各自的定义判断实数与轴

，知识讲解实数与数轴上的点具有一一对应的关系.例题精实数与数例1.实数、b在数轴上的位置如所示，则|a+b|﹣|a﹣b|=．第14

【答案】2a【解析】题干解析:根据数轴上点的位置得﹣＜a＜0＜1＜b，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案。例2.实数，b在数轴上对应点的置如图所示，化简：+【答案】∵b＜a＜0，∴+=a﹣b﹣a=﹣b【解析】题干解析:根据图示，可得：＜a＜0，据此求出算式的值是多少即可.例3.如图，在数轴上画出表示

的点（不写作法，但要保留图迹）．【答案】所画图形如下所示，其中点A即为所求．【解析】题干解析:根据勾股定理，作出以和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．实数大比较知识讲解实数的大小比较是考试中常见的题型，常见的方法有：做差、做商、平方.第15

例题精实数大小较例1.在实数﹣，﹣，0π，

中，最大的一个数是【答案】π【解析】题干解析:根据正数大于，0大于负数，正数大于负数，比较即可；也可将这些数表示在数轴上，根据数轴右边的数总是大于左边的数来解决问题。例2.比较【答案】见解析【解析】

与0.5大小．题干解析:利用

＜

得到2＜，则﹣1＞1，即可得到

与0.5的大小关系．例3.比较下列各组数的大小：（1）|﹣3|和﹣2|（2）

和﹣．【答案】|﹣3|＞|﹣2|【解析】题干解析:（1）先平方后，再比较出各数的大小，即可得出答案；）先比较其相反数，再比较出各数的大小，即可得出答案．实数的值第16

知识讲解估算值的基本思路：设a、两数或者两数中某个数的取值范围，再进行比较。例题精实数的估例1.估计+1的在（）.A．2和3之间

B．3和4之间

．4和5之间

D．5和6之间【答案】【解析】题干解析:先估算出∵3∴4

的范围，即可得出答案．＜4+1＜5，即例2.与

+1在和之间最接近的正整数是．【答案】【解析】题干解析:先依据被开放数越大对应的算术平方根越大，估算出的大小，然后再进行判断即可。∵4＜5＜6.25，∴2＜＜2.5，∴5＜3++5.5．∴与最接近的正整数是5．例3.第17

已知+1整数部分为a，小部分为b，计算a﹣2b的值．【答案】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4．∴a=3，b=+1﹣3=﹣2．∴a﹣2b=3﹣2（﹣2）=7﹣2．【解析】题干解析:先估算出的大小，然后再求得a、b的值，然后代入计算即可．实数运知识讲解在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．例题精实数运算例1.计算：﹣1

﹣（﹣2）3

×

．【答案】解：﹣1

﹣（﹣2）3

×

=﹣1（﹣8﹣3×+22=1+1+1=0【解析】题干解析:此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再第18

算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．例2.解方程①（x﹣4）②【答案】①x═6或x=2．②x=0【解析】

．题干解析:

根据平方根、立方根的含义和求法，求出每个程的解是多少可例3.计算：（1）2﹣|﹣2|+|﹣3|+．（2．【答案】（1）10（2）14【解析】题干解析:（1）原式利用绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．（2原式利用乘方的意义，平方根、立方根定义计算可得到结果．当堂练习填空题练习1.（2021春黄期中）若【答案】±1或±或【解析】

1-x，x值为_______．第19

题干解析:∵

1-2∴1-=0或x=-1或1-x=1，∴=±1

或=0，练习2.（2021∙西湖区校级期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的是8，输出y的值是____．【答案】-1【解析】题干解析:把=-8代入得：y

（-1）=-1，练习3.（2021∙江津区月考）已知是平方根y是8的方根，则xy的值是_____．【答案】4或0【解析】题干解析:∵是平方根，是立方根，∴x=±2，=2，当x，x+=4，当x=-2时，+y，练习4.（2021∙台儿庄区校级月考）已知x+1的方根是5，则=____【答案】12【解析】题干解析:∵+1平方根是±，∴解得：x．练习5.（2021南岗区校级二模8的术平方根是。【答案】2【解析】题干解析:由算术平方根的定义可知：算术平方根是

，∵

2

，∴8的算术平方根是2．练习6.第20

（2021秋贵期末）比较大小：【答案】【解析】

___3（填：>或<或=”题干解析:∵，∴解答题练习1.

3．已知m是

的小数部分n是

的整数部分．求：（1（m）的；（2+m的．【答案】解：∵m是的小数部分，是的整数部分，∴m=﹣2，n=4；（）（m﹣n）=（﹣2﹣4）=（﹣6）=7﹣12+36=43﹣12；（2）+m=+﹣2=﹣1．【解析】题干解析:先估算出、

的大小，然后可求得m、n的值.练习2.（1（﹣2）×+|+|+×（﹣1）．（2﹣1++3﹣|2|++﹣．（3）|﹣|﹣2|﹣1|（4）|﹣3|﹣×+（﹣2）【答案】第21

解：（1）原式=﹣8×+|﹣2+

|+×1=﹣1+2﹣

+

=1．（2）原式=﹣1+9﹣24﹣2++2+2﹣=﹣+

（3）原式=

﹣

﹣2+

﹣+1=2﹣2﹣1（4）原式=3﹣4+×（）﹣8=3﹣4﹣1﹣8=﹣10．【解析】题干解析:主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、二次根式化简、三次根式化简等考点的运算．练习3.已知

的小数部分是a，5﹣

的小数部分是b，求：（1）a+b的值；（2）a﹣b值．【答案】【解析】题干解析: