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文档简介
初线最问之---胡不问【引
入】胡不归问题是一个非常古老的数学问题经历史上非常著名的难题近来陆续成为各地中考模拟题的小热门考点生起题来失分非常高或是无从下手天我们一块来探究下。【实际背景】话说从有一小伙子外出务工某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家子略懂数学常识,考虑两之间线最的知识,就走布满沙石的路直线路径忽了走折线虽然路程多但速度快的实际情况赶到家时老刚咽了气小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨胡不归?胡不归…这个问题引起了人们的思索伙子能否节省路上时间提前到家?如果可以应选择一条怎样的路线呢?这就是流传千百年胡不归问题。【模型建立】将上述问题归结为如下图数模型即是:如图是出发点是的地,直线AC一条驿道,而驿道靠目的地一侧全是砂土,人们走在不同的道路上的速度不同,设走在驿站AC速度是m米秒,走在砂石道路上的速度是n米秒;、如果小伙子直接从A到B,则他需要的时间就是:
ABn
秒;、如果小伙子先走一段路程的驿站,即先走到D点,在沿着DB回到家,则他需要的时间就是:
BDn
)秒。现在问题就是
BDAB的结果有没有可能比更小呢?n【宏观分析】虽然沿着折线-行,路程变成长了,但是折线AD的速度更快,所需要的时间更少;沿着AB行,虽然路程变短,但是速度变慢,需要的时间更多,所以:完全有可能比更。n(图1)【理论分析】小伙子所需要的时间为:1(AD),m
BDn
,对它进行变形处理如下:由于
n
均为题目给定的定值以求
n
的值即可于
,B
均是动点而
Dn是动点,故转变为两条折线段之和,故想办法将两条线段和BD
拉时,值最小,因此需要在图中构造一线,得长刚为
n
,如下图()示:(2)在直线一侧作射线,D点的线,n线段,DH'sin,
DH
可知,∴此时
n
=
sin
BDDH'BD
,故由点直的离线最可知:B点的线AM于H,BH即为最00小值。【模型总结】胡不归问题解决的是形如:
PB
nm
PA
的最值问题。第一步:将所求线段改成
nn的形式;为?为sin
)第二步在
PA
的侧
PB
的侧构一角
,得
sin
n,m
转成某线长00第三步:过
B
作第二步所构造的角的一边的垂线,该垂线即为所求的最小值。第四步:代入计算得出结论。模型如下图)所示:(图【实际应用】例:如图所示,正方形ABCD中点是角线上个动点,若正方形边长为2则的小值为多少?分析∵∴很准的胡不归问题面照四个步骤来解答。11解答:PB)故求PA+22
PB最小值即可。在PB的一侧,的侧作射线,并使得∠PBM=
,即∠PBM=30,∴
11,过点作BM的垂线AH交BM于H∴PB的最小值即为AH的22长。0000又∠ABH=∠∠PBM=45°°=75°,由°
624
可知,2,·=1∴PA+PB+PC=2PA+PB=2(PA+PB)2
6
2
。点评:此题按照胡不归经典三步来做,直接变成了套路题。此题解题过程中用到了sin75°的值,有兴趣的同学还可以自行推导出
75
624
,tan例eq\o\ac(△,Rt)ABC中°BAC=15是AC上动点的最小值是多少?
22
PA解答:按照胡不归的三步来做,在PA的一侧的侧过点A作一条射线AM,使得∠PAM=
22
,即∠°过P点⊥于H,
22
PA
,再过点0AM的直,垂直为H,BH为所求的最小值。此时:∠BAC+∠+45°°在eq\o\ac(△,Rt)ABH中,由sin∠BAH=
AB
,∴×°
53所以
22
PA
的最小值为
53
。【课后演练】演练平面直角坐标系中知A(0,4)-1,0)在y轴有一动C
13
的最小值。【答案】
423演练图平面直角坐标系次函数y=ax²的像经过A(3),C(2,0),对称轴与轴于点D。求次函数的表达式及顶点坐标;若P是y轴的一个动点,连接,
的最小值。【答案】
3322
()
334演练:如图,在ACE
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