2019-2020学年四川省成都市外国语高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市外国语高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合，．若，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故选C2．函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据函数定义域,可排除AB选项,由复合函数单调性可排除C选项,即可确定正确选项.【详解】函数则定义域为,解得,所以排除A、B选项因为为单调递减函数,在时为单调递减函数由复合函数单调性可知为单调递增函数,所以排除C选项综上可知,D为正确选项故选:D【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,注意从定义域、单调性、奇偶性、特殊值等方面对比选项,即可得正确答案,属于基础题.3．函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据零点存在定理,即可判断零点所在的区间.【详解】函数则根据零点存在定理可知,在内必有零点.而函数单调递增且连续,仅有一个零点.所以零点只能在内.故选:C【点睛】本题考查了函数零点的判断,零点存在定理的简单应用,属于基础题.4．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A.① B.①②C.①③ D.①②③【答案】A【解析】由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．【详解】由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．【点睛】数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口．5．已知，则下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据对数函数及指数函数的单调性,选取中间值即可比较大小.【详解】根据对数函数及指数函数的图像和性质可知:,所以,所以所以故选:D【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的性质,中间值法比较大小的应用,属于基础题.6．函数的零点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】画出函数图像,根据两个函数图像的交点个数即可判断零点个数.【详解】函数的零点即为,所以画出两个函数图像如下图所示:根据图像及指数函数的增长趋势，可知两个函数有3个交点,所以函数有3个零点故选:C【点睛】本题考查了函数零点个数的判断,画出函数图像是常见的判断方法,属于基础题.7．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，又方程的一根在区间内，另一根在区间内，∴即解得：故选：B8．若数，且，则（）A. B.4 C.3 D.【答案】D【解析】将函数变形为,可知右端为奇函数,根据奇函数性质即可求得的值.【详解】将函数变形为令则所以即所以为奇函数因为,所以由代入可得两式相加可得所以即故选:D【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,对数式的化简技巧,属于基础题.9．已知函数,若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出函数的图像,根据图像分析出的取值范围,即可求得的范围.【详解】因为函数画出函数图像如下图所示:因为且,不妨设当时,或所以因为即,去绝对值可得所以,根据对数运算得即所以因为,由对勾函数的图像与性质可知则故选:B【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数求值的简单应用,属于基础题.10．已知表示两数中的最大值，若，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】根据题意画出两个函数图像,取得最大值的最小值即可.【详解】根据函数,画出图像如下图所示:取最大值后函数图像为:由图像可知,当时取得最小值,即故选:A【点睛】本题考查了函数图像的画法,取大、取小函数的求值,利用图像法分析是常用方法,属于中档题.11．给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在轴的下方；②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④函数的图像关于对称的函数解析式为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】对于①根据复合函数的单调性求得最值即可判断;对于②根据函数图像的翻折、平移变化即可判断;对于③根据对数函数值域为R时,判别式满足的条件,即可求得的取值范围;对于④根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断.【详解】对于①函数,由复合函数的单调性判断方法可知,函数在时单调递增,在时单调递减.即在处取得最大值.所以,所以函数图像恒在轴的下方,所以①正确;对于②的图像经过先关于轴对称,可得;再向右平移1个单位可得,所以②正确;对于③函数的值域为,则满足能取到所有的正数.即满足,解不等式可得或,所以③错误.对于④函数的图像关于对称的函数为的反函数,根据指数函数与对数函数互为反函数可知,其反函数为,所以④正确.综上可知,正确的有①②④故选:C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,函数图像的平移变换和反函数的概念,综合性强,属于中档题.12．若函数，则使不等式有解时，实数的最小值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】根据对数运算,将函数解析式变形化简,结合打勾函数的图像与性质即可求得函数的最大值,进而求得实数的最小值.【详解】函数由对数运算化简可得由对勾函数的图像与性质可知因为不等式有解所以即所以实数的最小值为故选:D【点睛】本题考查了对数的运算化简,对勾函数的图像与性质的应用,不等式有解的解法,属于中档题.二、填空题13．函数恒过定点的坐标为__________.【答案】【解析】根据对数函数的图像与性质即可求得函数过定点的坐标.【详解】函数当时,所以定点坐标为故答案为:【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质,对数函数过定点的求法,属于基础题.14．若，则________.【答案】【解析】根据函数解析式求法,先求得的解析式,再代入求值即可.【详解】因为函数令则所以即所以故答案为:【点睛】本题考查了函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.15．若函数是奇函数．则实数_______.【答案】【解析】根据奇函数,即可求得的值,进而得的值.【详解】函数是奇函数所以满足,即化简后可得因为对于任意上式恒成立,所以满足解方程可得或所以故答案为:【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,注意方程恒成立的条件,不要漏解,属于中档题.16．已知函数若存在实数且使得函数成立，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】讨论对数函数的底数的两种情况:.画出图像即可研究存在不相等实数使函数成立的情况.【详解】当时,函数的图像如下图所示:所以此时存在实数使得恒成立,当时,函数图像如下图所示:若存在实数使得恒成立,则,解不等式可得综上可知,实数的取值范围为或故答案为:【点睛】本题考查了分段函数图像的综合应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.三、解答题17．已知全集，集合，集合是的定义域.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）代入的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合.（2）根据集合关系可知,即B为的子集,根据包含关系即可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为则根据对数图像与性质可知的定义域为所以（2）解不等式可得所以,因为所以所以,即实数的取值范围为【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题.18．求下列各式的值（1）；（2）已知，求值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由指数幂及对数的运算,化简即可求解.（2）根据完全平方公式及立方和公式,化简即可求值.【详解】（1）根据指数幂与对数的运算,化简可得（2）因为两边同时平方可得所以由立方和公式及完全平方公式化简可得【点睛】本题考查了指数幂及对数的化简求值,完全平方公式及立方和公式的应用,对计算要求较高,属于基础题.19．设函数（1）解关于的方程；（2）令，求的值.【答案】（1）或（2）【解析】（1）根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.（2）根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.【详解】（1）因为函数代入可得令则解得或即或解得或（2）根据题意则所以且所以【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题.20．已知函数为偶函数，且.（1）求的值，并确定的解析式；（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.【答案】（1）或,（2）存在;【解析】（1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.（2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.【详解】（1）因为则,解不等式可得因为则或或又因为函数为偶函数所以为偶数当时,,符合题意当时,,不符合题意,舍去当时,,符合题意综上可知,或此时（2）存在.理由如下:由（1）可得则且当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知,在上为增函数且满足在上恒成立即解不等式组得当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知,在上为减函数且满足在上恒成立即解不等式组得综上可知,当或时,在上为减函数所以存在实数,满足在上为减函数【点睛】本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.21．已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且有恒成立.（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；（2）若函数有零点,求实数的取值范围.【答案】（1）增函数;证明见解析.（2）【解析】（1）在定义域内任取,代入作差,结合即可证明单调性.（2）根据零点的定义,结合奇函数性质即可转化为关于的方程,通过分离参数将方程转化为对勾函数,即可求得的取值范围.【详解】（1）函数在上单调递增.证明:因为定义在上的奇函数则任取,且则因为时有恒成立.所以,即所以在上单调递增（2）因为定义在上的奇函数,且所以若函数有零点即有解所以有解即可.则因为所以即【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性,函数零点的综合应用,对勾函数求参数取值范围的方法,属于中档题.22．已知函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在,理由见解析.【解析】（1）根据定义域为R且为奇函数可知,代入即可求得实数的值.（2）由（1）可得函数的解析式,并判断出单调性.根据将不等式转化为关于的不等式,结合时不等式恒成立,即可求得实数取值范围；（3）先用表示函数.根据求得的解析式,根据单调性利用换元法求得的值域.结合对数的定义域,即可求得的取值范围.根据对数型复合函数的单调性,即可判断在的取值范围内能否取到最大值0.【详解】（1）函数的定义域为R,且为奇函数所以,即解得（2）由（1）可知当时,因为,即解不等式可得所以在R上单调递减,且所以不等式可转化为根据函数在R上单调递减所不等式可化为即不等式在恒成立所以恒成立化简可得由打勾函数的图像可知,当时,所以（3）不存在实数.理由如下:因为代入可得,解得或(舍)则,令,易知在R上为单调递增函数所以当时,,则根据对数定义域的要求