高中数学同步讲义分册选修1-1第三章

学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.y＝f(x)表示.xy＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.A的坐标为(x1，y1)B的坐标为(x2，y2).思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2 答案对山路AB来说，用

思考 观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率Δx＝x2－x1表示什么答案观察图象可看出，Δxy＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率梳理y＝f(x)x1x2

作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢几何意义：已知是函数 P1P2的斜率知识点二瞬时速度思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均答案Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， ＝Δt思考 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度答案Δt梳理

时，Δt10t＝1时的瞬时速度s＝s(t)t0t0＋Δt这段时间内的平均速度为 ＝ .如果Δt0时，Δt无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt0时，Δsvvt＝t0

知识点三导数的概念 limΔx＝ f′(x0)y′|x0类型一命题角度1 例1 解(1)f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)11

1

①x1＝4，x2＝5②x1＝4，x2＝4.1(2)x＝1 x＝2 x＝3 Δx＝1 k1<k2<k3x＝3附近的平均变化率最大与感悟(1)Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；

训练

(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为 数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 答案 解 解

函数

＝

2

2所以函数

命题角度 例 2Δx的值解PQf(x)11＋Δx的平均变化率∴PQ又∵PQ与感悟函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点kP1P2

训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( A.v甲>vB.v甲<vC.v甲＝v＝(2)过曲线y＝f(x) x图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝＝0.5时割线的斜率 2答案 解析(1)AC，BCkAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在<v(2)Δx＝0.5故－2＋Δy＝2.5 -- 故k 类型二例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度. 解 ∴lim

Δt→0

∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，t＝1s3m/s.解t＝0时的瞬时速度 ∴lim

Δt→0

∴t＝01，即物体的初速度为1m/s.39解t09 lim

Δt→0

4s9与感悟(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题①Δt②求平均速度v3Ms(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，Mt＝2s8m/sa的值.解Mt＝2t＝2处的瞬时变化率∵Mt＝2

类型三例 (1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且

＝a，则 1答案

解析＝

(2)f(x)＝xx＝1处的导数解 ∴＝，. .与感悟(1)y＝f(x)x0＝

＝

＝

训练 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求解∵f′(x0)＝00＝

＝

又 答案 解

x0、hx0hhx0x0、h答案函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数 答案 解析 ＝＝

球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率 答案28π解析∵Δy＝4π×23－4 3答案

＝x

x＝1处的导数为－2，则实数a的值 解析f′(1)＝

＝

.f′(x0)＝lim.Δx→0②x0f′(x0)x0Δx无关40分钟作设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 答案

解析

－1＝0.1一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为 答案解析t＝1s′＝li

A. D.不确答案解析t0t0－Δt即W1t0－W1t0－Δt Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 答案解析∵f′(1)＝li

＝li

Δx＝－1，则f′(0)等于 答案解析∵f(x)

＝li

Δx物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为 答案解析t000的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为 答 v1<v2<v v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC， 答案

解析函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去).

t－－2

f(x)＝x2－x在区间[－2，t]2时，t对于函数 ＝x2，其导数值等于函数值的点答案 解析设导数值等于函数值的点是x2 －x20 0＝

2＝1xx xx x0＝－2 答案解析

解∵f(x)在[2,2＋Δx] ，得1s

2 ＝3x＋x1s 解(1)1s内的平均变化率(即平均速度)

1－0＝3 31＋Δx＋1＋Δx＋21＋Δx－ 3(Δx)Δx→01s6

2 3x＋Δx＋x＋Δx＋2x＋Δx－3x＋x