2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）化简：tan（π-α）=___.（结果用α的三角比表示）2.（填空题，3分）已知函数为奇函数，则a=___．3.（填空题，3分）已知扇形的圆心角是60°，其弧长为π，则扇形的面积为___.（结果保留π）4.（填空题，3分）已知，θ∈（0，π），则tanθ=___．5.（填空题，3分）函数f（x）=x2-1（x≤-1）的反函数f-1（x）=___．6.（填空题，3分）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___．7.（填空题，3分）已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是___．8.（填空题，3分）在△ABC中，，，则sinC=___．9.（填空题，3分）已知方程在x∈R上有解，则m的取值范围是___．10.（填空题，3分）方程cosx=sin2x在x∈（0，2π）上的解集为___．11.（填空题，3分）若函数f（x）=2x（x+a）-1在区间[0，1]上有零点，则实数a的取值范围是___．12.（填空题，3分）若函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足①f（0）=0，②对任意x∈[0，1]，有f（1-x）+f（x）=1，③对于，有f（x）≥2x恒成立，则=___．13.（单选题，3分）“，k∈Z”是“tanα=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，3分）对于任意x∈（0，π），下列等式不能恒成立的（）A.sin2x=2sinxcosxB.C.D.15.（单选题，3分）设函数f（x）的定义域为R，对于下列命题：

①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≥M，则M是函数f（x）的最小值；

②若函数f（x）有最小值，则存在唯一的x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≥f（x0）；

③若函数f（x）有最小值，则至少存在一个x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≥f（x0）；

④若f（x）是函数f（x）的最小值，则存在x0∈R，使得f（x）≥f（x0）．

则下列判断正确（）A.①对②对B.①错③错C.③对④错D.②错④对16.（单选题，3分）已知函数f（x）=（m+1）•2x+x2+2nx，记集合A={x|f（x）=0，x∈R}，集合B={x|f[f（x）]=0，x∈R}，若A=B，且都不是空集，则m+n的取值范围（）A.[-1，4]B.[-1，1）C.[-3，5]D.[0，4）17.（问答题，8分）在△ABC中，已知角，边，面积．求：

（1）边c的值．

（2）角C的值．18.（问答题，8分）已知tanα=3．

（1）求的值；

（2）求的值．19.（问答题，10分）某村有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2020年底该村每户年均纯收入为1万元，现成立扶贫工作组，一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．

从2021年初开始，若该村抽出4x户（x∈Z，1≤x≤12）从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高，而从事包装销售农户的每户年纯收入为万元．

（1）至2022年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1.8万元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？

（2）至2021年底，该村每户年均纯收入能否超过1.4万元？若能，请求出从事包装、销售的户数：若不能，请说明理由．20.（问答题，12分）已知及．

（1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）•g（x）的值；

（2）求f（x）的最小值并说明理由；

（3）若，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正

数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（问答题，14分）设函数f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x0∈（0，1），使得f（x）在[0，x0]上是严格增函数，在[x0，1]上是严格减函数，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x0称为峰点，[0，1]称为含峰区间

（1）判断下列函数中，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，f2（x）=1-|4x-1|．

（2）若函数f（x）是区间[0，1]上的单峰函数，证明：若存在x1，x2∈（0，1），x1＜x2，使得f（x1）≥f（x2），则[0，x2]为含峰区间；使f（x1）≤f（x2），则[x1，1]为含峰区间．

（3）若函数f（x）=2a（x+2）3-x-1是区间[0，1]上的单峰函数，求实数a的取值范围．

2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（填空题，3分）化简：tan（π-α）=___.（结果用α的三角比表示）【正确答案】：[1]-【解析】：由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，从而得出结论．

【解答】：解：tan（π-α）=-tanα=-，

故答案为：-．

【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．2.（填空题，3分）已知函数为奇函数，则a=___．【正确答案】：[1]1【解析】：根据题意，由奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），即=-，变形分析可得答案．

【解答】：解：根据题意，函数为奇函数，

则有f（-x）=-f（x），即=-，

变形可得：（x+a）（x-1）=（x-a）（x+1），

则有a=1，

故答案为：1．

【点评】：本题考查函数的奇偶性的定义以及性质的应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．3.（填空题，3分）已知扇形的圆心角是60°，其弧长为π，则扇形的面积为___.（结果保留π）【正确答案】：[1]【解析】：由已知先求出扇形的半径，然后结合扇形的面积公式即可求解．

【解答】：解：由题意得，r==3，

所以扇形的面积S==．

故答案为：．

【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式及面积公式，属于基础题．4.（填空题，3分）已知，θ∈（0，π），则tanθ=___．【正确答案】：[1]【解析】：由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cosθ和sinθ的值，可得tanθ的值．

【解答】：解：∵已知=-cosθ，∴cosθ=．

∵θ∈（0，π），故sinθ==，

则tanθ==，

故答案为：．

【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．5.（填空题，3分）函数f（x）=x2-1（x≤-1）的反函数f-1（x）=___．【正确答案】：[1]【解析】：由函数y=x2-1（x≤-1），可得x=，（y≥0）．即可得出反函数．

【解答】：解：由函数y=x2-1（x≤-1），可得x=，（y≥0）．

∴函数f（x）的反函数f-1（x）=-（x≥0）．

故答案为：-（x≥0）．

【点评】：本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.（填空题，3分）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___．【正确答案】：[1]2【解析】：先进行对数运算都化成同底数的对数，再根据同底数的对数相等只要真数相等即可．

【解答】：解：∵lgx+lg（x+3）=lg[x（x+3）]=lg（x2+3x）=1=lg10

∴x2+3x=10∴x=2或-5

∵x＞0∴x=2

故答案为：2．

【点评】：本题主要考查解对数方程的问题．这里注意对数的真数一定要大于0．7.（填空题，3分）已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是___．【正确答案】：[1]【解析】：先设出三边长，然后根据大边对大角及余弦定理即可求解．

【解答】：解：设三边分别为5x，7x，8x，设最大角为θ，

由余弦定理可得，cosθ==．

故答案为：．

【点评】：本题主要考查了三角形的大边对大角及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．8.（填空题，3分）在△ABC中，，，则sinC=___．【正确答案】：[1]【解析】：由三角形的性质知A为钝角，从而确定角A，B的三角函数知，结合内角和定理求解．

【解答】：解：∵，∴A为钝角，且sinA=，

∵，∴cosB=，

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

=×-×=，

故答案为：．

【点评】：本题考查了三角形的性质应用及三角恒等变换的应用，属于基础题．9.（填空题，3分）已知方程在x∈R上有解，则m的取值范围是___．【正确答案】：[1][-2，2]【解析】：由三角恒等变换得m=sinx-cosx=2sin（x-），从而求m的取值范围．

【解答】：解：m=sinx-cosx=2sin（x-），

∵-1≤sin（x-）≤1，∴-2≤2sin（x-）≤2，

即-2≤m≤2，

∵方程在x∈R上有解，

∴m的取值范围是[-2，2]，

故答案为：[-2，2]．

【点评】：本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题．10.（填空题，3分）方程cosx=sin2x在x∈（0，2π）上的解集为___．【正确答案】：[1]{，，，}【解析】：方程即cosx=0或sinx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π]，分别求得x的值，可得结论．

【解答】：解：方程sin2x=cosx，即2sinxcosx=cosx，即cosx=0或sinx=．

由cosx=0，x∈（0，2π），可得x=或；由sinx=，x∈（0，2π），可得x=或x=，

综上可得，方程sin2x=cosx，x∈（0，2π）的解集是{，，，}，

故答案为：{，，，}．

【点评】：本题主要考查三角方程的解法，正弦函数、余弦函数的图象，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．11.（填空题，3分）若函数f（x）=2x（x+a）-1在区间[0，1]上有零点，则实数a的取值范围是___．【正确答案】：[1][-，1]【解析】：函数f（x）=2x（x+a）-1在区间[0，1]上有零点⇔方程x+a=在区间[0，1]上有解．⇔函数y=x+a，y=的图象在区间[0，1]上有交点．如图在同一坐标系内画出函数y=x+a，y=的图象，结合图象可得

【解答】：解：函数f（x）=2x（x+a）-1在区间[0，1]上有零点⇔方程x+a=在区间[0，1]上有解．

⇔函数y=x+a，y=的图象在区间[0，1]上有交点．

如图在同一坐标系内画出函数y=x+a，y=的图象，结合图象可得：

0+a≤（）0，且1+a≥（）1⇒-≤a≤1

实数a的取值范围是[-，1]

故答案为：[-，1]

，

【点评】：本题考查了函数的零点，函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．12.（填空题，3分）若函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，满足①f（0）=0，②对任意x∈[0，1]，有f（1-x）+f（x）=1，③对于，有f（x）≥2x恒成立，则=___．【正确答案】：[1]【解析】：根据所给条件令得，再根据，有f（x）≥2x恒成立及函数为增函数，利用两边夹的思想求出时，恒有，即可得解．

【解答】：解：因为对任意x∈[0，1]，有f（1-x）+f（x）=1，

所以令，得，

又对于，有f（x）≥2x恒成立，

∴，

由函数f（x）是定义在[0，1]上的增函数，

得，

即时，恒有，

∵，

故，

故答案为：．

【点评】：本题考查抽象函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．13.（单选题，3分）“，k∈Z”是“tanα=”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由充分必要性条件的判断依次对三角函数值判断即可．

【解答】：解：当，k∈Z时，

tanα=tan（+2kπ）=；

当a=时，tanα=，而不满足，k∈Z；

故“，k∈Z”是“tanα=”的充分非必要条件；

故选：A．

【点评】：本题考查了三角函数的值及充分必要性条件判断，属于基础题．14.（单选题，3分）对于任意x∈（0，π），下列等式不能恒成立的（）A.sin2x=2sinxcosxB.C.D.【正确答案】：D【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换和万能公式的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】：解：对于A：sin2x=2sinxcosx，故A正确；

对于B：利用倍角公式的转换，所以，故B正确；

对于C：由于，故C正确；

对于D：，故D错误．

故选：D．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，万能公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.（单选题，3分）设函数f（x）的定义域为R，对于下列命题：

①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≥M，则M是函数f（x）的最小值；

②若函数f（x）有最小值，则存在唯一的x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≥f（x0）；

③若函数f（x）有最小值，则至少存在一个x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≥f（x0）；

④若f（x）是函数f（x）的最小值，则存在x0∈R，使得f（x）≥f（x0）．

则下列判断正确（）A.①对②对B.①错③错C.③对④错D.②错④对【正确答案】：D【解析】：根据已知条件，结合函数小值的定义，依次求解．

【解答】：解：对于①，M不一定是满足f（x）的函数值，所以可能f（x）的最小值大于M，故①错误，

对于②，函数f（x）有最小值，可能存在若干的x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≥f（x0），故②错误，

对于③，由最小值定义，若函数f（x）有最小值，则至少存在一个x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≥f（x0），故③正确，

对于④，由最小值的定义知，f（x）是函数f（x）的最小值，则存在x0∈R，使得f（x）≥f（x0），故④正确．

故选：D．

【点评】：本题主要考查命题真假判断与应用，属于基础题．16.（单选题，3分）已知函数f（x）=（m+1）•2x+x2+2nx，记集合A={x|f（x）=0，x∈R}，集合B={x|f[f（x）]=0，x∈R}，若A=B，且都不是空集，则m+n的取值范围（）A.[-1，4]B.[-1，1）C.[-3，5]D.[0，4）【正确答案】：B【解析】：因为集合A，B都不是空集，设a∈A，则f（a）=0，a∈B，f（f（a））=f（0）=0可求m，然后对n进行分类讨论，结合二次方程解的存在条件可求．

【解答】：解：因为集合A，B都不是空集，设a∈A，则f（a）=0，

a∈B，f（f（a））=f（0）=m+1=0，

所以m=-1，f（x）=x2+2nx=0，

当n=0时，方程的解x=0，此时A=B={0}，满足题意；

当n≠0时，方程的解x=0或x=-2n，

B={x|f[f（x）]=0，x∈R}，则f（x）=0或f（x）=-2n，

由A=B，则f（x）=x2+2nx=-2n无解，则Δ=4n2-8n＜0，

解得，0＜n＜2，

综上，0≤n＜2，m+n∈[-1，1）．

故选：B．

【点评】：本题以集合相等为载体，主要考查了方程的解的存在问题，体现了转化思想的应用，属于中档题．17.（问答题，8分）在△ABC中，已知角，边，面积．求：

（1）边c的值．

（2）角C的值．【正确答案】：

【解析】：（1）由已知结合三角形面积公式即可求解c，

（2）由余弦定理先求出a，结合a，c关系可得A，C的关系，进而可求．

【解答】：解：（1）因为，，==，

所以c=2，

（2）由（1）c＜b，

所以C＜B，即C为锐角，

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=12+4-2×=4，

所以a=2，

所以A=C=．

【点评】：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．18.（问答题，8分）已知tanα=3．

（1）求的值；

（2）求的值．【正确答案】：

【解析】：（1）由已知结合两角和的正切公式展开即可求解；

（2）由已知结合二倍角公式及同角商的关系进行化解，代入即可求解．

【解答】：解：（1）因为tanα=3，

所以===-2，

（2）=====-1．

【点评】：本题主要考查了同角商的关系及两角和的正切公式的应用，属于基础题，19.（问答题，10分）某村有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2020年底该村每户年均纯收入为1万元，现成立扶贫工作组，一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．

从2021年初开始，若该村抽出4x户（x∈Z，1≤x≤12）从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高，而从事包装销售农户的每户年纯收入为万元．

（1）至2022年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于1.8万元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？

（2）至2021年底，该村每户年均纯收入能否超过1.4万元？若能，请求出从事包装、销售的户数：若不能，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（1）由题意列出，不等式1+，解出x，即可求解．

（2）由题意可得，+（100-4x）•（1+）＞140，即x2-13x+40＜0，再结合x的取值范围，即可求解．

【解答】：解：（1）由题意知，2020年底该村每户年均纯收入为1万元，从事水果种植农户的每户年纯收入每年提高，至2022年底，剩下从事水果种植农户的每户纯收入为1+，解得x≥8，

故至少抽出32户从事包装，销售工作．

（2）由题意可得，+（100-4x）•（1+）＞140，即x2-13x+40＜0，

∵x∈Z，1≤x≤12，

∴x∈{6，7}，

从事包装，销售的户数不少于24户且不多于28户时，至2021年底，该村每户年均纯收入能否超过1.4万元．

【点评】：本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．20.（问答题，12分）已知及．

（1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）•g（x）的值；

（2）求f（x）的最小值并说明理由；

（3）若，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正

数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（1）利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；

（2）先考虑，再说明函数与在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，从未求出函数的最小值．

（3）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）（2）的结论可确定．

【解答】：解：（1）f（x）、g（x）的定义域均为（0，+∞）；…（2分）

．…（4分）

（2）∵，∴．…（7分）

易知函数与在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，

∴．…（10分）

（3）∵，…（11分）

∴若能构成三角形，只需恒成立．…（13分）

由（1）知，，

∵，∴，即．…（15分）

由（2）知，，∴．…（17分）

综上，存在，满足题设条件．…（18分）

【点评】：本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关键．21.（问答题，14分）设函数f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x0∈（0，1），使得f（x）在[0，x0]上是严格增函数，在[x0，1]上是严格减函数，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x0称为峰点，[0，1]称为含峰区间

（1）判断下列函数中，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，f2（x）=1-|4x-1|．

（2）若函数f（x）是区间[0，1]上的单峰函数，证明：若存在x1，x2∈（0，1），x1＜x2，使得f（x1）≥f（x2），则[0，x2]为含峰区间；使f（x1）≤f（x2），则[x1，1]为含峰区间．

（3）若函数f（x）=2a（x+2）3-x-1