2021-2022学年山东省德州市高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年山东省德州市高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知，，若，则y的值为（）A.2B.-2C.3D.-32.（单选题，5分）下列函数中，以π为最小正周期且在区间单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=|cosx|D.f（x）=|sinx|3.（单选题，5分）若，则=（）A.B.C.D.4.（单选题，5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC=（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）在△ABC中，已知，若向量，，则以下各式正确的是（）A.B.C.D.6.（单选题，5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A.B.C.D.7.（单选题，5分）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是y=Asinωx．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（其中-π≤φ≤π）的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数y=2sin2x图像重合，且f（x）在[-α，α]上是减函数，则α的最大值是（）A.B.C.D.8.（单选题，5分）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则=（）A.B.C.D.9.（多选题，5分）关于函数的描述正确的是（）A.f（x）是偶函数B.是f（x）的一条对称轴C.是f（x）的一个对称中心D.是f（x）的一个单调递增区间10.（多选题，5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的是（）A.若a=csinA，则△ABC是直角三角形B.若a2+b2＞c2，则△ABC是锐角三角形C.若sin22A=sin22B，则△ABC是等腰三角形D.若acosB-bcosA=c，则△ABC是直角三角形11.（多选题，5分）已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（）A.B.C.若，则OA⊥BCD.若△ABC为正三角形，则12.（多选题，5分）已知函数f（x）=2（|sinx|+sinx）•cosx，关于f（x）下列说法正确的是（）A.f（x）为奇函数B.2π为f（x）的周期C.f（x）的值域为[-2，2]D.f（x）的单调增区间为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）13.（填空题，5分）已知，，，则=___．14.（填空题，5分）已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则=___．15.（填空题，5分）已知，则sin2α=___．16.（填空题，5分）半径为R的圆外接于△ABC，且，若R=2，则△ABC面积的最大值为___．17.（问答题，10分）已知向量，满足，．

（1）若，的夹角为，求；

（2）若，求与的夹角．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=2sinx+cos2x．

（1）求；

（2）求函数f（x）的最值及相应的x值．19.（问答题，12分）已知函数．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若，且，求sin2θ的值．20.（问答题，12分）在①；②acosB=bsinA；③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且________．

（1）求B；

（2）若D为AC的中点，且，，求a、c的值．21.（问答题，12分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，同时测得海里．

（1）求AD的长度；

（2）求C，D之间的距离．22.（问答题，12分）已知，（0＜ω≤1），函数，直线是函数f（x）图像的一条对称轴．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）当x∈[0，π]时，讨论方程f（x）-m=0的根的情况．

2021-2022学年山东省德州市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知，，若，则y的值为（）A.2B.-2C.3D.-3【正确答案】：B【解析】：根据平行向量的坐标关系即可求出y的值．

【解答】：解：∵，

∴-6-3y=0，解得y=-2．

故选：B．

【点评】：本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）下列函数中，以π为最小正周期且在区间单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=|cosx|D.f（x）=|sinx|【正确答案】：C【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．

【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为•=，故A不满足条件；

由于f（x）=|sin2x|的周期为•=，故B不满足条件；

由于f（x）=|cosx|的最小正周期为•2π=π，在区间上，f（x）=|cosx|=-cosx单调递增，故C满足条件；

由于f（x）=|sinx|的最小正周期为•2π=π，在区间上，f（x）=sinx单调递减，故D不满足条件，

故选：C．

【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．3.（单选题，5分）若，则=（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：化简=-sin2α，将代入计算可得答案．

【解答】：解：若，

则=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=（1-sin2α）-sin2α=-sin2α=-=，

故选：D．

【点评】：本题考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．4.（单选题，5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC=（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：由已知结合正弦定理先求出sinC，然后结合同角平方关系及三角形大边对大角可求．

【解答】：解：由正弦定理得sinC===，

因为a＞c，

所以C＜A，

故C为锐角，

所以cosC===．

故选：C．

【点评】：本题主要考查了正弦定理及三角形大边对大角，同角平方关系的应用，属于基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，已知，若向量，，则以下各式正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．

【解答】：解：∵，向量，，

∴=+=+=+（-）

=+=+，

故选：C．

【点评】：本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．6.（单选题，5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：根据函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值即可．

【解答】：解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，

A=2，=-=，

∴T==π，解得ω=2，

将点（，2）代入f（x）的解析式得：

2sin（2×+φ）=2，解得：φ=，

故f（x）=2sin（2x+），

故选：B．

【点评】：本题考查了根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象求解析式的问题，是基础题．7.（单选题，5分）声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是y=Asinωx．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（其中-π≤φ≤π）的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数y=2sin2x图像重合，且f（x）在[-α，α]上是减函数，则α的最大值是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先根据平移变换的规律求出φ的值，然后结合图像变换的规律以及三角函数的性质求出α的最大值．

【解答】：解：由已知，函数f（x）=2sin（2x+φ）（其中-π≤φ≤π）的图像向右平移个单位后，

有=2sin2x，则，k∈Z，当k=0时，符合题意，

故f（x）=，

要得到原函数的单调递减期间，只需，

当k=0时，可得原函数包含原点的单调递减区间为，

f（x）在[-α，α]上是减函数，则，解得，

故α的最大值为．

故选：A．

【点评】：本题考查三角函数图象的变换与性质，属于中档题．8.（单选题，5分）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则=（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：利用三角形以及向量关系，求解三角形面积即可．

【解答】：解：设直线AD，BC相交于E，且，

由E，B，C三点共线，得，

所以x=，

所以==，

所以（）=，

所以2=3，

设S△CED=2y，则S△BDE=3y，

又=5，

所以S△ACD=10y，

所以==，

故选：A．

【点评】：本题考查了向量的关系，面积公式，属于基础题．9.（多选题，5分）关于函数的描述正确的是（）A.f（x）是偶函数B.是f（x）的一条对称轴C.是f（x）的一个对称中心D.是f（x）的一个单调递增区间【正确答案】：BC【解析】：由题意，利用余弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】：解：函数=3cos（2x-），显然它是非奇非偶函数，故A错误；

令x=，则f（x）=3为最大值，可得x=是f（x）的一条对称轴，故B错误；

令x=，则f（x）=0，所以f（x）的一个对称中心为（，0），故C正确；

在区间[，]上，2x-∈[0，π]，f（x）单调递减，故D错误，

故选：BC．

【点评】：本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．10.（多选题，5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的是（）A.若a=csinA，则△ABC是直角三角形B.若a2+b2＞c2，则△ABC是锐角三角形C.若sin22A=sin22B，则△ABC是等腰三角形D.若acosB-bcosA=c，则△ABC是直角三角形【正确答案】：AD【解析】：对于A，根据正弦定理可得sinC=1，由C∈（0，π），可得C=即可判断；对于B，由余弦定理可得C为锐角，但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，即可判断；对于C，利用特值法，若A=60°，B=30°，即可判断；对于D，利用三角形射影定理计算即可判断．

【解答】：解：对于A，若a=csinA，由正弦定理可得sinA=sinCsinA，由sinA≠0，可得sinC=1，由C∈（0，π），可得C=，即△ABC是直角三角形，故正确；

对于B，△ABC中，∵a2+b2＞c2，∴角C为锐角，但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以△ABC不一定是锐角三角形，故B错误；

对于C，若A=60°，B=30°，则可得sin22A=sin22B，△ABC不是等腰三角形，故错误；

对于D，由射影定理得acosB+bcosA=c，又acosB-bcosA=c，即bcosA=0，而b≠0，则cosA=0，可得A=，可得△ABC为直角三角形，故正确．

故选：AD．

【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于中档题．11.（多选题，5分）已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（）A.B.C.若，则OA⊥BCD.若△ABC为正三角形，则【正确答案】：ABC【解析】：利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即可．

【解答】：解：对于A，因为D为△OAB中AB的中点，所以+=2，选项A正确；

对于B，因为O为△ABC的重心，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，

所以++=（+）+（+）+（+）=++=2+=，所以B正确；

对于C，因为•（-）=•=0，所以⊥，即OA⊥BC，选项C正确；

对于D，因为△ABC为正三角形，所以•=cos120°=-OA2，

所以•+•+•=-OA2，选项D错误．

故选：ABC．

【点评】：本题考查了向量的加法及其几何意义，也考查了推理与判断能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知函数f（x）=2（|sinx|+sinx）•cosx，关于f（x）下列说法正确的是（）A.f（x）为奇函数B.2π为f（x）的周期C.f（x）的值域为[-2，2]D.f（x）的单调增区间为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）【正确答案】：BC【解析】：直接利用三角函数的关系式的变换，函数的性质，周期性，单调性函数的值域的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】：解：函数f（x）=2（|sinx|+sinx）•cosx=，

对于A：函数满足f（-x）=2（|sinx|-sinx）•cosx≠-f（x），故函数f（x）不是奇函数，故A错误；

对于B：函数f（x+2π）=f（x），故2π是函数的周期，故B正确；

对于C：根据函数的关系式函数每经过2kπ个周期循环一次，取得的最大值为2，最小值为-2，

所以函数f（x）∈[-2，2]，故C正确；

对于D：根据函数的关系式，函数中自变量x∈[0，]和[]上函数单调递增，故对于函数的单调增区间为[kπ，kπ+]和和[2kπ++2kπ]（k∈Z），故D错误．

故选：BC．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的性质，周期性，单调性函数的值域，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.（填空题，5分）已知，，，则=___．【正确答案】：[1]【解析】：根据向量数量积的概念，向量数量积的性质即可求解．

【解答】：解：∵，又，，，

∴7+||2=2×（1+4），

∴||2=3，

∴=．

故答案为：．

【点评】：本题考查向量数量积的概念，向量数量积的性质，属基础题．14.（填空题，5分）已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则=___．【正确答案】：[1]1【解析】：由题意，利用正切函数的周期性和零点求出ω，可得函数的解析式，再利用特殊角的正切函数值，从而求得f（）．

【解答】：解：函数的相邻两个零点之间的距离是=，∴ω=3，

f（x）=tan（3x+），

则=tan=tan=1，

故答案为：1．

【点评】：本题主要考查正切函数的周期性和零点，特殊角的正切函数值，属于基础题．15.（填空题，5分）已知，则sin2α=___．【正确答案】：[1]0【解析】：利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简已知等式可得cosα+sinα=-1，两边平方利用二倍角的正弦公式即可求解．

【解答】：解：因为，

所以==-，可得cosα+sinα=-1，

两边平方，可得1+sin2α=1，

则sin2α=0．

故答案为：0．

【点评】：本题考查了二倍角公式以及两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．16.（填空题，5分）半径为R的圆外接于△ABC，且，若R=2，则△ABC面积的最大值为___．【正确答案】：[1]2【解析】：利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得C，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可得S=R2sin（2A−）+R2，最后利用函数y=Asin（ωx+ϕ）的值域计算得结论．

【解答】：解：因为2R（sin2A−sin2C）=（a−b）sinB，

所以由正弦定理得：a2−c2=（a−b）b，

即c2=a2+b2−ab，

所以由余弦定理可得：cosC==，

又C∈（0，π），

故C=．

由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB=2Rsin（−A），

所以S=absinC=R2sinA•sin（−A）

=R2sinA•（cosA+sinA）

=R2[sin2A+（1−cos2A）]

=R2sin（2A−）+R2，

所以当A=时，S最大，Smax=R2．

若R=2，则△ABC面积的最大值为2+．

故答案为：2+．

【点评】：本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，属于中档题．17.（问答题，10分）已知向量，满足，．

（1）若，的夹角为，求；

（2）若，求与的夹角．【正确答案】：

【解析】：（1）由平面向量数量积运算，结合向量模的运算求解即可；

（2）由平面向量数量积运算，结合向量夹角的运算求解即可．

【解答】：解：（1）由，，

又，的夹角为，

则=||||=；

（2）由，

则（），

则，

设与的夹角为θ，

则cos，

又θ∈[0，π]，

则，

即与的夹角为．

【点评】：本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题．18.（问答题，12分）已知函数f（x）=2sinx+cos2x．

（1）求；

（2）求函数f（x）的最值及相应的x值．【正确答案】：

【解析】：（1）直接利用函数的关系式求出函数的值；

（2）利用三角函数关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果．

【解答】：解：（1）函数f（x）=2sinx+cos2x=1-2sin2x+2sinx=，

故f（）=2×=；

（2）当，k∈Z时，ymin==-3；

当或，k∈Z时，．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数的值，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若，且，求sin2θ的值．【正确答案】：

【解析】：（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），进而利用正弦函数的单调性即可求解．

（2）由题意可得sin（2θ+）=＞0，进而可求范围2θ+∈（，π），利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+）的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin2θ的值．

【解答】：解：（1）=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

可得f（x）的单调递增区间为，k∈Z；

（2）若，即2sin（2θ+）=，可得sin（2θ+）=＞0，

又，

所以2θ+∈（，），可得2θ+∈（，π），

所以cos（2θ+）=-=-，

所以sin2θ=sin[（2θ+）-]=sin（2θ+）cos-cos（2θ+）sin=×-（-）×=．

【点评】：本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了计算能力和函数思想，属于基础题．20.（问答题，12分）在①；②acosB=bsinA；③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且________．

（1）求B；

（2）若D为AC的中点，且，，求a、c的值．【正确答案】：

【解析】：（1）若选①，由余弦定理即可得解；

若选②，利用正弦定理将将acosB=bsinA中的边化为角，可求得tanB的值，从而得解；

若选③，结合辅助角公式可推出sin（B+）=1，再由B∈（0，π），即可得解；

（2）在△ABD中，可得c2=2+10-4cos∠ADB，在△BCD中，即a2=10+2-4cos∠CDB，可得a2+c2=24，在△ABC中可得8=a2+c2-ac．求解即可．

【解答】：解：（1）若选①，由余弦定理得，cosB==-，

∵B∈（0，π），∴B=．

若选②，由正弦定理知，===2R，

∵acosB=bsinA，∴sinAcosB=sinBsinA，

又A∈（0，π），∴sinA＞0，∴cosB=sinB，

又B∈（0，π），∴tanB=1，即B=．

若选③，由得，sin（B+）=，

∴sin（B+）=1，

又B∈（0，π），∴B+∈（，），

∴B+=，解得B=．

（2）在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos∠ADB，

即c2=2+10-4cos∠ADB，

在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD•CDcos∠BDC，

即a2=10+2-4cos∠CDB，

∵∠ADB+∠CDB=π，∴cos∠ADB=-cos∠CDB，

∴a2+c2=24，由B=，b=2，得8=a2+c2-ac．∴ac=8，

∴a=4，c=2或a=2，c=4．

【点评】：本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个