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文档简介

第一章数列

数学归纳法

已知

猜想仅通过前几项能得出所有的结果吗？这样得出的猜想一定正确吗？不一定正确

半个世纪后欧拉举出了反例：当n=5时，该数可以拆成两个数的乘积．

从某种意义上说，仅通过前几项不能得出所有的结果，这样得出的猜想未必是正确的．该如何证明这个猜想呢？一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证．但当n较大时，验证起来会很麻烦．尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明．因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立．将多米诺骨牌按一定间距排成一行，怎么做能让骨牌都倒下？可通过动手操作发现将骨牌保持适当的间距，碰倒第一块骨牌，骨牌都会倒下．如果碰倒第一块骨牌，是不是其余的骨牌都将被依次推倒呢？

若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下．因此要让相邻两个骨牌之间保持合适的间距，这个间距要能保证任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下．

所有骨牌都倒下：

（1）第一块骨牌已倒；（2）前一块倒下一定能导致后一块倒下．得到通项公式：

骨牌原理假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去．也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下．这就是骨牌原理．类比骨牌原理，证明问题1中的猜想需要几步？需要分成两步．多米诺骨牌游戏猜想的证明第一步确保第一块已经倒下证明猜想在n=1时成立第二步如果第k块骨牌倒下，那么第k+1块骨牌也能倒下．若n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立．数学归纳法：这种用来证明某些与正整数n有关的数学命题的方法，叫做数学归纳法．

数学归纳法的一般证明过程：所有命题都是从n=1开始成立吗？

第二步中的k是怎样的正整数？k应该是大于或等于n0的正整数，不能把“k≥n0”改成“k＞n0”．数学归纳法适用于怎样的数学问题?数学归纳法用于证明一个与正整数n有关的命题，可以将这个关于正整数n的命题记为P(n)．数学归纳法这两个步骤之间有关系吗？

下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？

证法有错误．n=1时，未证明．

第一步，证明n=1时公式成立：

解：

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