第43讲机械振动简谐运动的基本概念

第43讲：机械振动——简谐运动的基本概念内容：§14－1，§14－2简谐运动 （50分钟）描述简谐运动的物理量 （50分钟要求：——重点与难点：简谐运动的动力学方程和运动学方程；振幅与初相位的确定；作业：问题：P35：1，2，7，8习题：P37：2，5，8，11预习：§14－3，§14－4，§14－5第十四章机械振动引言：1．什么是振动(Vibration)例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。2(MechanicalVibration)机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动。研究机械振动的意义振动具有相同的描述方法。振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，研究机械振动的规律也是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。机械振动的特点有平衡点。5．机械振动的分类按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。按振动位移分：角振动、线振动。按系统参数特征分：线性、非线性振动。简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振动的规律，也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。本章内容有：§14－1 简谐运动§14－2 简谐运动的振幅、周期（频率）与相位§14－3 旋转矢量§14－4 单摆与复摆§14－5 简谐运动的能量§14－6 简谐运动的合成§14－7 阻尼振动、受迫振动、共振1/8§14－1简谐运动SimpleHarmonicVibration在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。一、简谐运动的基本概念：1．弹簧振子：轻质弹簧(质量不计)一端固定，m滑的水平面上。物体所受的阻力忽略OO动系统叫做弹簧振子harmonicOscillato2．弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B→O：点，加速度为零，速度最大；O→C：点，加速度最大，速度为零；C→O：点，加速度为零，速度最大；O→B：点，加速度最大，速度为零。物体在B、C之间来回往复运动。结论：物体作简谐运动的条件：物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置——驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征：1．线性回复力OXm(x即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为f=-kx式中的比例系数k为弹簧的劲度（Stiffnes的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2．动力学方程及其解根据牛顿第二定律，f=ma可得物体的加速度为2/8PAGEPAGE3/8af kxm m对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令km则上式可以改写为a2xd2x即dt2d2或dt2

2x＋2这就是简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动学特征：简谐振动的表达式（运动学方程）简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即xAcos(t)这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ说明：考虑三角函数与复数的关系ei

cosisinxAei(t)复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。、、aaxT>0 <0a<0 <0<0>0>0>0将简谐运动的运动学方程分别对时间求一阶和二阶导数，可得简谐运动的速度和加速度为dx

AAo t-Av Asin(t)dt

d2a 2Atd2dt2

减速 加

减速 加速说明：物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。————采用余弦函数。二、简谐运动的特点：1．从受力角度来看——动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2．从加速度角度来看——运动学特征加速度a2x与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。3．从位移角度来看：xAt)说明：由其中的一个可以推出另外两个；例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。x图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即mg-kl=0 (1)mg在任一位置x处，物体所受的合力为F=mg-k(x+l) (2)比较(1)、(2)可得F=-kx (3)作简谐运动。§14－2简谐运动的振幅、周期和相位Amplitude,PeriodandFrequency，PhaseofSimpleharmonicVibrationx=Acos(ωt+φ)Aωφ的振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。一、振幅A(Amplitude)—反映振动幅度的大小引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围为+A与-A之间。定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);(2)振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。二、周期T(Period)与频率(Frequency)—反映振动的快慢周期Period定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)。xAt)Acos[(tT)]考虑到余弦函数的周期性，有 因而有 T频率Frequency定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位为赫兹(Hz)。1T 圆频率AngularFrequency定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s-1)。22T说明：简谐运动的基本特性是它的周期性；1 k1 kmmkk对于弹簧振子，＝

，

T。简谐运动的表达式可以表示为xAt)Acos(t)Acos(2t)T三、相位(Phase)—反映振动的状态相位x=Acos(t+)幅A和圆频率ωtt+t+是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位。相位是决定谐振子运动状态的重要物理量ωt+φA，ωtva.0～2值对应。例如：t0T/4xAv0At+T/2ATA02初相位在t=0时，相位为φ，称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。对于一个简谐运动来说，开始计时的时刻不同，初始状态就不同，与之对应的初相位就不同，即初相位与时间零点的选择有关。结论：对于一个简谐运动，若A、ωφ即掌握了该运动的全部信息。因此，我们把A、ωφ叫做描述简谐运动的三个特征量。相位差：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差xA1 x A

t)1t)2 2 2相位差 t2

)(t1

) 2 1即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。说明：1）0 21的振动0 21的振动2）2kk， 同相（步调相同）(2k1),k0,1,2,，反相（步调相反）小结：对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。四、积分常数A和φ的确定：简谐运动运动学方程为 x=Acos(t+)Aφ是求解简谐运动的微分方程是引入的，其值有初始条件（即在t=0时物体的位移与速度）0 t=0xv0 x Acos v0

Asin由此可解得v 2 vA＝x2

0 tg 0说明：

0 0一般来说φ的取值在－π和02π)之间；在应用上面的式子求φ该取哪个值；v 2

x AcosA＝x2

0 求然后由 0

两者的共同部分求φ。

0

v sin0例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和φ即可。由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v

＝0，0代入公式可得0.720.020.720.02＝ 6radsm2A x2v0 0.042022

0.04m0 2 62又因为x为正，初速度v＝0，可得00 0因而简谐运动的方程为：x0.04cos(6t)(m)例试根据图中数据写出振动表达式。解：设振动表达式为xAcos(t)由图可见：A=2m，当t=0时，有x 2cos 2 （1）0v sin0 （2）0 由（1）可得