苏州高二上学期期末考试数学试卷-20181107

数学试卷2015-2016学年江苏省苏州市高二上学期期末考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）.若直线经过两点A（1,2）,B（3,4），则的倾斜角为..抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为..已知两条直线/J4x+3y+3=0,12:8x+6y—9=0,则（与12的距离是 ..函数y=sinx的图象在点（九,0）处的切线方程为..一质点的运动方程为S=12+10（位移单位：m；时间单位：S），则该质点在t=3时的瞬时速度为 m/s..若函数f（X）=X3-3x2+a在区间［—1,1］上的最大值是2，则实数a的值为..将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来圆锥的高为..设AABC是等腰三角形，ZABC=120。，则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率是 •.关于异面直线a,b，有下列四个命题：①过直线a有且只有一个平面P，使得b〃0:②过直线a有且只有一个平面P，使得bip；③在空间存在平面P，使得a//p,b〃p；④在空间不存在平面p，使得aip,bip.其中，正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都填上）..在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,2），直线1:x+y-4=0.点B（x,y）是圆C:x2+y2-2x-1=0上的动点，ADi1,BEi1，垂足分别为D,E，则线段DE的最大值是 ..已知三棱锥S-ABC的各个顶点都在一个半径为r的球面上，球心0在AB上，SOi底面ABC,AC=%：2r，则球的体积与三棱锥体积之比是._ __ x2V2.如图，在平面直角坐标系xOV中，F,丹分别是椭圆瓦+言=1(a>b>0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线B?与椭圆的另一个交点为D，若.如图，一根长为2米的竹竿AB斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下端点A从距离墙角O点米的地方移动到43米的地方，则AB的中点D经过的路程.已知函数f(x)=ax—xlna(0<a<1)，若对于任意xe[-1,11，不等式f(x)<e-1(其中e是自然对数的底)恒成立，则实数a的取值范围是 .二、解答题(本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.).(本题满分14分)已知AABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x-v-5=0，边AC上的高BH所在直线的方程为x-2v-5=0.(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC的方程..(本题满分14分)如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PC,AC,AB的中点.已知PA1AC,PA=6,BC=8,DF=5.(1)求证：直线PA〃平面DEF；(2)求证：平面BDE1平面ABC.P.(本题满分14分)某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增颓(万元)与51 1改造投入资金X(万元)之间满足：S=—x2-100x3+X-xln(ax)(1<x<60).当x=10时，s=102.景点新增毛收入f(x)(万元)为门票新增额扣除改造投入资金.(1)求J=f(x)的解析式；f(x)、(2)若将^一定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x(万元)的大小，使得x改造资金的收益率最高，并求出最高收益率.(参考数据：ln5=1.61).(本小题满分16分)如图，圆0:x2+j2=8内有一点P(—1,2),AB是过点P且倾斜角为135。的弦.(1)求弦AB的长；(2)若圆C与圆0内切且与弦AB相切于点P，求圆C的方程..(本小题满分16分)已知A(—2,0),B(2,0)是椭圆C的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A,B的动点，且AAPB面积的最大值为2<3.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)直线AP与过点B关于x轴的垂直交于点D,当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明..(本小题满分16分)已知函数fG)=lnx一a,g(x)=f(x)+ax—6lnx，其中aeR为常数.x(1)当a=1时，试判断f(x)的单调性；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数h(x)=x2—mx+4，当a=2时，若存在qeS』)，对任意的x2e11,2］，总有g(x)>h(x)成立，求实数m的取值范围.1 2苏州市2015-2016学年第一学期期末考试高二数学(附加题).(本小题满分10分)求函数f(x)=ln—+x的最小值.2x+1.(本小题满分10分)求与圆C:x2+y2—4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心M的轨迹方程..(本小题满分10分)如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧棱PA1底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求直线AH与平面EFH所成角的大小；(2)求二面角H—EF—A的大小.24.(本小题满分10分)已知抛物线y=ax2(a丰0)的准线方程为y=—1.(1)求抛物线的方程；(2)设F是抛物线的焦点，直线l:y=kx+b(k丰0)与抛物线相交于A,B两点，记AF,BF的斜率之和为m.求常数m，使得对于任意的实数k（k丰0），直线恒过定点，并求出该定点的坐标.苏州市2015-2016学年第一学期期末考试高二数学答案填空题：本大题共14小题，每小胭5Gl共7。分.请把答案直接填写在管题卡相应位置上..若直线,经过两点4L四国立4,则F的倾斜角为..答■案；三4睡议解法：直线/的斜率K=］，其幅斜角ni前足tan(t=I,且《£依女1所以4=。，一I 42-抛物线y=；。的焦点到其般统的距寓为,答案：1建i文解法；地的镂的标准为程是/=2F，焦点到能线的距离P=L1(-9)-61 15.已知两条直线J-4x+3yI3=(1,切SxI6y-9=0.卿乙'%的距离是1(-9)-61 15建区解法士直线。的方程即为版+W+&=0.两平行宜线，］/间的距鸟W月解：点月解：点m-L)在与线al点p到％的距离a|一6一9| 3.函数J)=sirix的阕象在点(ji,0)处的切线方程为,葬,案：X中尸」N=注建设解法：/=eosjc,当h=jt时，切线的斜率k=eosn=一】.所求的切线方程为y—0=—I(x—st*即；ca_)?—耳=0.—质点的运城方程为3=#:3(位移根位：巾；时间单位：K).则该质点在t=3时的瞬时速度为答窠：6.建设解法：因为口⑴=Sf(c)=2r,所Bu(3)=6.

.若函数fS=/—3,Tq在区间［-LL］上的最大值是2.则实数:口作Hfi为.答案；2.建区解i法1/fU)=3jc2-6jc=3x(x-2),易将汽■在［-1,0］L遨增,在肛I］上递明所以/Wma^=/W=«=2-7,将一个同链沿母统剪开.其侧面展中图是半径为2的半圆.则原来留镌的高为答聚二C建设解法：设惬1排的高为机底面半径为人母线长为f=2,则=旧二几.即r=l所以h—7r—f-=y13.行十I2s.设△<&C是等嗖曲形.上乂PC』JZO\则以A,&为焦点11,过点C行十I2建议解法：不妨设=BC=1,SI'］AC=奉、离心率e==Za9关于异面立线36有下列四个0题；①过直线f，有目.只牟一个平面乱使相匕*公②过比级也由II只有4个平面人使得6L人③在空间存在平面仇使得日#/4由小④在空间不存在平面乩使得/，仇ALfi.其中，正确命题的序号是(把所有正确命题的序号都镇I：X春宴二①③④.建过解法：.在平面直角坐标系工打中，已知点网由直线，:x+y-4=0.点以工对是圆C：x2+/-2x-1=O上的动点、Al^itRE；,垂足分别为地心则线段”£的独大值是,答案：建说解法：圆匚；(X—产十/二人圆心为C(LS.芈杜『二I^C-r弋AC=(L-2)在直段f的方向向量r=Q—1)］J由时影长为d=1|r| =|v5..匕知二校徘S—HE。的各个顶点都在一个半窖为『的球面上，球心口在HE上，段。_1底面从日心AC=则球的体根与〔棱徘体根之比是.案案:4it.世设解法:底面△小目仁内接于球的大恻，所以上小右£=巩心\\,AC=£C=v^-%=声L、/用「="1所5。-产-2JTOC\o"1-5"\h\z12如图，在平面直角坐标系工6/中，巧，外分别是椭圆十法二小~0)2b的左，右焦点,乩c分别为腓1的匚卜顶点,直线日者与岬的另一个 厂交点为心.若如1上F|B(?=则宜线C。的斜率为. (/ \\^~'C\初I义解法：由He-%r=-鼻.得如n•【1)=一〉，所品比巴e二与\o"CurrentDocument"u2 c房 4r本题中、a：Jt：e=S：4：3.答案："坦汉解法:13一如图.一根长为2米的竹竿HJ?斜弟在直角墙量1二假混竹竿在同-W•面内移动，当竹竿的卜端点内从昭离墙狗口点】米的地方移动到v5米的地方,则AB的中点D答案："坦汉解法:点D的路经是：以O为圆心,1为半径的圆弧，圆心角为J弧长为米-

fl tlJ4.已知南敏/(jc)=«v--rIna(O<er<1),若对于任意ie[-L1].不笥式/(a)Wu-1(其中亡是自然对歌的底J恒成立,则无敕w牌取值范围是.所以「-In所以「-Ino-1We春素；砧建议■解法士设求三匕则h⑴=，—］肌「&内回对JW0—|恒成工而M。在会7旬I：先减后乱最大值为协M以现叫…=力⑻.所以1<二］£E,即2w』工】.e几何意兄：tInf=(1,-1)■(i.tnO^(］.-!)■(e^1)恒成立,ill向量数拈枳的意义，由I<-<e.a另解:/国=1In门一lit4=(小一1)Ina.因为。cncl,所应丁⑺在［-1刈匕递减,在n1|上递垠/⑺3=5-1).川»皿i己g⑴二，一】□「，则葭⑴二•1,所以g⑺在EHL速破，在［L+M上递增.中日”一In仃一।这匕一I.得期日")£g(e).即I工口t£e,所以!$口工I.e当一这0式1时.名(^£(-^=-4］4总一】成立.仁 QC算上所述1实数#的取值范围是J,5e再解：考虑%g)=f""r,")=1!.一白-々in人则力⑷白所以也S)在日g上单调递减，力⑷A4⑴=0,所以*_口、△1，，即八乂％眼=八-11=一+lnq

二.解答题；本犬遇共6小题，共讨州分,请在答题卡指定耳域内作答1解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤，.(本心题满分14分)已知△小日仁的顶点4(5.1).边兄EI,一的中线匚M所在直线的方程为次-N-5=0,边MVL的高吕〃所在肯畿的方程为内—砂一5=0.(I)求顶点匚的坐标；⑵求直线BC的方程一解：(I)因为小匚与出H垂直、所以直线网C的-个法向地为匕6直线AC的方程为2M4-5)一朋■l.i=(L即2x+y・II=0. ……4分点U是宜线AC与匚〃的交点一伍—-=Q ,由《 省口4箝_ 了分Izx+y-II=0.⑵由点B在山线日开：了―2-一5三口」，可设B3力十55),则AB的中点"(方+5.”」)在白线匚」恒：2r-v-5=0JTOC\o"1-5"\h\z即加卜】。一-5=(h解得上=-£所LH助-I「牛 】1分因为。匚=1所以直线修乙的方程为了+?=［位+M即&r—5丁—9=0 14分M K?.(本小题满分14分｝如图.在湘镭F-中,Q&F分别是在PC、4C,科方的中点.已知产月上/匚，PA=&,SC=S,DF=±⑴求证；直线尸工产平面DEF；⑵求证：平面吕D£_L平面占EU解；TOC\o"1-5"\h\z⑴在ZiFH匚中，因为D.E分别是FCHC的中瓦所以BE/P4 3分又因为PA©平面CEF、DE仁平面口EF,所以PMf平面DEF . 6分⑵因为f\EF分别是陵PU月CA日的中点.所以0E=3户八=九£F=1^(7=4 8分在△口£¥■中.DE2+Df2=42432=25=新以口E_EF. 10分由“＞知口£/户/，PA1AC,所以口EL/C因为ACCEFME,HUEF匚平面HEC,所以门F_平面力内匚 □分因为DE匚平面£口£所以平间日DEJ.平'画工后匚 14■分J7.（本小题满分14分）票景点为了提高门票收人”需要:进一步改造升翻.经过市场调查，门票新增衡占（万兀）叮改造投入资金H（万元）之间斶足：』=A-x—x出（cjjc）（】4x460X当月=1U时，¥=102.景点新相・毛收入外2（万JL）券口嚷新增颔扣除改造拴人资金.口）求y=的解析式;（2）若将牛定义为投入改造资金的收益率，试确定投入贲金x1万元）的大小，使得改造资金的收益率徐高，并求出最高收益率J零考数据：ln5=L.6J）解二⑴把乂=10时,S=102代人s=J2— +jc-jf]n(心),口分6分9分得IS=旧工一1。口分6分9分所眼力=一需/+x-xln器“w工w附工所以J(xy=5-A=一焉一一工m点(IwTwL5150TOC\o"1-5"\h\z■> 1x5150x--In-■1.01111g(x)=—1111g(x)=—r-工“-Inx+lnl0(15GIOO令“Q=iCL得工二1或工二50.F二日才_5©50x列表如下t1(L30)50（50,和）604-0—7楣大大X「由上表可虬筑5中是报大值一也是最大值.TOC\o"1-5"\h\z虱尤%*=g（5tl）=51—25—In—26—1.61=24.39 13分答：当投入资金507TM时.改造资金的收益率最高，最高收益率为M皿 14分18.(公小题满分16分)如图.,■■；O：.，+_1=区内有一点产LL2),AB"二点Fl=：'l/i；j：:[IN打巾5的腺(I)求弦的长；(2)若阿C与圆。内切且与情A理相切于相R求隔<7的方程，解二⑴ AB所在I,戢的鲫率为愉1]盯三-1.TOC\o"1-5"\h\z直线方程为y—2——(#+I),即m4f—1=。 2分江，口匚」|040—11、/^ 4/.管心距d= - =- - - - -4分收所L乂弦长兑3=2y8-/=V*30- .65t(2)因为吼匚।•潴AJ3相切丁点£所以画心€在直统y二用13上. Vf设圆心为。公门共打 尸Ri、、则半径广=cf="〔£+ 一2>=0|丹)】|_ ..总分八即\\由喇C与同I。内切，得口。二26・小 …1。分-4_--^-\-——卜fill\[(?+(«+3)-=zVz- |a-F11, I '、J解得<?=~~i，虻v=—T5»»--- ।......a 14分\ _/所WilC的方程为(A+1)S+(Jf-|广二I或-¥+5得产吗 年分19..（本小题满分16分）已知川-4町岗[内）是椭圆C的左、右顶点.F是其右焦点।F是椭圆C卜母于4B的动点.“△启F拜面积的最大值为2V3.⑴求椭圆C的方程及离心率；⑵直线A口与一过点g关于.工轴蜘里线交于点口.当直线5P绕点不拈动日二试判断以BD为直径的闹与针线PF的位置柒系.并加以证明一解二TOC\o"1-5"\h\z（1＞由题意.剧媪的最大值为瓜所以□=，g祗从而出三I. 2分fflfj圆C的方程为二・V=1.其离心率「二L - 4分4 3 2⑵IIId）Hl-f（LU）,没以3口为直径的厕的圆心为破垣,阿，则半径r=M，叫工打叫 &分设巴小，小），|1|人田D共续，得2ML州与42}, - - H分宜级F户的方程为 —D—伏]一1）了=。 10分01心血到直线FF的距离3%-5川=学叁空旦.♦一包一尸,4.+虫3]M4ro）| M4-制,, 乃吓Ji2-3用十虫％—iA V（4-^）3所以以fij）为宜荏的圆与仃绘PF总相例 16分说明'口司二」:、r'l.：?VPt：11坨;-向M：n=—（*口—I））的模|n|=|FA*]—a—wh口=2—；工0-20.（本小蓦满分16分）已知函数/00=1口4一处1耳（幻=/立》十［1#—■&In3其中4?eK为常数.x（I）当取三1盹.成判断了在）的单调性；⑵若虱M）在其定义域内为增函数.求实数，的取值旭明：⑶,设函数A（jf）=『-旧三十4*当n=2时.若存存4E（fl,I）,对任意的回e|L2］,总TT>A（x；）成立，求整数团的取值范围，U）、ri口=I时，fg-Inx—J的定义域为（。,4-m）.因为尸年）=1+2->0在定义域上恒成立.X甚上所以〃的=—」自定义球由十⑹I：是单凋瑾增函数 3分JE（2）g00=j.u---5InJt的定义域为（0,-i-m）.y因为S（x>在（0.4«）内是增函数，TOC\o"1-5"\h\z所以-（*）=曾+,―三=阳‘十？一"，口，一心口恒成立一 5货S* 一、目|1（4》—- 《1；x>0f।If也立» ■■■■75）x2+1・4-1 I v 耳由基本不等式.当父=1时.匚匚=x+L的最小值为N所以二^的最大值为不H X 2所以"扭号即实裁口的取值范围是启.4）一 - 9分（蛰首先、由躅意，等价条件为刖町）皿耳及用力扁”- - - I。分书”卜•、/ 2 一小―2）i0=2BT.. =2.x 5lux.gO）= ： ,\o"CurrentDocument"x W易得式或在eJii：递增，i\i}l递减.所以式修）…=烈步=s仆-3 12分由二次函数力（灯的图象如［出力）小心三{人［1）淖（力卜理才……. .一……….一….14分而(8■5In2)■ ™■In2)三■(I-In2)>(K所以得归,8~5In2.-1b分练上所述，实数漕的取值范问是18-5hi2..-1b分2L（本小题满分⑷身）.卡函微门口二In 17的.心小|TLIX4-L解：函数:f（y）=一】帆2上+11”的定义域为（-；.+&） - - - 2分令/Y幻三（1.得，■=］ . . . - 4分列表如下二XT612（^+™）13—0+/CO极小值/由I二表可知.与，=）时.门可取极小值.也是最小值.fj l.n-2rj ■■■■■■■■■UUlBBBBHIBBBBHUIBBBBniaBBBUHBaBBBUIHaBBni■■■■■»XL（本小题满分10分）求与照］＜：f+/-抬=口外切，且与F轴相切的动回阙心M的轨迹方程.解：圆匚；FfF—垢=0的标徐方程为（工―4？+炉一炉，限|jL'为。〔工-口〕।卜工.-- - - - --■■2frTOC\o"1-5"\h\z设动|别的圆心为我伍外卜半径为r,则2十' 4T 5分|x|=r＞0,即V。-2万+F二工十|工|（J¥口：. 6分化简，：导/=4■工+43.1工#。）. 8分即》,二力［工＜0＞或f=8x（x＞01所以动师圆心的轨迹方程为y=。〔，（口）或正二肺（刀上门）一 1023.(本小题满分10分)如图J慨怫P—4BO的底面为五川氏恻核PAL&ABCD.\[PA^AI>=2.E、F.H分别是线段PA.,PD,AB的中点.⑴求「激工”与平面EFII所成角的大小i(2)求二面角H-EF-A的大小.解；以｛4・痛.舒｝为正交