高中数学文化讲座数学社团课程第三讲-中国古代数学课件

陶渊明诗句泛览周王传，留观山海经。俯仰终宇宙，不乐复何如。王国维读书三境界“昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路”（原文选自晏殊的《蝶恋花》），此乃第一境也。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”（原文选自柳永的《蝶恋花》）

，此乃第二境也。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”(原文选自辛弃疾的《青玉案元夕》），此乃第三境也。第三讲中国古代数学中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。分成三个阶段：两汉时期；魏晋南北朝时期；宋元时期。主要数学典籍：《周髀算经》与《九章算术》等古代数学家：刘徽、祖冲之等第三讲中国古代数学1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前170年前后）的竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。

秦始皇陵兵马俑（中国,1983）秦汉时期形成中国传统数学体系中国现存最早的数学书《算数书》(西汉,约公元前170年,1983-1984年间湖北江陵张家山出土)《算数书》《算数书》研究得知，这“本”竹简《算数书》和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。《周髀bì算经》

（髀：量日影的标杆）是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方法。《周髀算经》也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前2、3世纪。李约瑟认为：“最妥善的办法是把《周髀算经》看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”

《周髀算经》

勾股定理的普遍形式

《周髀算经》《周髀算经》(西汉,约公元前100年)

陈子测日法

求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。相似形方法《周髀算经》中的勾股定理周公问商高关于计算的问题，商高答曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”

荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，…”

《周髀算经》中的勾股定理《周髀算经》还记载了商高的用矩之法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。”

九章算术

《九章算术》成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。《九章算术》

(东汉,公元100年)《九章算术》后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对《九章算术》作过注。特别是刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。《九章算术注》是《九章算术》得以流芳百世的重要补充和媒介。

九章算术

对《九章算术》的评价日本数学家小苍金之助把《九章算术》说成是中国的《几何原本》。吴文俊教授也认为，《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的《几何原本》东西辉映，各具特色。1968年德国沃格尔（Vogel）把《九章算术》译成德文出版时加的评论认为：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊而论，所保存的古算题为我们所熟知者，也属于希腊化时代。”

方田《九章算术》《九章算术》

粟米

衰分

少广

商功

均输

盈不足

方程

勾股世界数学古典名著

以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成

第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，38个问题。如：

[一]今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。

[二]又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。

九章算术

九章算术

[五]今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

[六]又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

九章算术

第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至15世纪才出现。第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。

第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。

九章算术之开方术今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。

九章算术

第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。九章算术

第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契的《算经》一书中专门有一章讲“契丹算法”。

九章算术第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在《九章算术注》中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”

方程术例题今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？正负术李文林指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”

国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。

勾股术第九章“勾股”在《周髀算经》中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。

今有池方一丈，葭jiā生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。

术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。

刘徽和祖冲之父子2、中算发展的第二时期：数学稳步发展从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。三国演义(中国，1998）魏晋南北朝时期中国传统数学稳步发展刘徽的数学成就

刘徽的《九章算术注》包含了他本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。若设圆面积为，内接正n边形边长为，面积为则OABCD《九章算术注》公元263年撰《九章算术注》

阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理中国传统数学最具代表性的人物

刘徽(魏晋,公元3世纪)（中国，2002）刘徽的割圆术公元263年撰《九章算术注》。割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”计算圆内接正3072边形求出圆周率为3927/1250即3.1416徽率157/50即3.14

《九章算术注》刘徽的割圆术

《九章算术注》割圆术(24边形)《九章算术注》割圆术(6边形)割圆术(48边形)割圆术(96边形)刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）

《九章算术注》圆周率刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正192=6×25边形，得到“徽率”3.14。

推测祖冲之可能也是沿用了“割圆术”，计算到圆内接正24576=6×212边形，即可得祖冲之的结果。祖冲之(南朝宋、齐,429-500年)刘徽的求积理论刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是“出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证明了《九章算术》中的许多面积公式。刘徽在推证《九章算术》中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马”体积公式便是用极限方法推导出来的，而球体积公式的推导则使用了不可分量方法。

为计算球体积，刘徽提出“牟合方盖”。祖冲之刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展。祖冲之（429－500年），范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之：“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推。”祖冲之(429-500年)（中国，1955）

圆周率计算

球体体积公式《缀术》《缀术》祖冲之祖冲之的著作《缀术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐，魏征主编）的《律历志》中：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，并以355/113（=3.1415929…）为密率，22/7（=3.1428…）为约率。《缀术》《缀术》的另一贡献是祖氏原理：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出，对微积分的建立有重要影响。在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风等人注释并校订了《算经十书》（约656年）。算经十书

出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元656年由李淳风负责编定了算经十书：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《海岛算经》、《五经算术》和《缀术》，后因《缀术》失传，而以《数术记遗》替代。

《算经十书》

公元656《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏候阳算经》、《张邱建算经》、《缀术》、《五曹算经》、《五经算经》、《缉古算经》《算经十书》汉唐千余年间中国数学发展的水平孙子算经

[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。

[物不知数]今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。

孙子歌

明代数学家程大位的《算法统宗》中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”

这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩余定理”。

宋元数学中国古典数学

的全盛时期3、中数发展的第三阶段：宋元数学宋元时期（960-1368）的杰出数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋元四大家”。

宋元时期的数学代表著作有《数书九章》（秦九韶）、《详解九章算法》（杨辉）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鉴》（朱世杰）等

宋元数学社会背景：公元960年，北宋王朝的建立结束了五代十国（907－960年）割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年间（约1041—1048年），毕升活字印刷术的发明，完成了印刷史上一项重大的革命。毕升发明活字印刷术

(约1041—1048年)

促进了数学著作的保存与流传

社会背景印刷术印刷术给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（960—1368年），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。中国传统数学以宋元数学为最高境界。这一时期涌现许多杰出的数学家和先进的数学计算技术，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。算法丰富。贾宪：《黄帝九章算术细草》(1050)

增乘开方法

贾宪三角

开方作法本源图

帕斯卡《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》(1654)帕斯卡(法,1623-1662年)

古法七乘方图算术三角形(利比里亚，（1999)

帕斯卡(法,1623－1662)

(法国,1962)贾宪三角贾宪三角贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被杨辉的《详解九章算法》摘录，因能传世。贾宪发明了“增乘开方法”，是中算史上第一个完整、可推广到任意次方的开方程序，一种非常有效和高度机械化的算法。贾宪三角在此基础上，贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法国数学家帕斯卡（1623－1662年）于1654年发表论文《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》。

隙积术沈括（1030－1094年），北宋钱塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科学家，1080年任延州（今陕西延安市）知州，因1082年的“永乐城（今宁夏银川附近）之战”败于西夏（1032－1227年）而结束政治生涯，经过6年的软禁之苦后，开始赋闲幽居生活。隙积术沈括(北宋,1030-1094年)《梦溪笔谈》(1093)

李约瑟：中国科学史的里程碑

会圆术隙积术

隙积术沈括沈括一生论著极多，其中以《梦溪笔谈》（1093年）影响最大，内容包括数学、天文、历法、地理、物理、化学等领域，被英国著名科学史家李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学的主要成就有两项，会圆术（解决由弦求孤的问题）和隙积术（开创研究高阶等差级数之先河）。天元术李冶（金、元，1192－1279年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。1248年撰成代数名著《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作。天元术李冶(金、元,1192-1279年)

天元术

（一元高次方程）

列方程法

“立天元一为某某”天元术《测圆海镜》(1248)“设x为某某”

李冶的天元术

天元术天元术“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤，负算黑”，李冶感到用笔记录时换色的不便，便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。李冶的天元术列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。大衍术秦九韶（约1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和县）守，1244年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）守孝三年。此间，秦九韶专心致志于研究数学，于1247年完成数学名著《数书九章》，内容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类，其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。大衍总数术

问题：求满足

的最小自然数N。◆设，求乘率使

则总数中国剩余定理秦九韶的算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”。

大衍术秦九韶(南宋,约1202-1261年)

大衍类大衍术《数书九章》(1247)

天时类

田域类

测望类

赋役类

钱谷类

营建类

军旅类

市易类

垛积术杨辉（公元13世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带有名的数学家和数学教育家。杨辉的主要数学著作之一《详解九章算法》（1261年）是为了普及《九章算术》中的数学知识而作，它从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目，进行详解，其中主要的数学贡献是“垛积术”。垛积术杨辉(南宋,公元13世纪)《详解九章算法》(1261)

垛积术垛积术

杨辉三角垛积术垛积术是在沈括“隙积术”的基础上发展起来的，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾宪的工作。四元术朱世杰（约1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和《四元玉鉴》。四元术中国数学自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强，日用数学和商用数学更加普及，南宋时期杨辉可以作为这一倾向的代表，而朱世杰则是这一倾向的继承。《算学启蒙》是一部通俗数学名著