数学转化与化归思想-张书彬

22x11数学转化22x11转化与化归的主要方式：、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题、局部与整体的相互转化，、特殊与一般的转化，、非等价转化，6换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8数与形的转化9相等与不等的转化,10量与变量的转化11实问题与数学语言的转化等1.变量转问题[2014天津卷]f数yf,x，且x.22（1）的范围；（2）证明：2随着a的减小而增大；（3）证明：随a的减小而增大.圆锥曲线中韦达定理你常用的①x；12122x1②,1xxxt③,

.另e

x

x

x

,xx2

ln2

，其中x.2[编题已x，若不等式A.B.m2C.e

x恒成立，mD.e

的取值范围为（

）

xx2012年湖南卷已知函数f

ax

，其.（1）若对一切x，的取值范围；（2）在函数两点Af1

斜率k.问：是否存在x求x的取值范围；若不存在，请说明理由200解析（1）方法一：a，则对一()

这与题设矛盾，a故a.而f

ax

令

110,得.aa11当ln时，f0,f)单调递减；当ln时，f0,f(x)单调递增，故xln时，aa1111f()取最小值.是对一切xR,f(x)恒成立，当且仅当.①aaaa令g(t)lnt,则g

t.时

g(t)调递增；t时g

g(t调递减.故t时gt)取最大g因此，当且仅当

时，①式成立.综上所述，a的取值集合方法二若a则对一切(xax，这与题设矛盾，a.对

，x，不等式恒成立R；当分如下两种情况：ln1x当时，原不等式化为a，令xxx2

，令

xx

，

ln

1

，因.当时，原不等式化

，同上面知gx0

1lim，xx0x.综上知.f(x)f()axaxax（2）由题意知，k(x)fax,xx2212

()1

eaxx21

x)()21

()2

ex2

)(x12

.

令t)

t

，

t

.t时0,(t)调递减；t时F0,(t)单调递增.故t，(t)F(0)e

t

所以

(x)

x)0.因为函数y

(x)在区间是连续不断的一条曲线，所以存在x,x)x)10

eax

0,

1eaxx单调递增，故这样的c是唯一的，且ax)1

.故当1ax且仅当(,x)，faax)1

).2.数最值转化

9t3ln[2014新课标I卷]设函数f(9t3ln

x

lnx

bex

，曲线yf()在(Ⅰ),b；（Ⅱ）证明：f().注意：min

max

fmin

max

.fmin

[2012山东卷]明：g

e

.解析：h

e

H.[2012辽宁卷]明：，

9x

.解法一用x在处的切线放缩，即x

.解法二元法，tx，则原不等式化2lnt

.t23.数问题几何[2014石家庄模拟若实a,c满___________.解析：方由知cyx上，上，令

3x，解得，故最小距离为点到直线x的距离，，因例已知yx，的范围为______.

的最小值为８．

2mkkk[2008四川卷]等差数{}项和为S10S，的最大值是.2mkkkn4练习函数f_________.4.妙增添辅助[1996全国卷]的三个内角AB足：AB,

1cosC

，cos的值.[2002交大]4c，则

1.b练习：知,f,f，若f解析：nloglog(m)，n4

,

,

，整4

k

k

k

，m2，解，.n525.等式中的转（线性划）b[2012苏卷]已知正,满足5caclnbln，则的取值范围为_________.ab关键：blnclnbln.[2007年江苏卷]平面直角坐标系，已知平面区域A面区域BA.2B.1C.

D.练习1.和x之间的带状区域内（含边界2b的最小值为_________.解析：2.已知x,y满，则目标函数z的取值范围为__,2

222211222221126.等式中的转（不等最值）[2011浙江卷]设为数，4x

y

xy，x的最大值是_[2014辽宁卷]c0非零实,b满4

2

abb

2

a|大时，的b最小值为.[2013山东卷]正实数,y,满x

y

.则当取得最大值2时，的最大值为（）xA.0B.1C.

94

D.3xy解析：zx2xyy

2

4x

x4yy

x，当且仅当，即xy取等号此时yzy

(

max

12211212y2(1)(1)xyz2yxyyyy

)2，故选B.练习1.已2

2

2y

x

y

1，则的最大值为________.x42.已2，2a的最大值为_________.1.解析：式两边同时除x，得

11111，,，即22，根据2x42x