人教A对数及对数函热点考题分析

对数及对数函热点考题分析山东省利津县第一中学胡彬257400例1化简下列各式：(1)；(2)．思路分析：这类问题，可以将整个式子运用对数性质统一为一个单一的对数式(可以作的话)进行运算，这样作运算往往比较复杂，也就容易出错．如果分别使用性质，对每一部分先化简或合并同类“项”，可以化简运算并提高运算的准确性．解：(2)＝－1．(4)＝0．例2利用对数恒等式，求的值：思路分析：应用对数恒等式的关键是幂的底数与对数的底数必须相同，当两个底数不一致时，应运用所学的知识，先将其化为“同底”，再用公式计算．解：∵，，∴＝7．例3化简：；思路分析：当式子中的对数式的底数不同时，难以建立相互间的联系，也就无法进行化简，所以一般先使用“换底公式”，化为同一底的对数，或者经过分析，化为互有关联的数为底的对数．在选择需换的底时，应将式子中现有的数均分解为质因数的连乘积，将基本的、相互关联的数选作新的底数．解：．例4已知，，用a、b的代数式表示．思路分析：因为需要表示的目标是对数式，所以已知条件也都化为对数式，“已知与所求均逐步在内容和形式上求同”，是一般解数学题时常用的操作方法．本题涉及3和5两个质因数，可以化为以其中一个为底的对数，可以建立相互间的联系．解：∵∴∴∵∴∵，105＝3×5×7∴＝1＋a＋ab∴．点评思维方向正确，问题总可解出，但不同方法有繁有简，应该分析、实验、探索，尽量使用简捷的解法．例5求函数的定义域：思路分析：复杂函数的自变量允许取值可能受几种限制，自变量必须同时满足这些限制要求时，所涉及的每个概念才都有意义，整个的统一的函数才有意义．因此，必须取所有每个概念限制范围的交集合，才同时满足全部要求，也就是函数的定义域．一般一种限制给出一个不等关系式，所以求复杂函数的定义域，解多个不等式构成的不等式组即可．解：(1)∴或1<x≤5∴函数的定义域是{x|或1<x≤5}．点评考虑各种限制要求要一个个来，不能遗漏；对概念的要求把握要准确，如是否有等号等，因为只要一个值不对，整个定义域就是错的！例6(1)已知，将a、b、c、d四数从小到大排列为_____________________．思路分析：比较两个量大小的具体操作是：①判断量的符号比大小；②同一函数的函数值用函数单调进行比较；③同号的两数可与1或－1比较；④上述方法无效时，作差比较．几个量比较时，需两个量两个量逐次比较．解：(1)∵，∴∵是减函数，是增函数∴，∴b>a>0∵是增函数，是减函数∴，∴c<0，d<0∵，则∴,∴c<－1<d<0,∴c<d<a<b．点评题目要求从小到大排列，别写成从大到小排列！另外有些值可直接计算，如，直接就有．例7若a>0且a≠1，且，则实数a的取值范围是()A．0<a<1B．C．D．或a>1思路分析：既然都是同底对数值的大小比较问题()，可以直接应用对数函数的单调性质进行比较，由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关，所以当底数范围不定时，必须区别底在不同范围，分别讨论求解．解：(1)∵当a>1时，是增函数．∴，联立解得a>1当0<a<1时，是减函数．∴，联立解得∴或a>1时，成立∴选D．点评注意对讨论的条件a>1(或0<a<1)要充分重视，没有这个条件，也就没有(或)这个结论，所以最后总结论必须由两者联立求得结果！例8已知函数．(1)分别求两个函数的定义域；(2)求使的x值；(3)求使的x值的集合．思路分析：函数的定义域是非常重要的概念，只能在定义域的范围内研究有关函数的问题，所以涉及到函数的问题，得到结论后都必须检验，只能保留符合定义域范围的结论；涉及到两个或两个以上的函数的问题，只能保留符合它们定义域的交集合(使对所涉及的函数均有意义)的结论．解：(1)∴函数的定义域是(－2，＋∞)∴函数的定义域是(－∞，)．(2)若即∵函数是单调递增函数∴函数值相等时，自变量值也相等∴2x＋4＝5－3x∵∴使的x的值为．(3)若即∵函数是增函数∴2x＋4>5－3x∵∴∴使的x值的集合是．例9已知函数,(1)求函数的定义域；(2)求证f(x)是奇函数.思路分析：此题所求解的三个问题，都可以依据所涉及的函数的有关概念的定义入手，但在具体实施操作时，都会遇到一定的困难，这时必须灵活运用已掌握的知识巧妙处理，使这三个问题的解法各具特色，源于常规方法又不拘泥于常规方法，为我们提供了处理中学数学的某些问题的方法和技巧．解：(1)∵对x取任何实数时都成立，而∴对x取任何实数时都成立∴对x取一切实数均成立∴函数的定义域是R．点评我们运用了实数的绝对值的简明性质，绕过了目前不会解的不等式而求出定义域，这也说明数学中的概念和性质也是化简数学运算的有效手段．(2)解法一：定义域R关于原点对称，∵∴∴＝－f(x)∴是奇函数．解法二：f(x)＋f(－x)＝lg1＝0∴f(－x)＝－f(x)∴是奇函数．点评奇函数的定义要求：f(－x)＝－f(x)，但在具体应用时，由f(－x)经一系列恒等变换得到－f(x)有时比较