北师大七下数学探索三角形全等的条件导学案

探索三角形全等的条件学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握三角形全等的判定方法.【重点难点】1、三角形全等的判定方法及其应用.知识概览图三角形全等的判定方法三角形全等的判定方法边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）新课导引我们知道每个三角形都有六个基本元素，即三个角和三条边．如果两个三角形全等，那么这六个元素就对应相等．反过来，我们从这六个元素中需要知道几个元素对应相等，就可以判断相应的两个三角形全等呢?要回答这个问题，我们可先试一试，只给一个条件，能作出一个与已知三角形全等的三角形吗?两个呢?三个呢?【点拨】通过尝试可知六个元素中只给一个或两个元素对应相等，不能保证两个三角形全等，(以已知的一条线段为边或一个角为内角可以作无数个三角形；以已知的两条线为边或已知两角或一边一角作三角形不唯一)至少需要知道三个元素才有可能全等．教材精华知识点1三角形全等的判定方法1：边边边(SSS)已知三边画三角形．边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．知识点2三角形全等的判定方法2，3：角边角(ASA)及角角边（AAS）已知两角和它们的夹边、两角和其中一角的对边画三角形．角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或"ASA")．角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．【拓展】这里的“两角夹一边”或“两角及其中一角的对边”对应相等，不能理解为“两角和任意一边”．知识点3三角形全等的判定方法4：边角边(SAS)已知两边及其夹角画三角形．边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或"SAS")．【拓展】这一判定方法反映的是“两边及其夹角”，绝不能认为是“两边和任意一角”．知识点4三角形的稳定性不改变三角形三边的长度，则三角形的形状不会改变，这就是三角形的稳定性．这条性质产生于三条边对应相等的两个三角形全等．它的应用非常广泛，课本中已经举出了一些例子．此外，四边形、五边形等都不具有稳定性．【拓展】两边一角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等．[规律方法小结]1．说明角相等常用的方法：对顶角相等；同角(或等角)的余角(或补角)相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；全等三角形的对应角相等．2．说明线段相等的方法：中点定义；等式性质；全等三角形的对应边相等.课堂检测基础知识应用题1、如图5—57所示，已知AE＝CF，AD∥BC，AD=BC，ΔADF与ΔCBE全等吗?为什么?2、如图5—58所示，四边形ABCD是长方形纸片，冬梅为了便于思考几何中的问题，要把这张纸片分割为两个全等三角形．她想到只要沿对角线AC(或BD)剪开就行了．冬梅的想法正确吗?为什么?综合应用题3、如图5—62所示，直线a∥b，点A，Q分别在a，b上．(1)在a，b上分别取点P，B，使AP＝QB，连接AB与 PQ相交于点O，观察图形，你有什么发现吗?(角的关系不用考虑)(2)设点B在直线b上，O是AB的中点，QO的延长线交a于点P，观察线段PQ与点O的关系，你能发现什么结论?请说明理由．探索与创新题4、问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题(如图5—63所示)：①如图(1)所示，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)所示，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了命题③；③如图(3)所示，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①，②，③三个命题中选择一个进行说明；(2)请你继续完成下面的探索：①如图(4)所示，在正n(n≥3)边形ABCDEF……中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，则当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)?②如图(5)所示，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，结论BM＝CN是否还成立?若成立，请给予说明；若不成立，请说明理由．体验中考1、如图5—67所示，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABC≌ΔADC的是()A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠BCA＝∠DCAD．∠B＝∠D＝90°2、已知线段AC与BD相交于点O，连接AB，DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF(如图5—68所示)．(1)添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，试说明AB=DC；(2)分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③；添加条件①③，以②为结论构成命题1¨添加条件②③，以①为结论构成命题2．试说明命题l是否成立，命题2是否成立，学后反思 解题方法及技巧小结(1)灵活运用三角形全等条件判定三角形全等．在证明两个三角形全等时，要根据已有的条件，选择适当的方法，一般可按下面的思路进行：找夹角→SAS找夹角→SAS找第三边→SSS已知两边边为角的对边→边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边找夹角的另一边→AAS找夹角的另一边→AAS找夹角的另一角→ASA找边的对角→AAS已知一边一角找夹边→ASA找夹边→ASA找其中一角的对边→AAS已知两角(2)对于比较复杂的图形，要善于拆分，学会将复杂的图形简单化．附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、【分析】已知AE＝CF，根据线段的等量减等量差相等，有AE-EF＝CF-EF，即AF＝CE．再加上已知中AD＝BC，现只需说明夹角∠A＝∠C即可，而由AD∥BC便可得到．解：ΔADF≌ΔCBZ．理由如下：因为AD∥BC，所以∠A＝∠C。又因为AE=CF，所以AE＝CE．又因为AD＝BC，所以ΔADF≌ΔCBE(SAS)．【解题策略】解此题的关键是说明“两边的夹角”∠A与∠C相等，再利用“边角边”的判定方法来解决问题．2、【分析】方法1：解此题时要看分得的ΔABC与ΔCDA是否符合“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”的条件．方法2：我们把长方形中比较长的边称为“长”，比较短的边称为“宽”，这是因为长方形中两条较长的边和两条较短的边分别相等，另外，同学们在小学时就已经知道，长方形中的四个角都是直角，这些都是解本题时应该想到的．解法1：正确．因为在长方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，又由AC是ΔABC与ΔCDA的公共边，知ΔABC与ΔCDA的三条边对应相等，从而符合“SSS”，所以这两个三角形是全等的．解法2：正确，因为在长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB与BC边的夹角∠ABC是直角，AD与DC边的夹角∠ADC也是直角，所以ΔABC与ΔADC符合“SAS”，这两个三角形是全等的．【解题策略】解数学题应该联想有关知识，解几何题，既应该从要求的(或要说明的)展开联想，又应该从已知条件展开联想．如果联想到的知识少，就可能导致解不出题来，上面给出了两种解法，与联想到比较多的知识是分不开的．3、【分析】(1)图中相等的角比较多，又有AP＝QB，猜想ΔAOP与ΔBOQ很可能全等，若确实全等，则还有线段间的相等关系存在．(2)与(1)的情况类似，首先应该由a与b的平行关系想到有相等的角．解：(1)ΔAOB≌ΔBOQ，AO＝BO，PO＝QO，即线段AB与PQ互相平分．(2)PO＝QO．理由如下：由于a∥b，所以∠PAB=∠ABQ．由对顶角相等知，∠AOP＝∠BOQ．又由O是AB的中点知，AO＝BO。在ΔAOP中，AO是∠PAO与∠AOP所夹的边，在ΔBOQ中，BO是∠QBO与∠BOQ所夹的边，恰好符合“ASA”，所以ΔAOP≌ΔBOQ．由全等三角形的对应边相等知，PO＝QO．【解题策略】(1)本题与例4类似，也是在观察的基础上形成猜想，观察与猜想对发现数学规律、探索解题方法等都有非常重要的作用．(2)此题的解答过程是本学期第二章与本章知识的综合运用．4、【分析】开发探究能力，积极思索．解：(1)①如图5—64所示，在图(1)中，因为∠BON＝60°，所以∠1+∠2＝60°．因为∠3+∠2＝60°，所以∠1＝∠3．又因为BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，所以ΔBCM≌ΔCAN，所以BM＝CN．②在图(2)中，因为∠BON＝90°，所以∠l+∠2＝90°．因为∠3+∠2＝90°，所以∠1＝∠3．又因为BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，所以ΔBCM≌ΔCDN，所以BM＝CN．③在图(3)中，因为∠BON＝108°，所以∠l+∠2＝108°．因为∠2+∠3＝108°，所以∠1＝∠3．又因为BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，所以ΔBCA≌ΔCDN，所以BM＝CN．(2)①在图(4)中，当∠BON＝时，结论BM＝CN成立．②当∠BON＝108°时，BM＝CN还成立．理由如下：在图(5)中，连接BD，CE．在ΔBCD和ΔCDE中，因为BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，所以ΔBCD≌ΔCDE，所以BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．因为∠CDE＝∠DEN＝108°，所以∠BDM＝∠CEN．因为∠MBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠NCD＝108°，所以∠MBC＝∠NCD.又因为∠DBC＝∠ECD，所以∠DBM=∠ECN．在ΔBDM和ΔCEN中，BD＝CE，∠DBM＝∠ECN，∠CEN＝∠BDM，所以ΔBDM≌ΔCEN，所以BM=CN．【解题策略】认真观察图形、加强分析与探索是解本题的关键体验中考1、【分析】若添加A中的条件，为SSS；添加B中的条件为SAS；添加D中的条件为HL(第7节学习)．均可判定ΔABC≌ΔADC，而添加C中的条件，则为SSA，无法判定两三角形全等，故选C．2、解：(1)因为∠OE