北师大版2022高考总复习数学理考点演练离散型随机变量及其分布

第七节离散型随机变量及其分布1.设随机变量X的分布列由P(X＝i)＝c·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))i确定，i＝1,2,3，则c的值为()A.eq\f(17,38)B.eq\f(27,38)C.eq\f(17,19)D.eq\f(27,19)2.设随机变量X等可能地取1,2,3，…，n，若P(X<4)＝，则n的值为()A.3B.4C.103.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)4.(创新题)设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列中的一组数是()A.0,0,0,1,0B.,,,C.P,1－P(P为实数)D.eq\f(1,1·2)，eq\f(1,2·3)，…，eq\f(1,n－1·n)，eq\f(1,n)(n≥2，n∈N*)5.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()A.P(X＝2)B.P(X≤2)C.P(X＝4)D.P(X≤4)6.设随机变量X的分布列如下表所示.X012Peq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,2)则函数F(x)＝P(X≤x)(x∈R)的解析式为()A.F(x)＝P(X≤x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0x<0,10≤x<1,21≤x<2,3x≥2))B.F(x)＝P(X≤x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0x<0,30≤x<1,21≤x<2,1x≥2))C.F(x)＝P(X≤x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0x<0,\f(1,3)0≤x<1,\f(1,2)1≤x<2,1x≥2))D.F(x)＝P(X≤x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0x<0,\f(1,6)0≤x<1,\f(1,3)1≤x<2,\f(1,2)x≥2))7.随机变量X的分布列如下表所示：X－202Paeq\f(1,3)c则P(|X|＝2)＝________.8.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X个红球，把随机变量X的概率分布补充完整.X012P____________9.设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝________.10.已知随机变量X的分布列为X－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(3,12)eq\f(4,12)eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(1,12)若P(X2<x)＝eq\f(11,12)，则实数x的取值范围是________．11.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列．12.(2022·北京)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为eq\f(4,5)，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记X为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为X0123Peq\f(6,125)abeq\f(24,125)(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(X)．

第七节离散型随机变量及其分布1.解析：由分布列的性质得：ceq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3))＝1，∴c＝eq\f(27,38).答案：B2.解析：“X<4”的含义为X＝1,2,3.∴P(X<4)＝eq\f(3,n)＝，∴n＝10.答案：C3.解析：由题意知，X服从二点分布，成功率为eq\f(2,3)，∴P(X＝0)＝eq\f(1,3)，故选C.答案：C4.解析：A、B显然满足性质，适合．D中，eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,n－1·n)＋eq\f(1,n)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝1.又eq\f(1,n－1n)∈(0,1)且eq\f(1,n)∈(0,1)，n∈N*，满足分布列性质．C中，由于P为实数，不妨取P＝3，显然1－P＝－2<0不满足非负性，故C不适合．答案：C5.解析：X服从超几何分布，P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(10－k,8),C\o\al(10,15))，故k＝4.答案：C6.解析：根据分布列的性质及P(X≤x)的含义，可知，当x<0时，P(X≤x)＝0，当0≤x<1时，P(X≤x)＝P(X＝0)＝eq\f(1,3)，当1≤x<2时，P(X≤x)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，当x≥2时，P(X≤x)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＋P(x＝2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝1.答案：C7.解析：∵a＋eq\f(1,3)＋c＝1，∴a＋c＝eq\f(2,3)，∴P(|X|＝2)＝a＋c＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8.解析：X服从超几何分布P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)＝，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝.答案：9.解析：由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，知m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)10.解析：若P(X2<x)＝eq\f(11,12)，则X要取遍0，±1，±2各个值．当x≤4时，X2≤3，X取不到±2；当x>9时，X2≤9，X取到3.均与已知矛盾，∴4<x≤9.答案：(4,9]11.解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为Ceq\o\al(2,50)＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350.故2人使用版本相同的概率为P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)∵P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)·C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119).∴X的分布列为X012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)12.解析：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题意知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“X＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(X＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由题意知P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)(1－p)(1－q)＝eq\f(6,125)，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)pq＝eq\f(24,125).整理得pq＝eq\f(6,25)，p＋q＝1.由p>q，可得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(2,5).(3)由题意知a＝P(X＝1)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2