北师大八上数学探索多边形的内角和与外角和导学案

探索多边形的内角和与外角和学习目标、重点、难点【学习目标】多边形的定义及内角和公式的推导．【重点难点】多边形的内角和．多边形的内角和的公式推导．知识概览图多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)·180°多边形外角和：多边形的外角和都等于360°新课导引【问题链接】我们常见到如图(1)(2)所示那样图案的地面，它们分别是用正方形和正六边形形状的地砖铺成的，这样的地砖能铺成平整、无空隙的地面．铺像这样的地面，能否全用正五边形地砖呢?教材精华知识点1多边形的有关概念在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形．如图4－119所示的是一个多边形，一个多边形有几条边就叫几边形，如：有三条边叫三边形(三角形)，有四条边叫四边形，有n条边就叫n边形．在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．多边形的边、顶点、内角、内角和、外角、外角和的含义都与三角形的相同．拓展本书中所研究的多边形都是凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧，如图4－120(1)所示．如果一个多边形不都在任何一条边所在直线的同一侧，那么这个多边形不是凸多边形，如图4－120(2)所示．知识点2多边形的内角和公式n边形的内角和等于(n－2)·180°，其中n≥3，且为正整数．多边形的内角和与它的边数有关．拓展三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°．从图4－121中可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和等于3个三角形的内角和的和，同理，六边形、七边形的内角和分别等于4个和5个三角形的内角和的和．三角形的内角和＝180°=(3－2)×180°．四边形的内角和＝2×180°＝(4－2)×180°．五边形的内角和＝3×180°＝(5－2)×180°．六边形的内角和＝4×180°＝(6—2)×180°．七边形的内角和＝5×180°＝(7—2)×180°．由此我们可得n边形的内角和公式：n边形的内角和＝(n－2)·180°．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形．如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形等，如图4－122所示．拓展正n边形的每一个内角＝．知识点3多边形的外角及外角和多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．如图4－123所示，∠1和∠α都是多边形的外角，这说明多边形的一个顶点处有两个外角，这两个外角都和与其有公共顶点的内角互补，即∠1＋∠β＝180°，∠α＋∠β＝180°．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．如∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是此五边形的外角和．多边形的外角和都等于360°，多边形的外角和是一个定值，与它的边数无关．拓展(1)在n边形的每个顶点处有两个外角，它们构成对顶角，n边形有2n个外角，但在计算外角和时，每个顶点处只取一个外角，并不是把所有外角都加起来．(2)任意多边形的外角和都为360°．理由如下：多边形的每一个外角都与和它相邻的内角互补，所以内角和与外角和之和为n·180°，所以可得多边形(n边形)的外角和＝n·180°一多边形(n边形)内角和＝n·180°－(n－2)·180°＝[n一(n－2)]·180°＝2×180°＝360°．规律方法小结类比思想：多边形的许多知识，如边、角、顶点、对角线等都与三角形、四边形的类似．转化思想：边数大于3的多边形问题常转化为三角形问题求解．课堂检测基础知识应用题1、一个正多边形的一个内角为120°，你知道它是几边形呢?2、一个正多边形的内角比相邻外角大90°，求这个正多边形的边数．综合应用题3、一个正多边形的边数正好是从一个顶点出发引对角线条数的2倍，求它的边数及内角．4、一个多边形的内角和等于外角和，求这个多边形的边数．探索创新题5、已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，求这个多边形的边数．体验中考1、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是()A．10B．9C．8D．62、若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是()A．5B．6C．7D．8学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析正多边形的每个内角都相等．解：设这个正多边形为n边形，则(n－2)·180°＝120°·n.解得n＝6．答：这个正多边形是六边形．2、分析正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出一个外角的度数，就可知是几边形了．解：设正多边形的一个外角为x度，则内角为(x＋90)度．∵多边形的内角与相邻的外角互补，∴x＋x＋90＝180．解得x＝45，360°÷45°＝8．答：这个正多边形的边数为8．【解题策略】多边形的外角和等于360°，与边数无关．所以我们常常把多边形内角的问题转化为外角问题来处理．3、分析本题涉及本节的很多知识点，是本节知识的综合．可设边数为n，按照从一个顶点出发可引(n－3)条对角线列方程，从而求得边数n，再由内角和公式求出内角度数．解：设它的边数为n，则有2(n－3)＝n，解得n＝6．所以内角和为(6－2)×180°＝720°．又因为它是正六边形，故每个内角相等，所以每个内角度数均为＝120°．所以它的边数为6，每个内角度数为120°．【解题策略】本题我们还可以通过外角来求．因为正六边形每个外角都相等，所以它的外角大小为＝60°，所以内角大小为180°－60°＝120°．从这个解法我们可以发现，在有关多边形，特别是正多边形中，有关角的计算问题往往利用外角计算简便一些；4、分斩此题是多边形内角和与外角和的综合运用题．解：设这个多边形边数为n，则(n－2)·180°＝360°，解得n＝4．答：这个多边形是四边形．5、分析多边形的边数应为正整数，解答本题要善于寻找隐含条件，多边形的内角小于180°是解题的关键．解：设多边形的边数为n，一个内角为x°，∴(n－2)·180－x＝2750，解得x＝(n－2)·180－2750．∵0＜x＜180，∴0＜(n－2)·180－2750＜180，∴17＜n＜18，∴n取18