2009级一元微积分期末考题答案_第1页
2009级一元微积分期末考题答案_第2页
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文档简介

答一．填空题（每空3分，共15空（请将答案直接填写在横线上lnln

dx

1x

ln|1x|lnx 1cos2

1arctan2222

tanxarctanxdxx xarctan

dxx

1

xf(x)dxarctanxC，则1dx f2

x4C4C 2

(1x)cos1sin2

dx 2dx2t dx

edt 2xex4tf(xf(0)0F(x)xt

f

x0F(xxk0无穷小，则k 将(x3)2y21绕y轴转一圈，则所得图形围成的体积为 答案：62设m0，且广义积分 收敛，则m的范围为x xmxm n幂级数2n(5)n的收敛域n(5,(1)nsin级数n

n条件收敛，则参数p的范围 np1p

0

xet2dt0

x，xy'exexy，的通解

1

exxdy(x2y)dx0满足y(1)0的解 yxxy2xy2初值问题y(0)1,y(0)0的解 y二．计算题（每题10分，共40分 p的范围，使得1sinxlnpx

sinxlnpx1sinxlnpx

sinxlnpxx1附近，sin 1~11 ，所以仅当2p0时

pxlnpp

x(x

xlnp 5 x,sinxlnpx~xlnpxp成立,所以只需要考虑广义积分

xlnp

lna 的收敛性。因为

xlnpxln2upp1时广义积分

xlnpxdx收敛

5 xlnp计算摆线xtsint,y1 t[0,2]，绕x轴旋转体的体积和表面积V2y2dx2(1cost)3dt2(13cost3cos2tcos3t)dt5

5 t S2 yx2y2dt2(1cost)22costdt8 dt 5(1)n求级数n

2 (1)n

1S(x)n

，则

S 2n

Sn2xn

xSdxnxn 3 n1xSdx

0

nxSdxdxxn xx0

n

0x0

n

1

3 1xSdx xSdx x0

0

(1S(x)x

1x,(1x)3

S(x)x(1x)(1)nn2 1

S

4n 设f(xC(0,)，且对任意x0xf(tx)dt2f(t)dtxf(xx4 f(1)0f(x00解：令utx，则原方程可化为xf(u)du2xf(t)dtxf(x)00f(x)2f(xf(xxf(x4x3从而得一阶线性ODE，f(x)2f(x)4x2 5xf(xx2C4x)f(1)0，得C所以f(x)x2(44x) 5三．证明 1.（8）y

fx)xlnx(n1n1fxyf(xxyyxexlimy(00xlnx的定义域为

,

n0(n1)(n所以函数f(x)的定义域为 2fxy1lnx

(nn0(n1)(nxyxxlnx

(n2)xn2n0(n1)(nxyyx

(n2)xn2

n0(n1)(n n0(n1)(n xn xx(n1)!xx(1)1n!x

4 limyxlimxlnxlim

2

x0n0(n1)(n2（71f(x)dx21f(x)3 证明：记(x0f(t)dt0f(t)

(x)2f

0f

f(x)f

f(t)dtx0x

2记(x2xf(t)dtf2 (x)2f(x)1f

2f(x在[0,1f(000f(x

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