函数的定义域值域及其性质

关于函数的定义域值域及其性质第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期日一.函数的定义域和值域二.函数的一些主要性质

第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期日函数的定义域和值域作用：定义域是研究函数的基础，在讨论函数的性质、作图、解方程和不等式、构造复合函数等问题中都起着重要的作用。定义：函数的定义域就是使函数式有意义的实数x的集合，而函数的值域就是在函数中，与自变量x的值对应的y值的集合。定义域第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期日确定定义域的原则（1）当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中表示自变量的实数的集合；（2）当函数用图像给出时，函数定义与食指图像在x轴上的投影所覆盖的实数集合；（3）当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；（4）当函数有实际问题给出时，函数定义域是由实际问题的一一确定。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期日确定初等函数定义域的依据（1）若f（x）是整式，则定义域为全体实数；（2）若f（x）是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；（3）若f（x）是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；（4）函数的定义域是（-∞，0）∪（0，﹢∞）。某些复合函数的定义域的确定原则第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期日值域定义：在函数y=f（x）中，与自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。确定函数值域的原则：（1）当函数y=f（x）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y=f（x）用图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；（3）当函数y=f（x）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期日求函数值域的常用方法①图像法②配方法③反函数法④判别式法⑤换元法⑧求导法⑨数形结合法⑦单调性法⑥不等式法第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期日①图像法：通过画出函数的图像从而得出函数的值域。例1.

求函数的值域。第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期日例2：求函数的值域。②配方法：是求“二次型函数”值域的基本方法，形如的函数值域问题，均可用配方法。第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期日③反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。例3：求函数的值域。第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期日④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）=0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域。形如的函数值域常用此方法求解。前提条件：（1）函数的定义域为R，（2）分子分母没有公因式。第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期日例4：求函数的值域。第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期日

⑤换元法：运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求的原函数的值域，形如的函数常用此法求解。例5：求下列函数的值域。第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期日第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期日⑥不等式法：利用基本不等式：求函数的值域。用此法时要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。例6:求函数的值域。第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期日⑦单调性法：根据函数在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性求出函数值域。例7：求函数的值域。第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期日⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值。例8：函数在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别（）。A1，-1B1，-17C3，-17D9，-19第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期日⑨数形结合法：当一个函数图象可做时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域。例9：求函数的值域。第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期日第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期日函数的一些主要性质①单调性②最大（小）值③奇偶性④周期性第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期日

单调性：给定区间D上的函数f（x），若对于任意的则f（x）为区间D上的增函数。对于任意的则f（x）为区间D上的减函数。证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明。（1）利用定义：①任取②做差并适当变形③依据差式的符号确定其增减性。（2）设函数y=f（x）在某区间内可导。如果，则f（x）为增函数，如果，则f（x）为减函数。第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期日单调性的有关结论：1.若f（x），g（x）均为增（减）函数，则f（x）+g（x）为增（减）函数。2.若f（x）为增（减）函数，则-f（x）为减（增）函数。3.互为反函数的两个函数有相同的单调性。4.y=f[g（x）]是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单调性相同，则其复合函数f[g（x）]为增函数；若f（x）与g（x）的单调性相反，则其复合函数f[g（x）]为减函数。5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期日函数单调性的应用：（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小。（2）求某些函数的值域或最值。（3）解证不等式。（4）作函数图象第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期日例1：讨论函数的单调性。第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期日2.当f(x)的表达式为多项式，分式，根式，对数式…时，适合作差比较，作差后多项式合并同次项，分式同分，根式有理化，对数式运用运算法则等；f(x)是指数式，积式等有时作商比较。注意：第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期日最大（小）值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);②存在∈I,使得f()=M。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大（或小）值。求法：（1）配方法（2）判别式法（3）基本不等式法（4）换元法（5）数形结合法（6）单调性法第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期日奇偶性一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,那么函数f(x)叫做奇(偶)函数。注意：①奇函数的图像关于原点对称；②偶函数的图像关于y轴对称。如果f(x)是定义域D上的奇函数，那么任意x∈D,f(-x)=-f(x)恒成立，如果f(x)是定义域D上的偶函数，那么任意x∈D，f(-x)=f(x)恒成立。其中定义域D一定是关于原点对称的。③分类：奇函数，偶函数，既奇又偶，非奇非偶④常见结论：Ⅰ.两个奇（偶）函数的代数和仍是奇（偶）函数；Ⅱ.两个奇（偶）函数的积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期日Ⅲ.如果奇函数的反函数存在，且定义在对称与原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数；Ⅳ.奇（偶）函数的倒数函数（分母不为零）仍为奇（偶）函数；Ⅴ.设函数y=f[g（x）]是函数y=f（u）和u=g（x）的复合函数，定义在对称与原点的数集S上，㈠若g（x）是奇函数，则当f（u）是奇（偶）函数时，复合函数y=f[g（x）]是奇（偶）函数；㈡若g（x）是偶函数，则不论f（u）是奇或偶函数，复合函数y=f[g（x）]是偶函数。第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期日例2.已知函数y=f（x）是奇函数，y=g（x）是偶函数，且对于定义域内的任一x都有f（x）-g（x）=，求f（x）与g（x）的解析式。解：用-x代替x得，f（-x）-g（-x）=因为y=f（x）是奇函数，y=g（x）是偶函数，所以f（x）+g（x）=它与f（x）-g（x）=联立得，f（x）=-2x，g（x）=解析：方程的思想—运用方程观点看问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的。第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期日周期性：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫做周期函数。T叫做这个函数的周期。kT（k∈Z,k≠0）也是f(x)的周期，即有f(x+kT)=f(x)。例3.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）求f（2008）。分析：由f（-x）=-f（x）及f（x+2）=-f（x）可得周期。第三十页，共三十二页，编辑于2023年，星期日解