2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才高二（普通班）上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省滁州市定远县育才高二（普通班）上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知：函数为增函数，，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：先通过指数函数的单调性、不等式恒成立问题化简两个命题对应的数集，再利用数集间的包含关系进行判定．详解：若函数为增函数，则，即，；若，，则，即，；显然，是的充分不必要条件.故选A．点睛：本题考查指数函数的单调性、全称命题、简单的逻辑连接词、充分条件和必要条件等知识，意在考查学生的逻辑推理能力和基本运算能力．2．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“，”的否定是“，”C．命题“若，则”的逆否命题为假命题D．命题“若，则”的逆命题为假命题【答案】D【解析】根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得结论.【详解】A.命题“若，则”的否命题为“若，则”，故A错误；B.命题“，”的否定是“，”，故B错误；C.命题“若，则”为真命题，故它的逆否命题为真，故C错误；D.命题“若，则”的逆命题为“若，则”，当时，成立，故为假命题.故选：D【点睛】本题考查了四种命题的定义以及命题真假之间的关系，考查了学生逻辑推理，概念理解能力，属于基础题.3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.4．已知双曲线的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则的面积为()A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由双曲线的定义可得，联立可求出的长，进而可求三角形的面积.【详解】由双曲线的定义可得，又，两式联立得：，，又，所以，即为直角三角形，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，双曲线的焦点三角形问题，一般需要借助抛物线的性质，结合题中条件来处理，难度不大.5．是抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为始边，为终边的角为，且，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】过作轴和准线的垂线，根据抛物线定义列方程可求出p的值.【详解】过作轴的垂线MN，N为垂足，过M向抛物线的准线作垂线，垂足为A，则故选：B【点睛】本题考查抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.7．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为()A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D．8．已知函数，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由求导公式可知【考点】函数求导数9．已知函数f(x)＝lnx，且f(x)的导数是f′(x)．若a＝f(7)，b＝f′，c＝f′，则a，b，c的大小关系是()A．c＜b＜a B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．b＜a＜c【答案】B【解析】求出的导数再代值求解即可.【详解】，即.又，则，故.【点睛】本题考查求导运算的简单运用以及代值比较函数值的大小.属简单题.10．已知（为常数）在区间上有最大值，那么此函数在上的最小值是（）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【解析】f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．当－2<x<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－2,0)上为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上为减函数，f(0)为极大值且f(0)＝m，∴f(x)max＝m＝3，此时f(2)＝－5，f(－2)＝－37.∴f(x)在[－2,2]上的最小值为－37.11．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A． B．rC．r D．r【答案】D【解析】设，则上底为，高为，因此梯形面积为因为由，得，根据实际意义得时，梯形面积取最大值，此时上底为，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.12．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数【答案】A【解析】计算导函数，根据导数的正负，判定原函数单调性，即可。【详解】,结合x的定义域可知，故为增函数，所以选A。【点睛】本道题考查了导函数与原函数的单调性之间的关系，关键得到，即可，属于较容易的题。二、填空题13．命题“至少有一个正实数满足方程”的否定是________________.【答案】，【解析】由特称命题的否定是全称命题，即得解.【详解】由特称命题的否定是全称命题，命题“至少有一个正实数满足方程”的否定是:，故答案为：，【点睛】本题考查了特称命题的否定是全称命题，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.14．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________.【答案】【解析】与椭圆两个焦点有关的问题，一般以回归定义求解为上策，抓住△PF1F2为直角三角形建立等式关系．【详解】∵△POF2是面积为的正三角形，∴S=|PF2|2=，|PF2|=2．∴c=2，∵△PF1F2为直角三角形，∴a=，所以.故答案为．【点睛】本题考查了椭圆的基本量，关键是抓住图形特征建立等式关系．15．双曲线的一个焦点是，那么实数的值为________.【答案】【解析】写出双曲线的标准方程：，及，可得，即得解.【详解】双曲线方程为：即：又故答案为：-1【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，考查了学生概念理解，转化划归的能力，属于基础题.16．直线与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为．【答案】【解析】【详解】试题分析：由得，∴，即，∴．【考点】抛物线的定义、抛物线与直线相交问题点评：解决抛物线中与直线相交的问题时，一般先联立方程组，化简出一元二次方程，再利用韦达定理解决．三、解答题17．已知：；：．（1）若是的必要条件，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可．（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即P：﹣2≤x≤10，又q：1﹣m2≤x≤1+m2．（1）若p是q的必要条件，则，即，即m2≤3，解得，即m的取值范围是．（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，即m2≥9，解得m≥3或m≤﹣3即m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．18．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.【详解】解：(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．直线AB的方程为．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.∴，.∴(2)直线AB的方程变形为.∴原点O到直线AB的距离为.∴.【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.19．已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；【答案】（1）当,减区间为，当时,递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）求导,利用导数得出函数单调性；（2）对进行分类:当时,递减,又知可得；当时,只需求,让最大值小于等于零即可.试题解析：（1），当时，，减区间为当时，由得，由得递增区间为，递减区间为.（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且在上递减，在上递增，，故.【考点】导数的应用.20．已知函数（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点的坐标；（3）如果曲线的某一切与直线垂直，求切点坐标和切线方程。【答案】解：（1）（2）（3）【解析】略21．如图，椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）由，结合即得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，设，，用点坐标表示，韦达定理代入即得解.【详解】（1）由题设知，，结合，解得.所以椭圆的方程为.（2）由题设知，直线的方程为，代入，得.由已知，设，，，则，，从而直线的斜率之和.所以直线斜率之和为定值2.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.22．已知函数，直线．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）极小值，无极大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出函数定义域再求导，得令，解得的值，画出当变化时，与的变化情况表所示，可得函数的单调区间，从而得到函数有极小值，无极大值（Ⅱ）对于是否存在问题，先假设存在某个，使得直线与曲线相切，先设出切点，再求，求得切线满足斜率，又由于过点，可得方程显然无解，所以假设不成立．所以对于任意，直线都不是曲线的切线.（Ⅲ）写出“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.由分离系数法得，令，得，其中，且.考察函数，其中，求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证试题解析：函数定义域为，求导，得，令，解得．当变化时，与的变化情况如下表所示：所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，所以函数有极小值，无极大值