2020-2021学年四川省成都市高一上学期期末考试数学试题Word版含解析924

一、单选题x1(,1][3,)C．Ax|x2xxxCAx|x3[3,)B本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.xxA．B．C．D．【答案】Befx的定义域为(,0)(0,)，排除选项A；xx【解析】函数(x1)exfx0，且f'xx0,1时，函数单调递减，当x1,，故当时，x2函数单调递增，排除选项C；eBB当时，函数fxx0，排除选项D，选项正确．选．x0x点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．ab3．已知=21.3，=40.7，=clog8，则，，的大小关系为（）abc3acbA．B．bcaC．cabD．cba【答案】Cxylogx的性abc质即可比较，，的大小．3【解析】利用指数函数与对数函数y2【详解】clog82a21.3b40.721.4，3cab．故选：C．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为48A．3B．3C．8D．4【解析】112224，故选B．3该几何体中图中粗线部分，体积为V32CA55．已知，RtABC，，，为△外接圆上的一动点，且ABCAPxAByAC，BC4AB3P则xy的最大值是（）54517A．4B．3C．6D．3【答案】B【解析】以的中点为原点，以为ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设的坐标ACP55为cos,sin，求出点,,的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到ABC22xy5sin12，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.6【详解】解：以的中点为原点，以为ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AC5xy()则△外接圆的方程为，ABC222255设的坐标为Pcos,sin，22过点作BD垂直x轴，B4∵，sinAAB35BDABsinA，ADABcosA33912∴，555∴ODAOAD597，2510∴B∵A52,0，5C,02AC5,0912∴AB,，APcos5,5sin5，55222∵APxAByAC12y5,0x5y,x5559129∴cos,sinx,2225555∴5259x5y，512cossinx，252513sin125，xsin24∴ycos，282sin∴xy1cos223sin15261，其中sin，cos34，525514，6231时，xy有最大值，最大值为当sin故选：B．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．6．将函数f(x)sin2x向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质（）4(0,)A．在上单调递增，为偶函数431，图象关于直线对称x4B．最大值为388C．在,)上单调递增，为奇函数(3(,0)D．周期为，图象关于点对称8【答案】A【解析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【详解】将函数（）（）cos2x的图fxsin2x的图象向右平移个单位后得到函数44象，故当x∈0,时，2x∈0,，故函数g（x）在0,上单调递增，为偶函数，424故选A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何?”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步?”请问乙走的步数是（）．915B．221C．249D．2A．2【答案】C【解析】设甲和乙相遇时间为x，那么甲和乙走过的路程构成直角三角形，有3x21027x10x0，解得（舍）或x3.5x3.533.510.5，当时，乙走了步，273.524.5甲走了步，故选C.1fx3R8．已知定义在上的函数fx满足，且yfx3为偶函数，若在fxfx0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）f3.5＜f4.5＜f12.5B．A．f4.5f3.5f12.5＜＜f3.5＜f12.5＜f4.5D．f12.5f3.5f4.5＜＜C．【答案】B【解析】由题意可判断函数（）的周期为6，对称轴为＝3，所以有（12.5）＝（0.5），fxxfffff（-4.5）＝（1.5），（3.5）＝（2.5），因为0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且函数在（0，3）f内单调递减，从而判断大小【详解】111f（）x，fx3，∴fx6fx3=fx∵函数fx满足1fxfxff∴（）在R上是以6为周期的函数，∴（12.5）＝（12+0.5）＝（0.5），ff4.5f4.56f1.5又yfx3为偶函数，∴（）的对称轴为＝3，∴（3.5）＝（2.5），fxxff又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且fx在（0，3）内单调递减，∴（2.5）＜（fff1.5）＜（0.5）ff即（3.5）＜（f-4.5）＜（12.5）B故选．【点睛】本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题．9．已知命题p:对任意，总有；xR20xq:"x1"是"x2"的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（）pqA．B．pqpqC．pqD．【答案】Dp是真命题，是假命题；所以，p是假命题，是真命qqpq是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选D.【考点】1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假.10．定义在上的函数fx满足：fx8sinx，1fx22，且当x0,2时，Rfx则函数gxfxlgx的零点个数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】求出函数的解析式，利用函数的图象以及函数值判断即可.【详解】fx8sinx，1，且当x0,2时，fx2解：定义在上的函数fx满足：fxR2fx4sinx当x2,4时，，fx2sinx当x4,6时，，fxsinx当x6,8时，，在坐标系中画出两个函数yfx与ylgx的图象如图：由图象可知两图象有5个交点，故函数gxfxlgx有5个零点，故选：A.【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题.的圆心为，点是直线上的点，若该圆上A．B．【答案】D故圆心到直线的距离【考点】直线与圆的综合应用．，给出下列结fxcosxx12．不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作.已知xxx论：①fx是偶函数；②fx是周期函数，且最小值周期为；③fx的单调递减区间为k,k1kZ；④fx的值域为cos1,1.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B，所以不是偶函数，答案①不正正确；又因为【解析】因为fxcosxxfxhxxx，所以答案②也不正确；由于函数是单调递fxcosxxfxycosxx在上单调递减，所以其值域为，故0,1cos1,1增函数，且，因此hx0,1答案④也不正确；则答案③是正确的，应选答案B。点睛：解答本题的关键是掌握新定义的函数的图像和性质，进而依据新定义的信hxxx息，综合运用所学知识对题设中所提供的四个答案逐一进行分析推断，从而做出正确判断使得问题简捷、巧妙获解。13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，2，从而(PC)≤2，即圆心C(2，min0)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2.DCA2BAC．若【解析】过D作，则，利用三角形的相似比表示出RtABC∽RtDMCx，y即可得M如图，过作的垂线，交延长线于，设∠=，则∠=2，，BACαACDαACB9090，∴DCM180290∴RtABC∽RtDMC，∴DMCMABBCk（k为相似比）．BDxBAyBC又，DMBMBCCMk1,∴xk,yABBCBC∴．xy1【点睛】本题考查对平面向量基本定理的理解和应用，解题时借助平面几何知识求解是解答本题的关键，合理构造相似三角形并由三角形的相似比得到x,y的取值后可得所求．4115．若，，且，则使得取得最小值的实数a0b2ab3a______．ab22【答案】3【解析】构造基本不等式的性质即可求解，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.【详解】解：∵，，且，a0b2ab3∴，ab214b2ab2414ab21a那么：ab24b2ab2529，a当且仅当2b2a时即取等号，2b2a联立，ab32解得：a.3故答案为：2.3【点睛】本题考查了构造不等式的思想，利用“乘1法”与基本不等式的性质，属于中档题.16．如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为25m的建筑物，为了测量该ACCD山坡相对于水平地面的坡角，DAC15在山坡的A处测得，沿山坡前进50m到达B处，DBC45cos又测得，根据以上数据得．【答案】31DAC15,∴BDA300,在ABD中,由正弦定理有,代入,计算得出BD25(62),在BCD中,由正弦定理有,代入,计算得出sinBCD31,所以【解析】试题分析：∵,DBC45ABBDsinADBsinBADCDBDsinDBCsinBCDcossin(BCD)sinBCD31.【考点】解三角形的实际应用.三、解答题中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足b2ca2bcsinBBC.2217．在ABC（1）求角A的大小；（2）若a2,B，求的面积.ABC3【答案】（1）A；（2）33.42【解析】试题分析：4(1)利用题意结合余弦定理可得A；(2)利用题意首先求得b的长度，然后利用面积公式求得△ABC的面积为33.2试题解析：b2ca22sinA，由余弦(1)ABC,sinBCsinA,bca2bcsinA，2222bc定理得cosAsinAtanA1，又A0,,A.44362，4a,又b(2)根据正弦定理得sinB6sinCsinABsinsinA1absinC1266233.SABC224218．已知等比数列a的各项均为正数，a8aa48．，n234Ⅰ求数列a的通项公式；n()(Ⅱ)设bloga.证明：为等差数列，并求的前项和S．bbnn4nnnnn3na2n1n2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，4aaaqaq248及a8求得，从而得到通项公式．q【解析】（1）利用34222（2）利用定义证明b等差数列，并利用公式求和．n【详解】（Ⅰ）设等比数列a的公比为，依题意q0．qn由a8,aa48得，解得．8q8q482q22342a82n2故．n1nn1．2blogalog2（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得n1n4n411故bbn，所以b是首项为1，公差为的等差数列，2n12nnn11n23n．2所以Sn1n24【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明aad；（2）证nn1明：2aaa.nn1n1BC200m，19．如图，某公园有三条观光大道AB、、围成直角三角形，其中直角边BCAC斜边AB400m，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB、、大道上嬉戏，所在位置BCAC分别记为点D、E、F.（1）若甲乙都以每分钟100m的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即B停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且DEF，请将甲乙之间3y表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离.的距离【答案】(1)DE1007(2)503m【解析】试题分析：(1)先求出B，在三角形BDE中，利用余弦定理求出DE（2）先在直角三角CE形CEF中求出2ycos，在三角形BDE中由正弦定理得BEDEsinBDEsinDBE代入得出y与θ的关系，求出最小值.试题解析：BC1BAB2(1)依题意得BD=300，BE=100，在三角形ABC中cosB在三角形BDE中，由3余弦定理得DE2BD2BE22BDBEcosB3002100223001001270000,DE1007yBDE（2）由题意得EF2DE2,CEF，在直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos，在三角形BDE中由正弦定理得BEDEsinBDEsinDBE2002ycossiny,sin60o10033cossin503y,0sin23πy所以当时，有最小值503.即甲乙之间的最小距离为503m.6点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确熟练地使用正弦、余弦定理是关键.CACBCDBD2.20．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ABAD，2AO（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离。2217【答案】（1）见解析（2）（3）4【解析】（1）连接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在AO1CO3，△AOC中，由题设知，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能够证明AO⊥平面BCD；（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM1AB，OE1DC12，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦；222CACD2AD2，故，（3）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，2S1242713223，由此能求出点E到24，由AO＝1，知S2222ACDCDE平面ACD的距离．【详解】OCBODOABADAOBD（1）证明：连接，∵＝，＝，∴⊥，BODOBCCDCOBD∵＝，＝，∴⊥．AOCAC在△中，由题设知，，＝2，AO1CO3AOCO2AC2∴2+＝，AOCAOOC∴∠＝90°，即⊥．AOBDBDOCO∵⊥，∩＝，AOBCD∴⊥平面．2ACMOMMEOE（）解：取的中点，连接、、，由为的中点，EBCMEABOEDC知∥，∥，OEEMABCD∴直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角．121在△OME中，AB，2DC1，EMOE22OMAOCACOM∵是直角△斜边上的中线，∴1AC1，211124，∴cosOEM222122ABCD∴异面直线与所成角大小的余弦为43EACDh（）解：设点到平面的距离为．VEACDV，ACDE1h．S31．AO．S3，ACDCDE在△ACD中，，，CACD2AD2212724∴SACD，2221322243，2AO∵＝1，SCDE31AOS