2012年小学、初中数学教师招聘考试专业知识复习

1234元素与集合的关系，用或集合与集合的关系，用，=表示，当ABABABAB3∩（B∪C（A∩B）（A∩，C（A∩B=CUA）∪CU复合命题的形式：pq，p或q，非qq则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5为真时，qp，p是qp是qqA=Bpqpq6∴M，N{y|y=f(x)，x∈Ay=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差y=x2+1{y|yA={1，2}，A∩B=BBB=φ时，△=m2-8<022∴ m221m20或42m21212

，m∴综上所述，m=3

2m22说明分类讨论是中学数学 全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面如本题当3、x、y∈R，x+y≥2，x、y1。x、ypqpqpqq立（不能同时成立，但必有一个成立，所以当“若p则非q”为假时“若p则q”一定为真。DCB∴DA，D是A由2x2y30得，P（1711

5y1 ∵∴a1711b ∴∴b114代入axy1117a4(y11a(x17) 此方程表明，直线恒过两直线y110,x170的交点（1711 而此点为1与2 A、 A、 C D A、 C、 D、A、 C、 D、， 7“α≠β”是cosα≠cosβ”的 C、充要条 、集合 B、S=B B、C、 10、已知px2+ax+b=0，q：a，bpq 充要条 11、已知M={m|m4Z}，N={x|x3N}，则 人 （1）p{12345（2 M（0，3，N（3，019、已知ax21，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c12函7进行，同时灵活运用定义域的变形，如fx)fx)0fx)1（f(x)≠0f；④复x)=f(b+x)，a≠b，T=2|a-b|。f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的。1、已知fx2x3y=g(xy=f-1(x+1)y=xg(11)x∵y=f-∴∴x=f(y)-y=f-1(x+1y=f(x)-g(x)=f(x)-∴g(11)=f(11)-1=21<x≤3f(x)的解析式。∵∴f(x)=-x∈Rx-2代x：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)1<x≤31<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-∴f(x)=-f(x-2)=-∴f(x)=-f(x)解析式f(x)=ax2+bx+c（a≠0）a1c3a∴c∴f(x)(x

b)22

3242

，对称轴x2（1）当b≥2，b≤-4，f(x)在[-1，22∴(f(x))minf(2)2b∴b=3（舍1，2，-22(f f(b)b2 b23 4∴b

2（舍负当b≤-1，b≥2，f(x)在[-1，22∴(f(x)min=f(1)=4-∴4-∴∴fxx22x3，或f(xx33x（1）求证∵∴f(0)=f(x)f(-∴f(x)

fx>0，f(x)>1>0∴f(x)

0f(x)∴对任意2∴f(x2)f2

)f

)f(xx)f(x1

∴f(xR1=f(0)，f(xRf(3x-x2)>f(0)得：3x-∴x5、lgx+lgy=2lg(x-2y)，求

x2x0,y由已知得x2yxy(x2y)∴x=4y，xy∴

x2

24y与月份数xf(1)pqr则f2)4p2qrf(3)9p3qrp∴qr∴f(4)=-g(1)abc则g(2abg(3)a∴bc

cc∴g(4)=-∵|1.35-1.37|<|1.3-y=-0.8×(0.5)x+1.4 1Rf(xf(x+1)=-f(x)，且在[-1，0a=f(3)，b=f(2)，c=f(2)，a，b，cA、 D、2、方程loga(x2

（a>0a≠1）A、 D、3y

|3

B C（-∞，-1）∪（1，+∞）D（-9、函数ylog1(x24x12)2A、（-∞，3] 函数y=log2|ax-1|（a≠b）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于A、 B、

A、 7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(15) 2 3 3 2 215

1xab

1xbc

1xca 16、若函数fxaxx2

的值域为[-1，5]，求a，c若△ABCS，求S=f(t)19f(x)=a

2x

f(xk，解不等式f1xlog

1xk

x3的定义域为[m，n]，值[loga(n-1)，loga(m-（1）求证

ax 11 等差数列及等比数列的定义，通项，前n项和及性质 究前n项和S：S=a+a+…a，由S定义，得到数列中的重要：

n。

Sn

n2，n∈N+1+an+1（n≥2，n∈N+前n项和：

na

1nn 性质：an=an+ban是nakSn=an2+bn，Sn是nk若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nnak},{kan+c}（k，c）

=(2n-1)a

=n1

，S=n1a。

2n-

（1）an1=q（q，a0；a2=aa（n≥2，n∈N n-

q前n项和：

(1qn

aa 1

q

1

1kk2n=p+q，an2=apaq，数列{kanai若{anaan}为等比数列（a>0a≠1a≠1 例1、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中 ， 设{ana1da1，a5，a17 1∴a2 1 ∴q，则qa5an4d

k对 项来说kn

kkn

1)dkn1 naka1qn1n∴kn23n1∴1

2n

0

1

n1

3nn

=75,TSnnT

7

nS77a1

d2∴a1d

S1515a1

152

d∴

2n(n2∴Sn2n1n Snn∴T1n2a S7A727B∴S15AA

15B 解之得： B ∴S1n25n n3、正数数列{an}的前nSn，且

an1n设b ，数列{b}的前n项的和为B，求证：B1nan

an及Snan=Sn-Sn-1（n≥2）∵

an ∴4S=(a n- ∴4S=(an- ∴4(S-S ∴4a ∵∴an-an-an2

an1∴an=2n-

(2n1)(2n

12

2n

2n∴ 1[(

1

1

1(

1

2

a

a

2

n- 注：递推是学好数列的，例本题由4S=(a+1)2推出4S=(a+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。n-1，n+1n n- 。m=2n-1，n∈N+S2n1(2n1)anSn则 (n1)aSn∴2n1n ∴∴∴∴∴∴d=-∴an=-anbn}为等比数列1 ∵bb1 2∴b3=2

bn

2

1，b1b2b3=an882∴b=22b1b∴

81b1b2 b1

b∴b

或 b

81

2( 4

或bn8 ∵bn

2∴anlog12an=2n-3an=-6、已知{a21的等比数列，Sn 2Sn表示c和k，使得Sk1c2Sk11

Sn4(1 ∴

)1S2

Sk1c2Sk

c(23c3

0∵

1)S ∴ (2Sk2)22Sk（*）32

2c ∵∴3S23

22 2c=2c=2∵k=1c<Sk∵32

252S<S3

23 2

2kk≥23k2

2ck=1，2，C<Sk∵32

213c,

2

232

k1k≥332

2cc，k，使Sk1c2Sk 分配方案如下：首先将职工按工业绩（工作业绩均不相等）1n1

bn2n工，按此方法将逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得额，试求a2，a3，并用k，n和b表示ak（不必证明112

b1(11 3a1(112 k

1(11)k1 （2）

ak11n1

(11)k1b08lg100sinn1}的前多少项的和最大，并求这个最大值4an2

2)(nan2，公差为

2∴

2nn(n1)(lg2)0.07525n22.0752520.07525(n13.8)213.82∵∴n=142法二：∵a1=2>0，d= 2anSn设akak12(k1)(

2)∴k∴k

2)∴∴（一）1、已知a，b，a+ba，b，ab0<logmab<1mA、 A、 C、 已知S是{a}的前n项和，S=Pn（P∈R，n∈N那么数列{a 13 A、 D、14 已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数A、 B、 C、 D、1或 A、8204 7、若xx2-x+a=0x2-x+b=0（a≠b）1a+b4A、 B、 C、 A、 C、 A、 B、 10、已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，d<0，nSnnA、4或 （二）11、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和 13、设数列{a{b}（b0，n∈Nanlgb1lgb2lg

n比数列 条件 （三）1（q≠1bn=an++an+（n∈N设b

n n(12an

Tmm

16 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k·3600+α的形式，x{α|α=k·1800，k∈Zy{α|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在弧 S1R1R2||，其中α为弧所对圆心角的弧度数 x2x2

，则siny，cosx，tanycotxy

利用三角函数定义，可以得到（1）诱 （k∈Z，2（2）如倍 ：cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，变形后得cos21cos2,sin21cos2，可以作为降 三角变换除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备k≠0）f(x)周期。等价变换。熟练运用对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题例1f(x)=log1sinx2

2k

x2k4

54∴函数定义域为(2k4

2k54∵sinxcosx

2sin(x)4∴当x∈(2k4

2k540sin(x)42∴0sinxcos2∴ylog2

2221,2f(xf(x)∵f(x11sin

∵1sinsin2cos22sincos(sincos) 2(1cos)2(12cos21)4cos2 ∴原式=2|sin

2|cos ∵∴(, ∴cos29,3sincos 2sin23,32sincos 2sin4cos25sinarctan 2sin 3

22

2arctan

32111sin2cos2

1sin|sin1sin12|cos1

1cos2|sin1cos

sin(x)（取arctanba2a23是常用变形。特别是与特殊角有关的 3例3

)cos2

3cos21400sin21400sin21400cos2

(3cos1400sin1400)(3cos1400sin1400) (sin400cos400) 4sin800sin20001sin24

sin800

注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换，还需用到代数变形，如本题平方差400<α<β<900sinα，sinβx22cos400xcos2400 定理得sinα+sinβ=2cos400，sinαsinβ=cos2400-(sin(sinsin)24sinsin2(1cos2400

1=02(sin(sinsin

2sinsinα+sinβ=2 ∴

1(2cos4002

2sin

0)sin sin

2cos40

2sin

)sin∵00<α<β<∴∴sin(β-5α)=sin600=2注：利用定理变形寻找与sinα，sinβ相关的方程组，在求出sinα，sinβ后再利用单调性求α，β的（2）2sincos5，求3cos24sin2sin3∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-3∵2sincos2tansin3∴2tan15tan3

tan∴∴3cos24sin2

3(cos2sin2)8sincossin2cos2

33tan28tan1tan2 sin4xsin2例6、已知函数f(x)

（a∈(0，1)sin4xsin2xsin2x(1sin2x)sin2xcos2 (2

sin

24

2x4

1cos2x

cos2x1∴f(x)=

cos8令u1cos2x ∴y=au∴由2x[2k

2k得x[k2

2x[2k,2k得x∵u(-∴f(x)=f(-f(x)∵∴

kf(x)2f(x)为周期函数，最小正周期为πx=kπ（k∈Z）时，ymin=1x=kπ+2

1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π2A、 C、 17 如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称，则a值822A、 22y=Asin(ωx+φA>0φ>08

=2x58

Ay2sin(x)

By2sin(2x) Cy2sin(x)4

Dy2sin(2x)84tan1=1998，则sec2tan21tanA、 B、 C、 D、5tanα，tanβx2

3x40两根，且α，β2

，则α+β2A2

B、2或 C、或2

6、若xysinx·siny3 B、- C、

D 、函数A、 B、 ]，则使A

,

3, C4

54

3 2

7,24A、若α，β是第一象限角，α>β，By=sinx·cotx(2k2

2k)2C、函数y1cos2xDy=sinxcos2φ-cosxsin2xyk 10、函数f(x)log1(sin2xcos2x3A(k

k)

B、(kk] B(kk3

D、(kk5

312、已知α+β=3333

3， 3 π，0 17ay=sin2x+acosx+5a

a

3cos2x+2

318 向量的概念19 向量的三种线性运算及运算的三种形式运 OA+OB= OB-OA= 记OA=(x1,y1OB 则OAOB OB-OA=（x2-x1,y2- OA+AB= AB=λa则λa a·b=|a||bcos<a,b a=(x1,y1),b a·b20 运算 abbaabcabc 实数与向量的乘积：λ(ab)=λa+λb；(λ+μ)a=λa+μa，λ(μa)=(λμ)

a·bb·a；(λa)·ba·(λb)=λ(a·bab)·ca·cb·

ab)221 重要定理、

2ab e1e2a 有一对数数λ1，λ2a=λ1e1+λ2e2，称λ1e1λ+λ2e2e1e2 a与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为ae1e2 e1e2ij}时定义(λ1，λ2a

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y A（x1,y1，B（x2,y2 aba0a=λ坐标语言为：设=（x,y=(x,y(x,yλ(x,yx1x2xyxyy y

1y

1 2在这里，实数λab同向时，λ>0；ab异向时，λ<0|λ|=|a|，λ的大小由及的大小确定。因此，当 |b中λ

aba·b a=(x1,y1),b=(x2,y2ab P1P OP1OP11P（x,y，P1（x1,y1，P2（x2,y2）xx1x则 1则 yy 1特例：当λ=1时，就得到中点

1

x1xxxOP2(OP1OP2)，

yy1

OPOP1OP2（OP1P2不共线OP=uOP1+vOP2平移 x'x①点平 P’（x’，y’，（x，y（x’，y’）C：y=f(xa=（h，k）C’y-k=f(x-

sin

b2c2a定理变形

c2a2b

a2b2

1、如图，OA，OB为单位向量，OAOBOC

OC与OA450，|OC|=5，用OA

以OAOBOC

OC在OA，OBOE=λOA

OD=μOB，λ>0

OC=λOA+μ ∵|OA|=|OB ∴λ=|OE|，μ=|OD

|OE

|OC|

|CE|sin|OE|CE

|OC|sin750|OC|sin450

5(35(326553∴5(326

6)

53∴OC

5(326

6)

5631，B（3，2，C（-1，BCD（x，y，则

3，∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-

∵BD=(x-3，y-2)，BC∥∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x- xy∴

3 33、a

3，-1）b

）夹角相等，且模为2c33 33=（x，y， x-y，b·c ∵<a，c>=<b，c a

b |a||c |b||c 3xyx即x222又|c

∴ x由①②得y

3232

x或y

3232

（舍∴c=

312

32 ∵|a|=|b a·b△AOB∵|OC|=2CAB∴

312

312说明：数形结合是学好向量的方法，分析图中的几何性质可以简化计算

4、在△OABOA、OBM、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN

P，记OA=aOBb

abOPB、P、M BP=s∴OP

1

OM

1

OA

11s

3(1s) APt∴OP

11ta

4(1t) ∵ab1 1∴由①②得

st ∴

8 2OP

a s，t5、ABCD，AB=3，BC=2，EBC，PABPC（20，D（23，E（10）P（0，y）∴ED

EP=（-∴|ED

y210,|y2ED·EP=3y-

ED|ED||EP解之得y1（舍2∴点PAAB∴PD

EP=（- ∴EP·PD∠DPE=900D、P、E、C（一） 3，B（3，3，C（x，-1A、- B、- C、 D、2，1，B（1，4，D（4，-3，C

2

4A（-8，5 B（8,11 C 2，1，则点 A、直角三角 5ab，c ①(a·b)c-(c·a)b ②|a|-|b|<|a-b b·cac·abc④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2 6、△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：A、 C、 D、 = = =，若=

b)，t∈RP

|a

|b

=（0，3=（4，0，则A

7,1 B

7,1 C

7,7 （二）

3 310、已知|a|= ，|b|=1，a·b=-9，则a与b的夹角 11e1e2 则(2e1-e2)·(-3e1+2e2 b12y=cosx2k,1)(kZb

（三）

13、设OA

OCOBBCOA，试求满足ODOAOC的OD的坐标，其中 88，16 15、已知|a|=2，|b|=3，ab450a+λb与λab夹角为锐角时，λ22 不等式的概念及性质1对称性或反身性：a>b可加性：a>ba+c>b+c，a>b>0，c>d>0，ac>bd。（3）a>b>0，n∈N+，则anbn； a>b>0，n∈N+，则anbnab>0，a>b11 a2+b2≥2ab（ab∈Ra2b形为 2ab 或ab≤ 2不等式证明的常用方法：比较法，法，分析法，反证法，换元法，放缩法4f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-∴9a-c=(m+4n)a-m4n∴mnm ∴n ∴f(3)=5f(1)8f ∵-4≤f(1)≤-1，-∴5≤5f(1)≤20,8≤8f(2)≤ ∴-3

3

cabbaa23 本题还可用线性规划知识求解abbaa例2a>0，b>0

bababa1b1aabab

baabaa

b)

bababa

(a

baba∵a ≥bababb ≥ababbaaabbaab

(axaylog21

aa

1(x1)2

∵axay≥

2a

2a

8，

(x2

)2

1(x1)2 ∴2a

8≥2a1∴axay≥2a ∴loga(axay)≤loga(2a8)loga284、已知a，b，x，yab1x+y

ay

法一：直接利用基本不等式：xy(x )ab

≥ab

当且仅当aa

b1yb

ab1得x y∴xy

yb

ya(yb)abyay

yb

y

yb

(yb)a∵∴由y

>0y-∴x+y≥

aba

yy a当且仅当a

b1

，即xa

acos2bsin2∈（0， ∴x asec2，ybcsc2cos2a∴x+y=a(1tan2)b(1cot2)abatan2bcot2≥aba当且仅当

tan

b

abxyxy5、f(x)=-3x2+a(6-a)x+b∵∴a2-6a+3-f(1)>0bb>-63b6abbbbb

a3 （2）∵3x2+a(6-a)x+b>0（-f(x)>0(x+1)(x-3)<03x2-a(6-a)x-b<0（-2a(6 ∴3 3解之得a33b6、a，b∈R，关于xx2+ax+b=0α，β，若|a|+|b|<1f(x)=x2+ax+bf(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0∴-∴1a f(x)=0（-1，1）内，即|α|<1，|β|<1∴∴|α|-1（|β|+1）<0∵∴同理、的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪案比较适合？、ABmkmm=a+x（x>0Q(x)∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x>0，P(x)<Q(x10x<10P(x)>Q(x)8x=10（一）1“a>0且b>0”是“ab ”2 2、设a<0，则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为A

a,a B（a,a C（a,2a 24 若0<a<b且a+b=1，则四个数1，b，2ab，a2+b2中最大的2A、 D、225 已知

(x1)6(x6x

1)x (x1)3(x31 xA、 B、 C、 26 已知pa

a

(a2q2a24a2（a>2，则A、p>q C、p≥qD、p≤q27、若|a-c|<h，|b-c|<h，则下列不等式一定成立的是A、|a-b|<2hB、|a-b|>2hC、|a-b|<hD、|a-b|>h28、关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是A、（-∞，-8]∪[0，+∞） 29

A、22

B

C、22

22（二）2230 设a>0，b>0，a，b是常数，则当x>0时，函数f(x)=(xa)(xb)的最小值 2x2

1的直角三角形面积的最大值 11

210

210

211

，则S与1的大小关系 xxxx

y≤

14、解关于x

ax x2x215、已知a≠0，

|a2b2 |a 2|a n

n

n

2n

116

a3

2b17、若a，2a2b

SQQ231 直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用CCF(x，y)=0F(x，y)=0C表示的2、直线的倾斜角α和斜率k) ,，当α=时，直线斜率不存在，否则由α) α=1,α=arccot1 ，α，π，α Ax+By+C=0（A2+B2≠0）一一对应，即由有序数组（A，B，C）确定，因此研究直线与直 则：∥A1B2A2 A

A1 2k1k1k1k1k1k1k1k其夹角为tan

k，k及斜率，当或解，与夹角为θ∈（0

200特例：1⊥2A1A2+B1B2=0（此时不能用夹角求解）利用点P(x，y)到直线：Ax+By+C=0的距离00

a2a2Ax0By01A2212Ax+By+C0（C≠C）d=|C1A2212（1）（2x2y2（3）x，yD，E及常数项FD2+E2-4F>0。1x-b)2=2R>0（abR2直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（△法称。利用对称的知识解题。1、P（6，4）与定直线1：y=4xP与1QxQ（x0，4x0，M（m，0）Q，P，M∴∴44x06x

6m∵∴x0-

5xx0 10x∴SOMQ

|OM|4x02mx0 x010(t1) S 10(t

2)t=1，x0=11Q（11，44kb，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。1，B（4，3，C（3，-2，求：（2）AB（3）∠A （1）∵kBC=5BCADk=5ADy+1=1(x-5AB（3，1，kAB=2ABx+2y-设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE ∵kAC=-∴k1

1∴k2+6k--，k=-AE10-3)x-y-210|xy2Ak|xy2||2xy55

A（5，2，B（3，22（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2 2 P（x，y，则由 x04yyx-4)2+(y-x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（D,E 52225D2EF∴

D

3D2EFE

)2

)32DEF

2xy3ABPABx=4x

|2aa2∴AA’x+2y=0|2aa22

2R2d2R2d

，d∴R22

2 ∴4(a+1)+(a-3)2a=-7a=- x-6)2+(y+3)2=52x-（1）（2）（3）分析（1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-∴1m17m27m26m7(m3)2 ∵1m1∴m37

47∴0<r≤47

xmP（x，y，则又1m7∴20x7x-3)21(y+1)（20x4 5、O：x2+y2=4yA，MMOQ，求△MAQPOQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQOQ∥APOA=OQOAPQ∴P(x，y)，Q(x，yx0yy

y∴x2+(y-（一） B、1 C、1 D、1 22x+y-2=0mx-y+1=0m4A、1或- D、1或 62A、 B C、 62A（1，4A、1 5x2+y2-4x+2y+C=0yA、BP，若∠APB=900C2A、- 26、若圆(x-3)2+(y+5)2=r24x-3y-2=01，则半径rA、 B、 C D、7x+y-1=0（1，0）x2+(y-1)2=R22RA、 B2

D222A、关于x轴对 B、关于y轴对C、关于直线x-y=0对 （二）2，则过点（a，b（d，e） 3x8y1511x，y5x3y62x5y10

A（2，1， （三）4，2，B（3，1y+ci=0（i=1，2，…，n，为2，3，4，…，n（1）求Cn（2）求 =0与坐标轴围成的三角形面积（3）求 -1=0与x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形面积。16C：x2+y2-2x-2y+1=0x、yA、B，Ob>2（1）2)=2（2）（3）8)2=4（1）

（2）2 180<a<2：ax-2y-2a+4=0：2x+a2y-2a2-4=0 32 三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方33 三种圆锥曲线的研（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集 P||PF|e,e F，d为P距离，F 法都具有规律性当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当e>1时，点P轨迹是双曲线；当 e=1时，点P轨迹是抛P||PF|+|PF2|=2a2a>|F1F2|>0F1 焦——cpaea1 双曲线x2y21 x2y21 顶点焦点（p2准线cx=2中心PP|PF|=x+0234 直线和圆锥曲线位置关位置关系判断：△法（△0x或y0。x或y0。例13x2y23与双曲 1有共同渐近线，且过点（-3， 922

2y2 1有公共焦点，且过点（4

，2（1）29

y

1的渐近线为y43x=-3，y=±4，因

4，故点（-3， ）在射线y4x（x≤0）及x轴负半轴之间33333xb

y

1（a>0，b>0）a (23) (23) a b a2294

y2141a2b2

y

则

2)a

221b1x y∴双曲线方程

x2y2（1）

∴9∴4

(2(23)x y94

4x y

16k

1 (32)(32)

16

4k016解之得

∴双曲线方程 x2y∴双曲线方程 评注：与双曲 1共渐近线的双曲线方程x2y评注：与双曲 1共渐近线的双曲线方程

（λ≠0，当（λ≠0，当

x2y2

x

y 11

a2

b2

k>0例2、设F1、F2为椭 1的两个焦点，P例2、设F1、F2为椭 1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个 点，且|PF|>|PF|，|PF1| |PF2 法一：当∠PFF=90

|2(2c)22 2|PF|14，|PF| ∴|PF1||PF2 ∴|PF1||PF252 法二：当∠PFF=90052 ∴y

3∴

5,43552∴|PF|=23∴|PF|=2a-|PF|= 3x2y2

5)当∠F1PF2=90x99

y2 141P（5

5,5

1，0，N（1，0）分析：P∵||PM|-∴点P又

1m

m2(1m2

15m

xm根据双曲线有界性22 15m∴1-∴|m∴m

55,0) 5 评注：利曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建法一：当斜率不存在时，x=-1当斜率存在时，设k2 |bk2∴ ykx

由(x

bk≠±1△>0A（xy，B（xyM（x，yx

2(1kb),

1∴y0=kx0+b=k1kMO ∴x2+y

1k

1k∴(1+kb)2+(k+b)2=(1- k由①②得：

k或 b2 b2 ∴：y

3x

3或y

32 M（x0，y00y0yx0x0 ∵y2+x 1-2x2)x2+2(x2 x2x由中点坐 定理得：x0 ∴012x0 323y0 2）提高阅读能力，准确题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。ABP（5）OABMA（x1,y1，B（x2,y2

y1,k

y∵∴kOAkOB=-∴∵y y∴12y1y2 ∵1∴yy=-11∴xx1 ∵y2 ∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-∴y1yx1x

y1y2∴kAB

y1y2AB：yy1

y1

(xx1∴y

y1y2

y1

y1y

y22pxy∴y

y1y

1y1y ∵y22px ∴y y1

y1y2y1∴y

y1y2

(x（2p，0k∴A（2p,2pk 同理，以1kB（2pk2，-kx p(k21x∴ k1y0

∵k21(1k)2k ∴xp

(y0)2p ∴中点My2=px-

1|OM|(|

||y

|)p(|

||y2≥

4p|y1y2|y1y2法一：设H（x,y，则 x x∴k x3

3333∴AB：y

x3(xx)

2p即x3(yy)x代入y2=2p得y2 3y 32pxxxx xxx 112py ∴ 32px34px3 （0，0OHM=900，又由（2）OMHOM∴点Hx-p)2+y2=p2，去掉6、设双曲线x

y2

1A、B，AB分析：ABykx2由2由2x2y

A（x1,y1，B（x2,y2）则x1x2k(2 2kk=1，满足∴直线A（x1,y1，B（x2,y2） y1x211则 yxx

222两式相减得：(xx)(xx1(yy)(y+y∵

2∴y1yx1x

2(x1x2)y1y2∴k

212∴代入x

y2

1得时，必须检验条件△>0A、B、C、DOMABMABCDCDMCDCD中点M|MA|=|MB|=|MC|=|MD|yx由2由2x2

1，0，B（3，4） yx由2由2x2

C（x,3，D（x,y，CD则x

x3x42

y0x

3∴M（-∴|MC|=|MD|=1|CD|=2又|MA|=|MB|=∴∴A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心， 为半径的圆3(x3(x1)23(y1

|xy2|A、椭 C、抛物 222

y9

12

，则所得新椭圆的准线方程 A、y94

y4Bx94Cy414

x4y4

Dx414

x4x2y23、方程(xx2y2A、

1（a>b>0）F1ABF2ABF263362633622A B2x

D

|m|2

m

1yCA 6、以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径|PF|y 7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点横坐标为2，则|AB|为A

B、 C

D、A（1，0，△ABC 2C、x2+y21(x1

D、x2+y21(x1 （二）

x yA（4，0，B（2，2） 。

1内的点，M|MA|+|MB|910

x

12

，则 5，0，B（5，0， 12、若x，y∈R,且3x2+2y2=6，则x2+y2最大值 13、抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标 （三）15、已知P（x，y）x≥0Py（1，0）PCM（m，0）CA、Bm，AB16y2=4ax（a>0）A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|xM、N，点PMNF（0，1t2tyQP|OPt2

Py2=2px（p>0ABxN，求△NAB1a∥b，b∥c，a∥ca∥b如果=b，那么α，a∥b如果a∥b，a—α，那么—aα，bα，cβ，dα,ab=P,a如果β，那么α，a∥b，a⊥c，b⊥ca⊥b，a⊥c，bα，c—如果a，b⊥α定义（β，那么——2异面直线所成的角：通过平移的变换化归，具体途径有：中位线、补形法等。3、两个重要计算AOαAB，θ为∠PAB。显然异面直线上两点间距离设异面直线a，bθEF2=m2+n2+d2±2mncosθ 直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO，斜高PM，侧棱PA，底 （1）EG∥BB1D1D（2）B1D1H（3）A1OBDF（4） 辅助平面按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和 键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面 BDF内的 CC1⊥平面∴BD⊥BDF2ABCD—A1B1C1D1中，MDD1中点，OABCDPA1B1OPAMA、 B、 C、 D、 PA1OA1OOE⊥ADE，OE⊥DABCBDACBDACDABC600BBF∥AC，EAF，则∠DBFBDAC由△DAFAF=a，DA=a，∠DAF=1200∴DF2=a2+a2-2a2·(123∴ 3△DBF，BF=AC=2∴cos∠DBF=4∴异面直线BDACarccos4BA⊥DAEAEM，DMABCBCNMN⊥BC，根据三垂线定理DNDBC在△DMN

32∴DN=72BFBDF，ACAC∥ACBDACBDF∵

1hS

，

∴1h 1AB

1BDBFsinDBF1

2a

2a

15

15a

21AFDM1a

23a

a

由hABSADF

5aBDAC5 54600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=2x，BD=x，当x，A、B5 600角可求得

x=2a时，|AB|7x27x24axa

21a7例5、如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积。AB’BD⊥AA’于∵∴∴∴△DBCRt△ADB，BD=AB·sin450=22△DBC=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC4S侧=b(BD+DC+BC)=(2a2∴V=SDBC·AA’=V=直截面面积×侧棱长。PCABM∴

1PCS

∴AM=BM=15cm，MN2=152-∴ =1×AB×MN=1 ∴

3（一） 2、异面直线a，b，a⊥b，c与a成300，则c与b成角范围是 B、 C、 A、 B、 C、 D、 2A、 D、A20

B、

C、30

D、

6、E、FABCDABCDEFBDOEFA、 D、 A、 B、 D、 8、正nα，侧面与底面所成的角为β，tanα∶tanβA、sin B、cos C、sin D、cos A、 B、 D、10、三棱锥P—ABC3，PA=a，PB=b，PC=c，△ABCSPABCA、 B、 C、 D、 A12

B13

C14

D232A、 B、 C、 D、 （二）13已知异面直线a与b所成的角是500，空间有一定点P，则过点P与a，b所成的角都是300的直线有 15、正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围 （三）CD⊥PBD。∠AEF=∠CDG（2）x，ABdA’BC’D’不重合，4n排列数：Amn(n1)(n2)[n(m1)]n

(n

m=nAmn(n1)21n!nnn组合数：n

AmAnAmmm

n(n1)(n2)[n(m1)]

m)!CmCnm,CmCm1

m，规定C01

(ab)nC0anC1an1bCranrbrCn n通项Tr1Cran1brn（1）C0CnC1Cn1

C2Cn2,,

Cnr nn一项C2nn

2n

C0C1C2Cn2n,C0C2C4C1C3C5 5

等可 中概率P(A)mn互斥A，B中有一个发生的概率：加法特例：BA时，P(A)P(A)1，即对立的概率和为相互独立A，B同时发生的概率A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P为A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]nk+1若n=6，为甲时共有多少种不同方法若为 时共有120种不同方法，求n 这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④时各自的方法数，再由乘法原理确定决的方法数。因此 有6种方法，为②有5种方法，为③有4种方法，为④也只有4种方法∴共 与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的方法数是n(n-1)(n-2)(n-∴（n2-3n）(n2-3n+2)-120=0∴n2-3n-∴2A5A （2）(C98C97) （3）C2C2C2

（1）

3

3

A6A6(C3C2C2C2C3 5C = C25C

22

2

A3解（1）C6C4C2 （2）C6C4A33

（3）C6C5C3

C4C1

1C

C6C5

（5） 1AA22A2

（6）C6C5A22A2

（7）C6C5 C、144 104C44464C434666合要求应减掉，所以不同的取法共有C44C463141（种6 x5的项为-2×8×C1·x5-(-2)4C4x5=- xx5的系数为-x6、已知

1nx2424

C01,C11

2121n(n n

2,Cn(2 2n11n(n

n29n8 n=8n=1（舍去88 当n=8时，通项Tr1C( (288

43443rr44∴r=0，4，8，故x的有理项为Tx4，T35x，T

256x

>0，tr1≥1tr2∵tt

Cr 8Cr18

9r

9r≥1 Cr1

88又∵r2 8t由8r2(r1)

Cr≤1

2(r ∴r=2r=3T37x2和T47x7a>1，n∈N，n≥2，na1anana

1x，则∵(x1)nC0xnC1xn1Cn1x1Cn1x

第二次取到正品。因而所求概率为P4224 由于“取到的两只中至少有一只正品”是“取到的两只都是次品”的对立，因而所求概率P11 的概率 的概率

13

14若达到译出 的概率为99，至少需要多少个乙这样的人 A“ B“B“两人都译出 C“ D“恰有1人译出 E“ ”为F。“恰有1人译出