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文档简介
1234元素与集合的关系,用或集合与集合的关系,用,=表示,当ABABABAB3∩(B∪C(A∩B)(A∩,C(A∩B=CUA)∪CU复合命题的形式:pq,p或q,非qq则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。5为真时,qp,p是qp是qqA=Bpqpq6∴M,N{y|y=f(x),x∈Ay=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合{(x,y)|y=x2+1,x∈R}是有本质差y=x2+1{y|yA={1,2},A∩B=BBB=φ时,△=m2-8<022∴ m221m20或42m21212
,m∴综上所述,m=3
2m22说明分类讨论是中学数学 全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面如本题当3、x、y∈R,x+y≥2,x、y1。x、ypqpqpqq立(不能同时成立,但必有一个成立,所以当“若p则非q”为假时“若p则q”一定为真。DCB∴DA,D是A由2x2y30得,P(1711
5y1 ∵∴a1711b ∴∴b114代入axy1117a4(y11a(x17) 此方程表明,直线恒过两直线y110,x170的交点(1711 而此点为1与2 A、 A、 C D A、 C、 D、A、 C、 D、, 7“α≠β”是cosα≠cosβ”的 C、充要条 、集合 B、S=B B、C、 10、已知px2+ax+b=0,q:a,bpq 充要条 11、已知M={m|m4Z},N={x|x3N},则 人 (1)p{12345(2 M(0,3,N(3,019、已知ax21,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明:a、b、c12函7进行,同时灵活运用定义域的变形,如fx)fx)0fx)1(f(x)≠0f;④复x)=f(b+x),a≠b,T=2|a-b|。f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的。1、已知fx2x3y=g(xy=f-1(x+1)y=xg(11)x∵y=f-∴∴x=f(y)-y=f-1(x+1y=f(x)-g(x)=f(x)-∴g(11)=f(11)-1=21<x≤3f(x)的解析式。∵∴f(x)=-x∈Rx-2代x:f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)1<x≤31<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-∴f(x)=-f(x-2)=-∴f(x)=-f(x)解析式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)a1c3a∴c∴f(x)(x
b)22
3242
,对称轴x2(1)当b≥2,b≤-4,f(x)在[-1,22∴(f(x))minf(2)2b∴b=3(舍1,2,-22(f f(b)b2 b23 4∴b
2(舍负当b≤-1,b≥2,f(x)在[-1,22∴(f(x)min=f(1)=4-∴4-∴∴fxx22x3,或f(xx33x(1)求证∵∴f(0)=f(x)f(-∴f(x)
fx>0,f(x)>1>0∴f(x)
0f(x)∴对任意2∴f(x2)f2
)f
)f(xx)f(x1
∴f(xR1=f(0),f(xRf(3x-x2)>f(0)得:3x-∴x5、lgx+lgy=2lg(x-2y),求
x2x0,y由已知得x2yxy(x2y)∴x=4y,xy∴
x2
24y与月份数xf(1)pqr则f2)4p2qrf(3)9p3qrp∴qr∴f(4)=-g(1)abc则g(2abg(3)a∴bc
cc∴g(4)=-∵|1.35-1.37|<|1.3-y=-0.8×(0.5)x+1.4 1Rf(xf(x+1)=-f(x),且在[-1,0a=f(3),b=f(2),c=f(2),a,b,cA、 D、2、方程loga(x2
(a>0a≠1)A、 D、3y
|3
B C(-∞,-1)∪(1,+∞)D(-9、函数ylog1(x24x12)2A、(-∞,3] 函数y=log2|ax-1|(a≠b)的图象的对称轴是直线x=2,则a等于A、 B、
A、 7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(15) 2 3 3 2 215
1xab
1xbc
1xca 16、若函数fxaxx2
的值域为[-1,5],求a,c若△ABCS,求S=f(t)19f(x)=a
2x
f(xk,解不等式f1xlog
1xk
x3的定义域为[m,n],值[loga(n-1),loga(m-(1)求证
ax 11 等差数列及等比数列的定义,通项,前n项和及性质 究前n项和S:S=a+a+…a,由S定义,得到数列中的重要:
n。
Sn
n2,n∈N+1+an+1(n≥2,n∈N+前n项和:
na
1nn 性质:an=an+ban是nakSn=an2+bn,Sn是nk若{an},{bn}均为等差数列,则{an±nnak},{kan+c}(k,c)
=(2n-1)a
=n1
,S=n1a。
2n-
(1)an1=q(q,a0;a2=aa(n≥2,n∈N n-
q前n项和:
(1qn
aa 1
q
1
1kk2n=p+q,an2=apaq,数列{kanai若{anaan}为等比数列(a>0a≠1a≠1 例1、已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,其中 , 设{ana1da1,a5,a17 1∴a2 1 ∴q,则qa5an4d
k对 项来说kn
kkn
1)dkn1 naka1qn1n∴kn23n1∴1
2n
0
1
n1
3nn
=75,TSnnT
7
nS77a1
d2∴a1d
S1515a1
152
d∴
2n(n2∴Sn2n1n Snn∴T1n2a S7A727B∴S15AA
15B 解之得: B ∴S1n25n n3、正数数列{an}的前nSn,且
an1n设b ,数列{b}的前n项的和为B,求证:B1nan
an及Snan=Sn-Sn-1(n≥2)∵
an ∴4S=(a n- ∴4S=(an- ∴4(S-S ∴4a ∵∴an-an-an2
an1∴an=2n-
(2n1)(2n
12
2n
2n∴ 1[(
1
1
1(
1
2
a
a
2
n- 注:递推是学好数列的,例本题由4S=(a+1)2推出4S=(a+1)2,它其实就是函数中的变量代换法。n-1,n+1n n- 。m=2n-1,n∈N+S2n1(2n1)anSn则 (n1)aSn∴2n1n ∴∴∴∴∴∴d=-∴an=-anbn}为等比数列1 ∵bb1 2∴b3=2
bn
2
1,b1b2b3=an882∴b=22b1b∴
81b1b2 b1
b∴b
或 b
81
2( 4
或bn8 ∵bn
2∴anlog12an=2n-3an=-6、已知{a21的等比数列,Sn 2Sn表示c和k,使得Sk1c2Sk11
Sn4(1 ∴
)1S2
Sk1c2Sk
c(23c3
0∵
1)S ∴ (2Sk2)22Sk(*)32
2c ∵∴3S23
22 2c=2c=2∵k=1c<Sk∵32
252S<S3
23 2
2kk≥23k2
2ck=1,2,C<Sk∵32
213c,
2
232
k1k≥332
2cc,k,使Sk1c2Sk 分配方案如下:首先将职工按工业绩(工作业绩均不相等)1n1
bn2n工,按此方法将逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得额,试求a2,a3,并用k,n和b表示ak(不必证明112
b1(11 3a1(112 k
1(11)k1 (2)
ak11n1
(11)k1b08lg100sinn1}的前多少项的和最大,并求这个最大值4an2
2)(nan2,公差为
2∴
2nn(n1)(lg2)0.07525n22.0752520.07525(n13.8)213.82∵∴n=142法二:∵a1=2>0,d= 2anSn设akak12(k1)(
2)∴k∴k
2)∴∴(一)1、已知a,b,a+ba,b,ab0<logmab<1mA、 A、 C、 已知S是{a}的前n项和,S=Pn(P∈R,n∈N那么数列{a 13 A、 D、14 已知a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数A、 B、 C、 D、1或 A、8204 7、若xx2-x+a=0x2-x+b=0(a≠b)1a+b4A、 B、 C、 A、 C、 A、 B、 10、已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,d<0,nSnnA、4或 (二)11、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2),则它的前n项和 13、设数列{a{b}(b0,n∈Nanlgb1lgb2lg
n比数列 条件 (三)1(q≠1bn=an++an+(n∈N设b
n n(12an
Tmm
16 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成k·3600+α的形式,x{α|α=k·1800,k∈Zy{α|α=k·1800+900,k∈Z},终边在弧 S1R1R2||,其中α为弧所对圆心角的弧度数 x2x2
,则siny,cosx,tanycotxy
利用三角函数定义,可以得到(1)诱 (k∈Z,2(2)如倍 :cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,变形后得cos21cos2,sin21cos2,可以作为降 三角变换除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备k≠0)f(x)周期。等价变换。熟练运用对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题例1f(x)=log1sinx2
2k
x2k4
54∴函数定义域为(2k4
2k54∵sinxcosx
2sin(x)4∴当x∈(2k4
2k540sin(x)42∴0sinxcos2∴ylog2
2221,2f(xf(x)∵f(x11sin
∵1sinsin2cos22sincos(sincos) 2(1cos)2(12cos21)4cos2 ∴原式=2|sin
2|cos ∵∴(, ∴cos29,3sincos 2sin23,32sincos 2sin4cos25sinarctan 2sin 3
22
2arctan
32111sin2cos2
1sin|sin1sin12|cos1
1cos2|sin1cos
sin(x)(取arctanba2a23是常用变形。特别是与特殊角有关的 3例3
)cos2
3cos21400sin21400sin21400cos2
(3cos1400sin1400)(3cos1400sin1400) (sin400cos400) 4sin800sin20001sin24
sin800
注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换,还需用到代数变形,如本题平方差400<α<β<900sinα,sinβx22cos400xcos2400 定理得sinα+sinβ=2cos400,sinαsinβ=cos2400-(sin(sinsin)24sinsin2(1cos2400
1=02(sin(sinsin
2sinsinα+sinβ=2 ∴
1(2cos4002
2sin
0)sin sin
2cos40
2sin
)sin∵00<α<β<∴∴sin(β-5α)=sin600=2注:利用定理变形寻找与sinα,sinβ相关的方程组,在求出sinα,sinβ后再利用单调性求α,β的(2)2sincos5,求3cos24sin2sin3∵2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-3∵2sincos2tansin3∴2tan15tan3
tan∴∴3cos24sin2
3(cos2sin2)8sincossin2cos2
33tan28tan1tan2 sin4xsin2例6、已知函数f(x)
(a∈(0,1)sin4xsin2xsin2x(1sin2x)sin2xcos2 (2
sin
24
2x4
1cos2x
cos2x1∴f(x)=
cos8令u1cos2x ∴y=au∴由2x[2k
2k得x[k2
2x[2k,2k得x∵u(-∴f(x)=f(-f(x)∵∴
kf(x)2f(x)为周期函数,最小正周期为πx=kπ(k∈Z)时,ymin=1x=kπ+2
1、下列函数中,既是(0,)上的增函数,又是以π2A、 C、 17 如果函数y=sin2x+acos2x图象关于直线x=-对称,则a值822A、 22y=Asin(ωx+φA>0φ>08
=2x58
Ay2sin(x)
By2sin(2x) Cy2sin(x)4
Dy2sin(2x)84tan1=1998,则sec2tan21tanA、 B、 C、 D、5tanα,tanβx2
3x40两根,且α,β2
,则α+β2A2
B、2或 C、或2
6、若xysinx·siny3 B、- C、
D 、函数A、 B、 ],则使A
,
3, C4
54
3 2
7,24A、若α,β是第一象限角,α>β,By=sinx·cotx(2k2
2k)2C、函数y1cos2xDy=sinxcos2φ-cosxsin2xyk 10、函数f(x)log1(sin2xcos2x3A(k
k)
B、(kk] B(kk3
D、(kk5
312、已知α+β=3333
3, 3 π,0 17ay=sin2x+acosx+5a
a
3cos2x+2
318 向量的概念19 向量的三种线性运算及运算的三种形式运 OA+OB= OB-OA= 记OA=(x1,y1OB 则OAOB OB-OA=(x2-x1,y2- OA+AB= AB=λa则λa a·b=|a||bcos<a,b a=(x1,y1),b a·b20 运算 abbaabcabc 实数与向量的乘积:λ(ab)=λa+λb;(λ+μ)a=λa+μa,λ(μa)=(λμ)
a·bb·a;(λa)·ba·(λb)=λ(a·bab)·ca·cb·
ab)221 重要定理、
2ab e1e2a 有一对数数λ1,λ2a=λ1e1+λ2e2,称λ1e1λ+λ2e2e1e2 a与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为ae1e2 e1e2ij}时定义(λ1,λ2a
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则OA=(x,y A(x1,y1,B(x2,y2 aba0a=λ坐标语言为:设=(x,y=(x,y(x,yλ(x,yx1x2xyxyy y
1y
1 2在这里,实数λab同向时,λ>0;ab异向时,λ<0|λ|=|a|,λ的大小由及的大小确定。因此,当 |b中λ
aba·b a=(x1,y1),b=(x2,y2ab P1P OP1OP11P(x,y,P1(x1,y1,P2(x2,y2)xx1x则 1则 yy 1特例:当λ=1时,就得到中点
1
x1xxxOP2(OP1OP2),
yy1
OPOP1OP2(OP1P2不共线OP=uOP1+vOP2平移 x'x①点平 P’(x’,y’,(x,y(x’,y’)C:y=f(xa=(h,k)C’y-k=f(x-
sin
b2c2a定理变形
c2a2b
a2b2
1、如图,OA,OB为单位向量,OAOBOC
OC与OA450,|OC|=5,用OA
以OAOBOC
OC在OA,OBOE=λOA
OD=μOB,λ>0
OC=λOA+μ ∵|OA|=|OB ∴λ=|OE|,μ=|OD
|OE
|OC|
|CE|sin|OE|CE
|OC|sin750|OC|sin450
5(35(326553∴5(326
6)
53∴OC
5(326
6)
5631,B(3,2,C(-1,BCD(x,y,则
3,∴-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-
∵BD=(x-3,y-2),BC∥∴-6(y-2)=-3(x-3),即x- xy∴
3 33、a
3,-1)b
)夹角相等,且模为2c33 33=(x,y, x-y,b·c ∵<a,c>=<b,c a
b |a||c |b||c 3xyx即x222又|c
∴ x由①②得y
3232
x或y
3232
(舍∴c=
312
32 ∵|a|=|b a·b△AOB∵|OC|=2CAB∴
312
312说明:数形结合是学好向量的方法,分析图中的几何性质可以简化计算
4、在△OABOA、OBM、N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,设线段AN
P,记OA=aOBb
abOPB、P、M BP=s∴OP
1
OM
1
OA
11s
3(1s) APt∴OP
11ta
4(1t) ∵ab1 1∴由①②得
st ∴
8 2OP
a s,t5、ABCD,AB=3,BC=2,EBC,PABPC(20,D(23,E(10)P(0,y)∴ED
EP=(-∴|ED
y210,|y2ED·EP=3y-
ED|ED||EP解之得y1(舍2∴点PAAB∴PD
EP=(- ∴EP·PD∠DPE=900D、P、E、C(一) 3,B(3,3,C(x,-1A、- B、- C、 D、2,1,B(1,4,D(4,-3,C
2
4A(-8,5 B(8,11 C 2,1,则点 A、直角三角 5ab,c ①(a·b)c-(c·a)b ②|a|-|b|<|a-b b·cac·abc④(3+2)·(3-2)=9||2-4|2 6、△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C度数是:A、 C、 D、 = = =,若=
b),t∈RP
|a
|b
=(0,3=(4,0,则A
7,1 B
7,1 C
7,7 (二)
3 310、已知|a|= ,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角 11e1e2 则(2e1-e2)·(-3e1+2e2 b12y=cosx2k,1)(kZb
(三)
13、设OA
OCOBBCOA,试求满足ODOAOC的OD的坐标,其中 88,16 15、已知|a|=2,|b|=3,ab450a+λb与λab夹角为锐角时,λ22 不等式的概念及性质1对称性或反身性:a>b可加性:a>ba+c>b+c,a>b>0,c>d>0,ac>bd。(3)a>b>0,n∈N+,则anbn; a>b>0,n∈N+,则anbnab>0,a>b11 a2+b2≥2ab(ab∈Ra2b形为 2ab 或ab≤ 2不等式证明的常用方法:比较法,法,分析法,反证法,换元法,放缩法4f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-∴9a-c=(m+4n)a-m4n∴mnm ∴n ∴f(3)=5f(1)8f ∵-4≤f(1)≤-1,-∴5≤5f(1)≤20,8≤8f(2)≤ ∴-3
3
cabbaa23 本题还可用线性规划知识求解abbaa例2a>0,b>0
bababa1b1aabab
baabaa
b)
bababa
(a
baba∵a ≥bababb ≥ababbaaabbaab
(axaylog21
aa
1(x1)2
∵axay≥
2a
2a
8,
(x2
)2
1(x1)2 ∴2a
8≥2a1∴axay≥2a ∴loga(axay)≤loga(2a8)loga284、已知a,b,x,yab1x+y
ay
法一:直接利用基本不等式:xy(x )ab
≥ab
当且仅当aa
b1yb
ab1得x y∴xy
yb
ya(yb)abyay
yb
y
yb
(yb)a∵∴由y
>0y-∴x+y≥
aba
yy a当且仅当a
b1
,即xa
acos2bsin2∈(0, ∴x asec2,ybcsc2cos2a∴x+y=a(1tan2)b(1cot2)abatan2bcot2≥aba当且仅当
tan
b
abxyxy5、f(x)=-3x2+a(6-a)x+b∵∴a2-6a+3-f(1)>0bb>-63b6abbbbb
a3 (2)∵3x2+a(6-a)x+b>0(-f(x)>0(x+1)(x-3)<03x2-a(6-a)x-b<0(-2a(6 ∴3 3解之得a33b6、a,b∈R,关于xx2+ax+b=0α,β,若|a|+|b|<1f(x)=x2+ax+bf(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0∴-∴1a f(x)=0(-1,1)内,即|α|<1,|β|<1∴∴|α|-1(|β|+1)<0∵∴同理、的里路是相等的,则此人从A地到B地选择哪案比较适合?、ABmkmm=a+x(x>0Q(x)∵P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x>0,P(x)<Q(x10x<10P(x)>Q(x)8x=10(一)1“a>0且b>0”是“ab ”2 2、设a<0,则关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为A
a,a B(a,a C(a,2a 24 若0<a<b且a+b=1,则四个数1,b,2ab,a2+b2中最大的2A、 D、225 已知
(x1)6(x6x
1)x (x1)3(x31 xA、 B、 C、 26 已知pa
a
(a2q2a24a2(a>2,则A、p>q C、p≥qD、p≤q27、若|a-c|<h,|b-c|<h,则下列不等式一定成立的是A、|a-b|<2hB、|a-b|>2hC、|a-b|<hD、|a-b|>h28、关于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是A、(-∞,-8]∪[0,+∞) 29
A、22
B
C、22
22(二)2230 设a>0,b>0,a,b是常数,则当x>0时,函数f(x)=(xa)(xb)的最小值 2x2
1的直角三角形面积的最大值 11
210
210
211
,则S与1的大小关系 xxxx
y≤
14、解关于x
ax x2x215、已知a≠0,
|a2b2 |a 2|a n
n
n
2n
116
a3
2b17、若a,2a2b
SQQ231 直线方程的五种表现形式,如何求直线方程;二元一次不等式的几何意义及运用CCF(x,y)=0F(x,y)=0C表示的2、直线的倾斜角α和斜率k) ,,当α=时,直线斜率不存在,否则由α) α=1,α=arccot1 ,α,π,α Ax+By+C=0(A2+B2≠0)一一对应,即由有序数组(A,B,C)确定,因此研究直线与直 则:∥A1B2A2 A
A1 2k1k1k1k1k1k1k1k其夹角为tan
k,k及斜率,当或解,与夹角为θ∈(0
200特例:1⊥2A1A2+B1B2=0(此时不能用夹角求解)利用点P(x,y)到直线:Ax+By+C=0的距离00
a2a2Ax0By01A2212Ax+By+C0(C≠C)d=|C1A2212(1)(2x2y2(3)x,yD,E及常数项FD2+E2-4F>0。1x-b)2=2R>0(abR2直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识,而不采用方程组理论(△法称。利用对称的知识解题。1、P(6,4)与定直线1:y=4xP与1QxQ(x0,4x0,M(m,0)Q,P,M∴∴44x06x
6m∵∴x0-
5xx0 10x∴SOMQ
|OM|4x02mx0 x010(t1) S 10(t
2)t=1,x0=11Q(11,44kb,角度θ,点的坐标都是常用参数,特别是点参数。1,B(4,3,C(3,-2,求:(2)AB(3)∠A (1)∵kBC=5BCADk=5ADy+1=1(x-5AB(3,1,kAB=2ABx+2y-设∠A平分线为AE,斜率为k,则直线AC到AE的角等于AE ∵kAC=-∴k1
1∴k2+6k--,k=-AE10-3)x-y-210|xy2Ak|xy2||2xy55
A(5,2,B(3,22(2)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2 2 P(x,y,则由 x04yyx-4)2+(y-x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心(D,E 52225D2EF∴
D
3D2EFE
)2
)32DEF
2xy3ABPABx=4x
|2aa2∴AA’x+2y=0|2aa22
2R2d2R2d
,d∴R22
2 ∴4(a+1)+(a-3)2a=-7a=- x-6)2+(y+3)2=52x-(1)(2)(3)分析(1)m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0,即7m2-6m-∴1m17m27m26m7(m3)2 ∵1m1∴m37
47∴0<r≤47
xmP(x,y,则又1m7∴20x7x-3)21(y+1)(20x4 5、O:x2+y2=4yA,MMOQ,求△MAQPOQ,则由OQ⊥MQ,AP⊥MQOQ∥APOA=OQOAPQ∴P(x,y),Q(x,yx0yy
y∴x2+(y-(一) B、1 C、1 D、1 22x+y-2=0mx-y+1=0m4A、1或- D、1或 62A、 B C、 62A(1,4A、1 5x2+y2-4x+2y+C=0yA、BP,若∠APB=900C2A、- 26、若圆(x-3)2+(y+5)2=r24x-3y-2=01,则半径rA、 B、 C D、7x+y-1=0(1,0)x2+(y-1)2=R22RA、 B2
D222A、关于x轴对 B、关于y轴对C、关于直线x-y=0对 (二)2,则过点(a,b(d,e) 3x8y1511x,y5x3y62x5y10
A(2,1, (三)4,2,B(3,1y+ci=0(i=1,2,…,n,为2,3,4,…,n(1)求Cn(2)求 =0与坐标轴围成的三角形面积(3)求 -1=0与x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形面积。16C:x2+y2-2x-2y+1=0x、yA、B,Ob>2(1)2)=2(2)(3)8)2=4(1)
(2)2 180<a<2:ax-2y-2a+4=0:2x+a2y-2a2-4=0 32 三种圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方33 三种圆锥曲线的研(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集 P||PF|e,e F,d为P距离,F 法都具有规律性当0<e<1时,点P轨迹是椭圆;当e>1时,点P轨迹是双曲线;当 e=1时,点P轨迹是抛P||PF|+|PF2|=2a2a>|F1F2|>0F1 焦——cpaea1 双曲线x2y21 x2y21 顶点焦点(p2准线cx=2中心PP|PF|=x+0234 直线和圆锥曲线位置关位置关系判断:△法(△0x或y0。x或y0。例13x2y23与双曲 1有共同渐近线,且过点(-3, 922
2y2 1有公共焦点,且过点(4
,2(1)29
y
1的渐近线为y43x=-3,y=±4,因
4,故点(-3, )在射线y4x(x≤0)及x轴负半轴之间33333xb
y
1(a>0,b>0)a (23) (23) a b a2294
y2141a2b2
y
则
2)a
221b1x y∴双曲线方程
x2y2(1)
∴9∴4
(2(23)x y94
4x y
16k
1 (32)(32)
16
4k016解之得
∴双曲线方程 x2y∴双曲线方程 评注:与双曲 1共渐近线的双曲线方程x2y评注:与双曲 1共渐近线的双曲线方程
(λ≠0,当(λ≠0,当
x2y2
x
y 11
a2
b2
k>0例2、设F1、F2为椭 1的两个焦点,P例2、设F1、F2为椭 1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个 点,且|PF|>|PF|,|PF1| |PF2 法一:当∠PFF=90
|2(2c)22 2|PF|14,|PF| ∴|PF1||PF2 ∴|PF1||PF252 法二:当∠PFF=90052 ∴y
3∴
5,43552∴|PF|=23∴|PF|=2a-|PF|= 3x2y2
5)当∠F1PF2=90x99
y2 141P(5
5,5
1,0,N(1,0)分析:P∵||PM|-∴点P又
1m
m2(1m2
15m
xm根据双曲线有界性22 15m∴1-∴|m∴m
55,0) 5 评注:利曲线的定义找到点P轨迹是重要一步,当题目条件有等量关系时,一般考虑利用函数思想,建法一:当斜率不存在时,x=-1当斜率存在时,设k2 |bk2∴ ykx
由(x
bk≠±1△>0A(xy,B(xyM(x,yx
2(1kb),
1∴y0=kx0+b=k1kMO ∴x2+y
1k
1k∴(1+kb)2+(k+b)2=(1- k由①②得:
k或 b2 b2 ∴:y
3x
3或y
32 M(x0,y00y0yx0x0 ∵y2+x 1-2x2)x2+2(x2 x2x由中点坐 定理得:x0 ∴012x0 323y0 2)提高阅读能力,准确题意,抓住关键信息是基础而又重要的一步。ABP(5)OABMA(x1,y1,B(x2,y2
y1,k
y∵∴kOAkOB=-∴∵y y∴12y1y2 ∵1∴yy=-11∴xx1 ∵y2 ∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-∴y1yx1x
y1y2∴kAB
y1y2AB:yy1
y1
(xx1∴y
y1y2
y1
y1y
y22pxy∴y
y1y
1y1y ∵y22px ∴y y1
y1y2y1∴y
y1y2
(x(2p,0k∴A(2p,2pk 同理,以1kB(2pk2,-kx p(k21x∴ k1y0
∵k21(1k)2k ∴xp
(y0)2p ∴中点My2=px-
1|OM|(|
||y
|)p(|
||y2≥
4p|y1y2|y1y2法一:设H(x,y,则 x x∴k x3
3333∴AB:y
x3(xx)
2p即x3(yy)x代入y2=2p得y2 3y 32pxxxx xxx 112py ∴ 32px34px3 (0,0OHM=900,又由(2)OMHOM∴点Hx-p)2+y2=p2,去掉6、设双曲线x
y2
1A、B,AB分析:ABykx2由2由2x2y
A(x1,y1,B(x2,y2)则x1x2k(2 2kk=1,满足∴直线A(x1,y1,B(x2,y2) y1x211则 yxx
222两式相减得:(xx)(xx1(yy)(y+y∵
2∴y1yx1x
2(x1x2)y1y2∴k
212∴代入x
y2
1得时,必须检验条件△>0A、B、C、DOMABMABCDCDMCDCD中点M|MA|=|MB|=|MC|=|MD|yx由2由2x2
1,0,B(3,4) yx由2由2x2
C(x,3,D(x,y,CD则x
x3x42
y0x
3∴M(-∴|MC|=|MD|=1|CD|=2又|MA|=|MB|=∴∴A、B、C、D在以CD中点,M(-3,6)为圆心, 为半径的圆3(x3(x1)23(y1
|xy2|A、椭 C、抛物 222
y9
12
,则所得新椭圆的准线方程 A、y94
y4Bx94Cy414
x4y4
Dx414
x4x2y23、方程(xx2y2A、
1(a>b>0)F1ABF2ABF263362633622A B2x
D
|m|2
m
1yCA 6、以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|y 7、直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点,若AB中点横坐标为2,则|AB|为A
B、 C
D、A(1,0,△ABC 2C、x2+y21(x1
D、x2+y21(x1 (二)
x yA(4,0,B(2,2) 。
1内的点,M|MA|+|MB|910
x
12
,则 5,0,B(5,0, 12、若x,y∈R,且3x2+2y2=6,则x2+y2最大值 13、抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标 (三)15、已知P(x,y)x≥0Py(1,0)PCM(m,0)CA、Bm,AB16y2=4ax(a>0)A,以B(a+4,0)为圆心,|BA|xM、N,点PMNF(0,1t2tyQP|OPt2
Py2=2px(p>0ABxN,求△NAB1a∥b,b∥c,a∥ca∥b如果=b,那么α,a∥b如果a∥b,a—α,那么—aα,bα,cβ,dα,ab=P,a如果β,那么α,a∥b,a⊥c,b⊥ca⊥b,a⊥c,bα,c—如果a,b⊥α定义(β,那么——2异面直线所成的角:通过平移的变换化归,具体途径有:中位线、补形法等。3、两个重要计算AOαAB,θ为∠PAB。显然异面直线上两点间距离设异面直线a,bθEF2=m2+n2+d2±2mncosθ 直的性质解题,在正棱锥中,要熟记由高PO,斜高PM,侧棱PA,底 (1)EG∥BB1D1D(2)B1D1H(3)A1OBDF(4) 辅助平面按线线平行线面平行面面平行的思路,在平面B1D1H内寻找B1D1和 键的相交直线,转化为证明:B1D1∥平面BDF,O’H∥平面BDF。为证A1O⊥平面BDF,由三垂线定理,易得BD⊥A1O,再寻A1O垂直于平面 BDF内的 CC1⊥平面∴BD⊥BDF2ABCD—A1B1C1D1中,MDD1中点,OABCDPA1B1OPAMA、 B、 C、 D、 PA1OA1OOE⊥ADE,OE⊥DABCBDACBDACDABC600BBF∥AC,EAF,则∠DBFBDAC由△DAFAF=a,DA=a,∠DAF=1200∴DF2=a2+a2-2a2·(123∴ 3△DBF,BF=AC=2∴cos∠DBF=4∴异面直线BDACarccos4BA⊥DAEAEM,DMABCBCNMN⊥BC,根据三垂线定理DNDBC在△DMN
32∴DN=72BFBDF,ACAC∥ACBDACBDF∵
1hS
,
∴1h 1AB
1BDBFsinDBF1
2a
2a
15
15a
21AFDM1a
23a
a
由hABSADF
5aBDAC5 54600的二面角α—CD—β中,ACα,BDβ,ACD=450,tg∠BDC=2,CD=a,AC=2x,BD=x,当x,A、B5 600角可求得
x=2a时,|AB|7x27x24axa
21a7例5、如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为 AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角,求此三棱柱的侧面积和体积。AB’BD⊥AA’于∵∴∴∴△DBCRt△ADB,BD=AB·sin450=22△DBC=BD+CD+BC=(2+1)a,△DBC4S侧=b(BD+DC+BC)=(2a2∴V=SDBC·AA’=V=直截面面积×侧棱长。PCABM∴
1PCS
∴AM=BM=15cm,MN2=152-∴ =1×AB×MN=1 ∴
3(一) 2、异面直线a,b,a⊥b,c与a成300,则c与b成角范围是 B、 C、 A、 B、 C、 D、 2A、 D、A20
B、
C、30
D、
6、E、FABCDABCDEFBDOEFA、 D、 A、 B、 D、 8、正nα,侧面与底面所成的角为β,tanα∶tanβA、sin B、cos C、sin D、cos A、 B、 D、10、三棱锥P—ABC3,PA=a,PB=b,PC=c,△ABCSPABCA、 B、 C、 D、 A12
B13
C14
D232A、 B、 C、 D、 (二)13已知异面直线a与b所成的角是500,空间有一定点P,则过点P与a,b所成的角都是300的直线有 15、正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围 (三)CD⊥PBD。∠AEF=∠CDG(2)x,ABdA’BC’D’不重合,4n排列数:Amn(n1)(n2)[n(m1)]n
(n
m=nAmn(n1)21n!nnn组合数:n
AmAnAmmm
n(n1)(n2)[n(m1)]
m)!CmCnm,CmCm1
m,规定C01
(ab)nC0anC1an1bCranrbrCn n通项Tr1Cran1brn(1)C0CnC1Cn1
C2Cn2,,
Cnr nn一项C2nn
2n
C0C1C2Cn2n,C0C2C4C1C3C5 5
等可 中概率P(A)mn互斥A,B中有一个发生的概率:加法特例:BA时,P(A)P(A)1,即对立的概率和为相互独立A,B同时发生的概率A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k,其中P为A在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]nk+1若n=6,为甲时共有多少种不同方法若为 时共有120种不同方法,求n 这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①、②、③、④时各自的方法数,再由乘法原理确定决的方法数。因此 有6种方法,为②有5种方法,为③有4种方法,为④也只有4种方法∴共 与①的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的方法数是n(n-1)(n-2)(n-∴(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0∴n2-3n-∴2A5A (2)(C98C97) (3)C2C2C2
(1)
3
3
A6A6(C3C2C2C2C3 5C = C25C
22
2
A3解(1)C6C4C2 (2)C6C4A33
(3)C6C5C3
C4C1
1C
C6C5
(5) 1AA22A2
(6)C6C5A22A2
(7)C6C5 C、144 104C44464C434666合要求应减掉,所以不同的取法共有C44C463141(种6 x5的项为-2×8×C1·x5-(-2)4C4x5=- xx5的系数为-x6、已知
1nx2424
C01,C11
2121n(n n
2,Cn(2 2n11n(n
n29n8 n=8n=1(舍去88 当n=8时,通项Tr1C( (288
43443rr44∴r=0,4,8,故x的有理项为Tx4,T35x,T
256x
>0,tr1≥1tr2∵tt
Cr 8Cr18
9r
9r≥1 Cr1
88又∵r2 8t由8r2(r1)
Cr≤1
2(r ∴r=2r=3T37x2和T47x7a>1,n∈N,n≥2,na1anana
1x,则∵(x1)nC0xnC1xn1Cn1x1Cn1x
第二次取到正品。因而所求概率为P4224 由于“取到的两只中至少有一只正品”是“取到的两只都是次品”的对立,因而所求概率P11 的概率 的概率
13
14若达到译出 的概率为99,至少需要多少个乙这样的人 A“ B“B“两人都译出 C“ D“恰有1人译出 E“ ”为F。“恰有1人译出
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