一组空气污染数据的主成分分析

t精心整理t一组空污数据的成分析【说明面的多元统计分析练习题摘自等编写用多元统计分五版原书为：RichardA.JohnsonandDeanW.Wichern.Ed).PearsonEducation,Inc.2003。我看的是中国统计出版社（）2003年发行的影印本。第一题为原书第1.6题，即第章的第题，第二题为原书第题，即第8章的第12。第二题用的是第一题的数据。1题1.6.ThedatainTable1.5are42measurementsonair-pollutionvariablesrecordedat12:00noonintheLos(a)(b)Constructthex,,andRarrays,andinterprettheentriesin.nTABLE1.5Solarradiation(Wind()x)x))NO(x)()HC(x)12353678987212871073957103356108828156914281089052121298474121557264211478251111186452139671541036914212777274181010702117107218109774191087641738715316496742132969339310623144988427388042131153033536835110238843273

精心整理686108756108557768

78796237715248753585868679796840

4243446444377564

2131115111124223

1179710128106961398116

111082784249101218256145

3333343322223232SourceConsidertheair-pollutiondatalistedinTable1.5.Yourjobistosummarizethesedatainfewerthan=7dimensSandthecorrelabesummarizedinthreeorfewerdimensions?Canyouinterprettheprincipalcomponents?2部分答2.1部分计参数利用Excel计算的平均值（x）和标准差SolarradiationNOO2

HC73.8571434.54761910.047619Stdev1.581138817.3353881.23372093.3709837Excel给出的协方差矩阵SolarradiationNO22.4404762CO-0.369048NO-0.452381NO23Excel给出相关系数矩阵RNONOOHC23CO0.18279341NO

1

精心整理NO0.296898112-0.1339520.166642230.23470430.44776780.15445061从相关系数矩阵可以看出，CO与NO、相关性明显，O与Solarradiation、CO相关性明2显。后面的主成分分析将CO与NO、归并到一个主成分，将O与归并到一个23主成分，Wind归并到一个主成分与的相关系数并不高，但从正相关的角度看，二者的数值倒是最高的。方差极大正交旋转之后，HC与CO、、归并到一个因子，因为2与的相关系数较高，与、的相关系数高于其他变量。22.2主成分析之——数据未标准化下面是从相关矩阵R出发，给出的结果。原始数据未经标准化。所谓从出发，就是在—选项中选中CorrelationMatrix。出的相关系数矩阵（CorrelationMatrix），与Excel计的结果一样。公因子方差（Communalities）表如下。公因子方差变化～0.795之间，相差不是很大。但是，公因子方差值没有达到以上的，可见每一个变量体现在三个主成分中的信息都不超过。特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained如下表。可见提取三个主成分可以解释原7格变量的主成分载荷矩阵（）见下表。将上表从中复制到中，进行涂色分类，结果如下表所示。Component13-0.362020.31424-0.619970.24631CO0.842417-0.00803-0.12466NO0.511736NO0.2351830.215682230.4882570.593692主成分分类如下：第一主成分的主要相关变量：CO、NO、NO。2第二主成分的主要相关变量：Solarradiation、。3第三主成分的主要相关变量：、HC在主成分载荷图（ComponentPlot）中，三个变量分别落入三个不同的主成分代表的区域。主成分得分表如下最后一栏对几个典型的样本给出了简单的解释注意解释的时候看主成分载荷矩阵中载荷值的正负号。Casesf1f2f3

典型的说明S1-0.8186S2-0.36015S3S40.2425样本4代表的区域Wind、染严重S5-0.4042S6-0.192781.21954S7S8

样本78表的区域与、NO、2-0.34124污染有明显的关系

精心整理S9S10S11S12S13S14S15S16S17S18S19S20S21

-0.50662-0.89378-0.66037-0.87787-0.42935-0.751

-0.81736-0.45848-0.17036-0.39862-0.3635

-1.48345-0.27016-0.66029

样本21表的区域Solarradiation、O污染3较小S22S23S24S25S26S27S28S29S30S31S32S33S34S35S36S37

-0.69373-1.16263-0.91899-1.32458-0.10472-1.8593-0.62672-0.14264-1.71429-0.80238-1.00653

-0.09747-1.70335-0.13915-0.51948-0.6911-0.08347-1.95681-1.13269-1.92662

-2.12097-0.37202-1.08681-2.63096样本33表的区域Wind、HC污染较小-0.08554-0.0517-1.17569样本和代表的区域、S38S39S40S41S42

-0.48079-1.17776

-1.77265-1.04272-0.49683-0.53042

-1.32357-0.66334-1.07633-0.57934-1.55538

污染严重32.3主成分析之——数据未标准化下面是从协方差矩阵S发，给出的结果。原始数据未经标准化。所谓从S发，就是在FactorAnalysis:Extraction—选项中选中CovarianceMatrix。公因子方差（）表如下。在未经处理的）公因子方差一栏，数值都是原始数据的方差。不过与前面给出的协方差矩阵有所不同，Excel给出的是总体方差，给的是抽样方差。例如以的Initial为例，2.4404762×，或者2.5（对照前面的协方差矩阵）。重标的（）结果是Extraction值与Initial之比。公因子方差的合计结果如下：

精心整理RescaledExtractionExtraction1300.51568300.1336710.9987288CO1.52206740.060166610.0395295NO1.18234610.006750210.00570913.84594280.478513410.0034839合计特征根与方差贡献（）如下表。在一栏中显示，提取一个主成分似乎可以解释原来7变量的但重标之后显示的数值却是17.137%。根据公因子方差表和合计结果，重标之前，全部的方差解释为304.25786/348.54065*100=87.295%；重标之后，全部的方差解释为＝17.137%。主成分载荷矩（ComponentMatrix见下表可以看来由于变量的方差很大，它绝对地控制了第一主成分。2.4主成分析之——数据经标准化下面是从协方差矩阵S发，SPSS给出的结果。原始数据经过标准化。可以到所有的结果重标前后一样，并且与从相关矩阵出发计算的结果一样。公因子方差（Communalities）表如下，重标前后的结果一样。特征根与方差贡献（TotalVarianceExplained）如下表。重标前后结果一样。主成分载荷矩阵（ComponentMatrix）见下表，重标前后一样。可以看到，第一主成分的相对重要性受到标准化的极大影响结论自然是如果在极其不同的范围内测量变量或者测量单位的量纲不同，变量必须经过标准化。否则，应该从相关系数矩阵出发开展主成分分析。2.5因子析——差极大旋转数据经过标准化，从任意矩阵出发，在因子分析中进行方差极大旋转（Varimax），载荷矩阵如下。载荷矩阵和因子分类结果如下表。Component

公因子方1差0.73707030.04301990.7359707-0.0167460.543784CO0.7252709NO-0.38278-0.4816890.79463070.1