2018考研数学线性代数讲义

第一 —基础篇—行列式与矩一１．行列式的本质柯西 a

１ axaxb １a１１aa１a１ a１１aa１a１１１既

b１ba a１１a１a１

a１１a１ba１再看３阶:a１a a３１a３沙路法５２

１２５３我０生０有你０

我有 生有三元线性方程组 a１１ ３

称为系数行列式

a３１ ２jjD中第j列换做

而得的新行列式如一般地

a１１b１a１３a１ba３a３１b３a３３a１a

n个n维向量所拼成的n维图形体积an１ １２３１２５Tn１２３１２５Tn行列地位相同２５１６７２３１６７⇒

２ ００ １２７A中有两行列元素对应成比例⇒

１２ ２５ １２６２５３１２２２５３单列可拆加３１７３１７３１７４７９４７９４７９ jini例题

k( ii a 计算

an－１an

a ３１ １

１ １２４８８１２自练

４８１２２４８

１３ 行列式是由向量拼成的且 A≠０⇒组成A的向量全独立线性无关 ０⇒组成A的向量至少一个多余线性相关二１．引例 男生人 人英语系

９６机械系＼ ２ninn

２．本质上的问题

给出 ,∃k阶子式不为 ArA∀k１阶子式全为⇔∃k∀k１个向量,至少一个多余

⇔有且仅有k个独立向量rA)k⇒A有且仅有k个独立向量;秩是组成A的独立向量的个数１２如

台阶 秩００６丿．化A为行阶梯型阵行最简阶梯型阵４A若有０行全在下方 从行上看,自左边起,出现连续０的个数自上而下严格单增．称A为行阶梯型阵．若A还满３台角位置元素是４台角正上方元素全是１称A阵．初等行变换１２ ２１１互换 ↔ ２１６丿１２３丿１２３２４６倍加１２３第一 并加到第二行 ２１ ↔ ２１６丿５７

１２３丿例１】分析

４９０为行最简阶梯型阵 ３６０丿５７ ５７ １０ A) →４９０→０１ ３６０

０００ ０００ １ ２分析１０ A ０１ ００ ０００丿５第二讲向量组与方程组综述

a１nxn anxn nn１ a１ axb x １⋮ ⋮ n⋮ ⋮

amα

n

β方程组的解就是系数一定性研究相关性有无多余向量表示性如何表示多余向量极大线性无关组等价性等价向量组αα

α α １ ＜S１αxs α⇔若要使

０成立,必须有 xs,称αααs线性无关６ x１ααα⋮ααAx１αα s xs xs x ααα ０只有０解ααα线性无关 s A系数矩阵X１anβ１bb１α,)a b n) １ nx１ rA 独立方程个＜SS 未知数个８个定理ααs＋１ααs－１ααs＋１ααs－１ 给出α α ( (从 叫升维反之叫降维１ s s αssααss关则αααs不定．小结部分相关⇒整体相关整体无关⇒部分无关原来相关⇒缩短相关 １ 内 ⋮ rA原来无关⇒延长无关７能α αs)αβ)ααs)１αβ)xs 任何一组数xxx使 成 １ ss αα 线性表示［称不可由

x１ x１( ( β有解ααs)A,⋮ Xβ s

s１ x１ β无解 s自由项阵A是增广矩阵X 非齐次方程注对于AX rAAX ｛

且r(A)＜S⇒ rArArAβ３．代表性定义从ααα取出ααα若其满足线性无 αα i１

任一αi

i１rrA＜S如何表示这无穷多解呢? 这无穷多解的代表是极大线性无关组也叫基础解系)定义若AX０有无穷多解Amn即rA＜nm:方程个数可能有变未知数个数不能有变.s线性无关X０任一解均可由其表示８sn个n维线性无关向量组张成nαβ.i２Ι可由Π线性表示 sj２称ΠΙ线性表示当同时成立时Ι与Π等价rAB二定量描述１．给出AX求其通解全部解．rArA＜n．关键在于求基础解系提出:求基础解系的步骤将A化为行最简阶梯型按列找出一个秩为A的子矩阵则剩余位置的变量即为自由变量．按基础解系定义反着写→→ xx x４x３x０２x１x ３x３５

求其通解５x３７x １ ２１１３

１ ０ ０ ３ ０ ００rA

( ３０１０T２９故通解为ξk１ξ１ k２．给出AX求其通解rArAXrA且

ξ为AX０的通解Xβ的特解rAn⇒ xx xax２x３

３x１２xx３x４３x

?时方程组有解并求出全部解 １１１ １１１１ a ０１２ ０１２２ b解 → 有解３２１ ３ ０００００b５４３３ １０丿０００００１a１１１１１ A)

０１２２６３() ０００００ ００００００丿 ２１００Tξ ２０１０TrA, ６００１Tη(２３０００Tηk １ 注设

６

１b?时β可由ii表出并写出表达式其解与例２完全相同第三 应用—特征值与二次引言 含交叉项一般形⇓′ ′只含平方项标准形一二次型f１xx３ １ ３x１(规 (x１ x３)１ 写 对称矩阵化成 1

÷关键:将矩阵A相似对角化成Λ需三个准备工作二A的特征值和特征向量对于An×n若存在数λ非零列向量ξ使得Aξ称λ为A的特征值为A*的特征向量 ０１ １ 如 １１２１ １丿１ １ξAξ⇒EAξ⇒EAX零⇒EA ０λnEXλiEX例求矩阵

１ ０ １的特征值和特征向量 １丿解写特征方程λE 因此１

*

λλλ)E １ １

得到

１０１T １→０ ０ ０ ０ ０ １

１０

得到

( １１T １→０１ １ ０００ ０ １ １ ３

得到 ２丿０ ０ξ３(１２１T三A~ A１ξn)１ξn ⇔１Aξn)λ１ξ１λξ i 四正交矩阵

定义若PPTE则称P为正交阵 a１３a１１a１a３１ １００１０

α→a１ a３a１ a３ ÷ a３３a１３a３a３３丿００１丿 １α)０⇒α１ １３)０⇒α１ １ α３)０⇒αα３五二次型的一般形化为标准形fXTA YYTΛY

EPT P１YAY)PYPP)求一个正交变换化下列二次型为标准形fx１x３２x１x１ ０x１ 解写A

x λ 求的λ与ξ｛｛｛２ １ １将１ξ３正交化单位化⇒拼成正交阵１

１

１ １ξ)

１３)

１ ２ ０ηη３ ０ηη３ ６１ １２丿１ηη３

３

６ f XXY

yy) y

y(１•y３ 附录:课后该做习题第一 行列§二阶与三阶行列式行列式的概念例P２习题一二三阶行列式计算的对角会§．全排列考研不做要求§n阶行列式的定义n阶行列式的定义例２习题一３对角行列式上下三角形行列式掌握重点记住,以后直接使用§．行列式性质~性质及各个推论例~９例０证明不要求,结论记住以后直接使用)P,自己证明性质３~会§５行列式按行列)式代数式的概,３定理行列式按行列展开法则会证明不要求掌握定理２推论的证明理解熟记范德蒙德行列式的特点与计算)第二 矩阵及其运齐次线性方程组非齐次性方程组的概念零解非零解的概念例m×n矩阵n阶方阵列向量概念同型矩阵,等,零矩阵的概念单位矩阵三角矩阵和称矩阵,对角矩阵的概２矩阵的加法例５,,８９经典例题,０运算律,矩阵的方幂纯量矩阵数量矩阵理解重点３逆矩阵的定义 ３５~,,定理定理２矩阵方程例)矩阵的m４会重点例二５５分块矩阵的运算律i~例９经典例题２变形形式:式０)第三 矩阵的初等变换与线性方程理解数一了解数二数三行阶梯形矩阵的特点性质性质性质)２矩阵的秩的定义掌握重点例(),２定理２矩阵秩的基本性质①§３３方程组的解定理３掌握重点例３３４,(３,２定理４~理解重点定理掌握重点第四 向量组的线性相关组及其线性组合向量向量组的定义理解数一数二了解数三例线性组合线性表示理解重点定理,矩形阵等价与向量定理２及其推论,定理单位坐标向量的定义(见例§４２线性相关理解重点例P习题四:３()４~定理定理５掌握重点３义与等价定义理解数一数二数三重点例P习题四:~２,仅数学一要求３理解数一数三数二重点会§４４方程组的的性质性质性质掌握重点例P习题四:２,２２~,３量的性质:性质３性质理解重点础解系,定理掌握重点齐次非齐次线性方程组的通解掌握重点用初等行变换求解线性方程组的方法５向量空间的定义,量空间的基了解仅数学一要求P习题四:仅数学一要求向量在基下的坐标,式坐标变换过渡矩第五 相似矩阵及二次§向量的内积长度及正交性向量内积的定义和性质例两个向量正交,向量组规范正交基,正交化过程§５２方阵的特征值征向量的定义例~３特征方程特征多项式,会数一数二掌握数三特征值的性质:例特征值的性质:定理理解(数学三不作要求３相似矩阵的定义及性质定理３理解重点(数三要求掌握其性质例４~矩阵的相似对角化定理４掌握重点４定理５掌握重