2020秋高中数学人教版2-2学业质量标准检测2含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-2课时作业：学业质量标准检测2含解析第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·运城期中）下列表述正确的是（D)①归纳推理是由特殊到一般的推理;②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．A．①②③④ B．②③④C．①②④ D．①②［解析］根据题意,依次分析4个命题：对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确;对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义,正确；对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法,④错误；则正确的是①②。故选D．2．(2019·全国Ⅱ卷文,5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（A）A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙[解析］由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误。综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A．3．三角形的面积为S＝eq\f(1，2）（a＋b＋c)·r，(a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径）利用类比推理,可以得出四面体的体积为(B)A．V＝eq\f(1,3）abc（a，b，c为底面边长）B．V＝eq\f(1，3）(S1＋S2＋S3＋S4)r（S1，S2,S3，S4分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径)C．V＝eq\f(1,3）Sh(S为底面面积，h为四面体的高)D．V＝eq\f（1,3)（ab＋bc＋ac)h(a，b，c为底面边长，h为四面体的高)[解析]平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，因此四面体的体积为V＝eq\f（1,3）(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)，选B．4．已知c＞1，a＝eq\r(c＋1）－eq\r（c),b＝eq\r（c）－eq\r(c－1),则正确的结论是(B）A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a、b大小不定［解析］a＝eq\r(c＋1）－eq\r(c）＝eq\f(1,\r(c＋1)＋\r(c)）,b＝eq\r（c)－eq\r（c－1）＝eq\f(1，\r(c）＋\r(c－1)),因为eq\r（c＋1)>eq\r（c)>0，eq\r（c)〉eq\r（c－1）〉0，所以eq\r(c＋1)＋eq\r（c)>eq\r（c）＋eq\r(c－1)〉0,所以a〈b.5．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（B）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数[解析]根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)有有理根,那么a，b，c中至少有一个是偶数”时,假设应为“假设都不是偶数”，故选B．6．如果p(n）对n＝k（k∈N＊）成立，则它对n＝k＋2也成立．已知p（n）对n＝2成立，则下列结论正确的是（B）A．p(n）对所有正整数n都成立B．p（n）对所有正偶数n都成立C．p(n)对大于或等于2的正整数n都成立D．p（n)对所有自然数n都成立［解析]∵p（n）对n＝2成立，2为偶数,∴根据题意知p（n)对所有正偶数n都成立．故选B．7．将自然数0,1，2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定,从2016到2018的箭头方向是(A） [解析]从所给的图形中观察得到规律:每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说,0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A．8．（2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（D)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩［解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩,结合甲的说法，丙为“优秀”时,乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩,结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好"；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．对于等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f（1，2)（5n2－7n＋4)的判断，下列说法正确的是（BC）A．n为任何正整数都成立B．当n＝1,2，3时成立C．当n＝4和n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立[解析］当n＝1时，左边＝1，右边＝1，成立；当n＝2时，左边＝1＋4＝5,右边＝5，成立；当n＝3时,左边＝1＋4＋9＝14，右边＝14，成立；当n＝4时，左边＝1＋4＋9＋16＝30，右边＝28,不成立；当n＝5时，左边＝1＋4＋9＋16＋25＝55，右边＝47，不成立；故选BC．10．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明:（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．（2)假设n＝k(k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立,则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1，1－2)＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．由（1)（2)知，对任意的正整数n命题都成立．判断以上评述（AD)A．命题正确 B．命题不正确C．证明正确 D．证明不正确[解析]证明不正确,错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论．由等比数列求和公式知命题正确，故选AD．11．为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点,有19人会选择乙,那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是(AC）A．该班选择去甲景点游览B．乙景点的得票数可能会超过9C．丙景点的得票数不会比甲景点高D．三个景点的得票数可能会相等[解析］由已知只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，则选择乙的为9人,则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择乙的小于等于9人;若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，则选择丙的为8人，则若在甲、乙、丙只游览一个景点时，选择丙的小于等于8人，所以选择甲的一定大于等于10人．故选AC．12．“克拉茨猜想”又称3n＋1猜想,是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减半,如果n是奇数,就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1。已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为(AC）A．10 B．32C．64 D．96［解析]根据题意,正整数m经过6次运算后得到1，所以正整数m经过5次运算后得到2,经过4次运算后得到4，经过3次运算后,得到8或1(不符合题意，舍去）经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5,所以正整数m的值为64或10。故选AC．三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．（2020·大武口区校级一模)甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3，4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是__3__.[解析］由①②可知，甲取出的小球编号为2,乙取出的小球编号可能是3或4。又｜1－4｜＝3＞2,|1－3｜＝2，所以由③可知,乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.故答案为3.14．在平面几何中，正三角形ABC的内切圆半径为r1，外接圆半径为r2，则eq\f(r1,r2）＝eq\f（1，2)，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球半径为R1，外接球半径为R2，则eq\f(R1,R2)＝__eq\f(1，3)__。[解析］从平面图形类比空间图形，从二维类比三维,可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之比是3∶1.所以填eq\f(1,3)。15．如图(1)、(2)、（3）、(4)四个图案，每个图案都是由小正方形拼成，现按同样的规律(小正方形的摆放规律相同)进行拼图,设第n个图形包含f(n）个小正方形．f(n）＝__2n2－2n＋1__.［解析］因为f(2）－f(1)＝4＝4×1,f（3)－f（2）＝8＝4×2，f（4)－f（3）＝12＝4×3,f（5）－f（4）＝16＝4×4，…由上式规律，所以得出f(n＋1)－f（n）＝4n.因为f（n＋1)－f（n）＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n）＝f(n－1)＋4（n－1)＝f(n－2)＋4（n－1)＋4(n－2）＝f（n－3）＋4(n－1)＋4(n－2）＋4（n－3）＝…＝f(1)＋4(n－1）＋4(n－2)＋4（n－3）＋…＋4＝2n2－2n＋1.16．设有通过一点的k个平面,其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f（k)个部分,则（k＋1)个平面将空间分成f（k＋1)＝f（k）＋__2k__个部分．[解析]由题意，可知一个平面能把空间分成2个部分,即f（1)＝2，两个相交平面可以把空间分成四4个部分,即f（2)＝4，若第三个平面和前两个平面经过同一个单，且三个平面不经过同一直线，则这三个平面可以把空间分成8部分，即f(3)＝8，……则k个平面时，再添加1个平面，与其它的k个面由k条交线,k条交线将k个平面分为2k个部分,每一部分将其所在的空间一分为二,所以f（k＋1)＝f(k）＋2k。四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知a＞0,b＞0用分析法证明：eq\f(a＋b，2）≥eq\f（2ab,a＋b).[解析]因为a〉0，b〉0,要证eq\f（a＋b,2）≥eq\f(2ab，a＋b)，只要证，（a＋b）2≥4ab，只要证（a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故eq\f（a＋b,2）≥eq\f(2ab,a＋b）成立．18．（本题满分12分）已知函数f（x)满足下列条件：（1）f(eq\f(1，2）)＝1，(2)f（xy）＝f（x）＋f（y），（3）f（x）的值域为[－1,1]．试证明：eq\f(1,4)不在f（x)的定义域内．[证明］假设eq\f（1，4）在f(x)的定义域内，因为f（xy)＝f（x）＋f(y)，所以f(eq\f(1,4））＝f（eq\f（1，2)×eq\f(1,2））＝f(eq\f(1，2））＋f（eq\f（1，2))＝2。又f（x)的值域为［－1,1］，2∉[－1,1]，所以eq\f(1,4）不在函数f(x)的定义域内．19．(本题满分12分)先解答(1），再通过结构类比解答(2）．(1）求证:tan（x＋eq\f(π,4））＝eq\f（1＋tanx,1－tanx);(2）设x∈R,a为非零常数，且f(x＋a）＝eq\f（1＋fx，1－fx），试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．［解析]（1)证明：根据两角和的正切公式得tan(x＋eq\f（π，4))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4）,1－tanxtan\f(π,4))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝eq\f(1＋tanx，1－tanx）,即tan（x＋eq\f（π,4））＝eq\f（1＋tanx,1－tanx)，命题得证．(2）猜想f(x)是以4a为周期的周期函数因为f（x＋2a)＝f[（x＋a）＋a]＝eq\f（1＋fx＋a,1－fx＋a）＝eq\f(1＋\f(1＋fx,1－fx)，1－\f(1＋fx,1－fx))＝－eq\f（1，fx).所以f(x＋4a）＝f[（x＋2a）＋2a]＝－eq\f(1,fx＋2a)＝f（x)．所以f（x）是以4a为周期的周期函数20．(本题满分12分）(1）当x＞1时，求f(x)＝eq\f(x2,x－1）的最小值．（2）用数学归纳法证明：eq\f（1，n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)≥eq\f（1，2）(n∈N＊）．［解析](1)当x＞1时,x－1＞0，f（x)＝eq\f(x2，x－1)＝eq\f(x2－1＋1,x－1)＝eq\f(x＋1x－1＋1，x－1）＝x－1＋eq\f（1,x－1）＋2≥2eq\r(x－1×\f（1，x－1）)＋2＝4当且仅当x＝2时等号成立，故f(x）＝eq\f(x2，x－1)的最小值为4.(2）证明：①当n＝1时，左边＝eq\f(1，2)≥eq\f（1，2），所以当n＝1时，命题成立；②假设当n＝k时，命题成立则有eq\f(1，k＋1)＋eq\f（1,k＋2）＋…＋eq\f（1，2k）≥eq\f(1,2)（k∈N＊），则当n＝k＋1时,左边eq\f（1，k＋2）＋eq\f(1，k＋3)＋…＋eq\f(1，2k＋2)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1）＋\f（1，k＋2）＋…＋\f(1，2k))）＋eq\f(1，2k＋1)＋eq\f(1，2k＋2）－eq\f(1，k＋1）≥eq\f(1，2)＋eq\f（1，2k＋2)×2－eq\f(1，k＋1)＝eq\f（1，2），所以当n＝k＋1时，命题也成立,综上①②可知原命题成立．21．（本题满分12分）椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0）有如下命题:AB是椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点，则kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)为定值．那么对于双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）,则有命题：AB是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，猜想kOM·kAB的值，并证明．[解析］设A(x1,y1)，B（x2,y2），M（x0,y0),则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝\f(x1＋x2,2),，y0＝\f（y1＋y2,2)。））kOM＝eq\f（y0,x0）＝eq\f（y1＋y2,x1＋x2），kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2）,即kOM·kAB＝eq\f（y1－y2y1＋y2，x1－x2x1＋x2)＝eq\f(y\o\al（2,1)－y\o\al(2，2),x\o\al（2，1)－x\o\al(2，2）)。将A、B坐标代入双曲线方程eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1中可得：eq\f（x\o\al（2,1),a2）－eq\f（y\o\al（2，1)，b2)＝1①eq\f（x\o\al（