高考数学必考点解题方法秘籍求异思维理

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：求异思维

所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式.求异思维又叫发

散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点.因此，用求异思维解题有利于培养

思维的多向性、灵活性和独特性.

在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面.

(一)变换思维方向

解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无

路”的地步.这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈

现“柳暗花明又一村”的美景.

例1已知点A(l,-1)、B(7,2),以A为圆心、8为半径作。A,以B为圆心，6为半径作。

B,求这两个圆外公切线交点P的坐标.

【分析】如图1—4.解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交

点坐标.但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境.如果能换一个

角度思考，联想到公切

线的交点石羞心线上，BPP.B.AH点共线，且黑即两制车

|rA|o4

径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解.

【解】如图1—4,设MN是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP,则A、B、P三

点共线，再连结AM、BN,则AM_LMP、BN±MP.

二BN/7AM.

从而翳降2

-B-P---一一3

PA4'

设点P的坐标为(x,y),则由线段定比分点公式，得

3

7-7Xl

B=------^—=25,

1-4

3.

2-7X(-D

4=11.

13

A

故点P的坐标为(25,11).

例2如图1—5,直线y=kx+b与圆x2+y2=l交于B、C两点，与双曲线x2-y2=l交于A、D

两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值.

【分析】如图1—5,解本题的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手,先计算出|AB|、|BCL

|CD|(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值.但由于线段AB、CD的端点不在同一曲

线上，从而上述解法运算相当麻烦.如果变换思考角度，由|AB|=|CD］出发，可得线段BC与

AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再

由|Bq=w|AD|,可求出k.曲值.

【解】如图1—5,把丫=1«+1)代入x2-y2=l中，整理，得

(l+k2)x2+2bkx+b2-l=0

①

从而由韦达定理，得

2bk

把y=kx+b代入x2-y2=l中，整理，得

(l-k2)x2-2bkx-(b2+l)=0

②

42bk

-

,/|AB|=|CD|,

AD与BC的中点重点.

■十

22

bkbk

V

解之,得k=0或b=0.

当k=0时,方程①化为x2=l-b2,

”土71-b\TJl|Bq=2Vt-ba.

为1=1+bl二工=土Jl+bL

于邓D[=2jl+bL

1-------2/-------

由已知.制Bq=q|j叫，

解之,斜=士竿.

国电当b=08t士等.

故k=0,b=t或上=~b=0.

(二)一题多解

在解析几何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式.

例3已知直线1过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-l,

0)和点B(0,8)关于1的对称点都在C上，求直线1和抛物线C的方程.(1994年全国高考理

科试题)

【分析1】设直线1的方程为y=kx,抛物线C的方程为y2=2px(p>0),先求出A、B关于1

对称的点A，、B，的坐标(用k表示)，再代入抛物线C的方程中，可得k、p的方程组，最后

解方程组即可.

【解法1】如图1-6.由已知可设抛物线C的方程为

y2=2px(p>0).

图1-6

由于直线1不与两坐标轴重合，故可设1的方程为

y=kx(kW0).①

设A'、B'分别是A、B关于1的对称点，则由A'A_L1可得直线AA'的方程为

y=-^-(B+1)②

将①、②联立，解得线段AA'的中点M的坐标为

(一备尸却，

于是，由中点坐标公式.可待点A,的坐标为《占「言

同理，点B，的坐标为(黑.芸苦).

分别把A'、B'的坐标代入抛物线C的方程中，得

8(k'-Dp2p-16k&

l-pTFfTTF®

由③・④，消去P,整理，得

k2-k-l=0.

⑤

又由④知k>

0.

⑥

TJW©.©,辘=竽♦

牲=警长3中，得

24

P=-'

故直缰的方程为7="*.据物线或方程为

/="

y5

【分析2】m1-7,设直线1的倾斜角为a,则1的斜率为

k=iga.由对需性抑/A，8,=3，从而利用三角商数的定义，可

用a的三角函数表示点A'、B'的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同解法1.

图1-7

赵跄21JMt-7,设直绸的旗角为ag#。/8,剜

1的斜率为k.

V|0A,|=|OA|=1,

|OBZ|=|0B|=8,ZxOAf=-(n-2a),

”,兀兀n

/xOB'=--2(—-a)=2a-->

・・・由三角函数的定义，得A'的坐标为

xA=10A'IcosNxOA，=-cos2a,

l-tg2aka-1

yA=|OA'|sinZxOAz=-sin2a

2tga2k

16k

/

zB弓OB，|cos^sOB=8sin2a=[十,.

77

7B=fOBlanZsOB=8(c<»2a)=-

以下同解法1,从略.

S帕1irtHi-7,设/1OB，=e,«ZiOAf=8

又|0B'1=8,|0A'1=1,从而此题可设极坐标方程去解.

【解法3】如图1-7,以0为极点，0x为极轴建立极坐标系，把X=pcos。代入方程y2=2px(p

>0)中，得抛物线的坐标方程为

2pco.8

(P>叽

P=sin'0

由已知可设点B'的极坐标为(8,a)、A'的极坐标为(1,

a-y),把它们分别13酬线方程中，得

'&>83a

・

sm1a°-8.

n

2pco<a--)

fa-y)

[pcosd=4in'a.

即<c

2pan^=co«3a.

稍异.15<g，a=Q.-,-Iga=T.

o2

又0<a<3，=4，83a

4J，

4ana2^5

从而P=-----7T---Z-.

cos。5

V直线1平分/BOB',

直线的1财府为0+5卜。）=知+当.

兀

1JTl・c8（a+亏）

于是直缉的斜板=蟠J（a+T）l=-------------/

或。*—）

1+疝曲赤+1

cosa2-"

故直线I的方程加="*,It物线充方程为力=华X.

期折经Jtoffll-7,搬物缥河设其参数方程为卜"芋''.

卜-2pt

耕瞅,用：，ZptJ.B，（第，砧）（t1V0）,惠由|OA，|-L|OB1

=8,0Az±0Bz列出p、tl、t2的方程组，进而去求解.

KM&4JJWB1-7.黜峥勃甥fc渊“*"产,G>>Q）.

卜-2pt

.B，的坐标可设为（2闺・率J.（第，砧）（如<0）.

V|0Az|=|0A|=l,|0Bz|=|0B|=8,

ft*：尸+（2^=1①

（2l申'+（W=*②

又由0A'_LOB',得kOA•kOB=T,

W舞,舞=』

闵戕人上龙整理，杀”之.

Xti<0.工11=-亨・

4M

把它代人①中，=ftp=竽.

这时，A，的坐标为卓-喳.

从而x=|步,

=-J=¥.

K*JcN

故直线I的方程却="*,抛物线或彼力/="£

MJ

【分析5】如图1-7,由于|0A，|=1,|OB'|=8,NA'

OB'二等，.可考启用复雌去解.

【解法5]如图1—7.把直角坐标系视为复平面，设点A'

JI

对颐Mft为勺+力3爆由|OAr=L|OB"=8./A，OB，=—,

得点B'对应的复数为(xl+yli)8i=-8yl+8xli.

；.点A'、B'的坐标为

(xl,yl)、(­8yl,8x1).

把它们分别代入抛物线C的方程y2=2px(p>0)中，得

y?=2px1①

&y=2p(与j②

由②+①,可锹巧，=团，=2

*1

即kOA'=-2,又|0A'|=1,

42后

•■7・了.71--j--

再代入①中，痴=竽.

以下同解法4,从略.

【分析6】本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解.

Oft法61irtHl-7,设AJB'的坐标分别为0*：,2pQ.

(2^.剜由NA，OB'=%•.|OA?|=L|OB，|=8»复

数乘法的几何意义，得

(2pt?+2ptli)a=2pt^+2ptai.

由复数相等的条件，得

1%：=2pta，

-I6pti=2pt^.

消去P，解得t2=2.

从而B'的坐标为(8p,4p).

|OB'|=J(8p)+(4p)』,

.2

•・

•.•线段BB'的中点C的坐标为(4p,2p+4),

雉=空・”■竽.

qpzpz

故宜缚的方程力广挈*,Hi物线充方程加J丝M.

【分析7]在解法5中，利用复数乘法的几何意义，发现了A'、B'坐标之间的关系式,

从而获得简解.如图1—8,点B'与点A'的坐标关系也可用平面几何法得到.

【解法7】如图1-8,作A'CLOx于C,B'DLOx于D.设A'、B'的坐标分别为(xl,

yl)、(x2,y2).

ZB;OD+NA'0C=90°,

二RtAAzCOsRt/XODB'.

.|<»1|0D||B-D|

"|OA1|Aiqoc,

又|0A'|=1,|0B'|=8,

|OD|=8|A，C,|BZD=8OC.

于是x2=-8yLy2=8x1.

以下同解法5,从略.

【解说】本例给出了七种解法.解法1是本题的•般解法，它的关键是求点A、B关于1的

对称点的坐标.解法2是三角法，它

抓住/A'OB'=y,利用三角画数的定义去事A'■B'的坐标.解

法3是极坐标法，巧妙利用了A'、B'的特殊位置.解法4是利用抛物线的参数方程去解的.解

法5和解法7是从寻找A'、B'的坐标关系式入手的，分别用复数法和相似形法获解.解法

6把参数法与复数法结合起来，体现了思维的灵活性.总之，本例运用了解析几何的多种方法,

是对学生进行求异思维训练的极好例题.

(三)逆向思维

在人们的思维活动中，如果把A-B的思维过程看作正向思维的话，那么就把与之相反的思维

过程B-A叫做逆向思维.

在平常的学习中，人们习惯于正向思维，而不善长逆向思维.因此，为了培养思维的多向性

和灵活性，就必须加强逆向思维训练.在解题遇到困难时，若能灵活地进行逆向思维，往往

出奇制胜，获得巧解.

在解析几何中，培养学生逆向思维能力，要注意逆用解析式的几何意义、逆用曲线与方程的

概念和逆用圆锥曲线的定义.

例4设a、b是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,nGZ},B={(x,y)|x=m,y=3(m2+5),

meZ},C={(x,y)|x2+y2W144}是平面xOy内的点焦，讨论是否存在a和b,使得:(l)APB

工6(2)(a,b)GC.(1985年全国高考理科试题)

【解】由已知可得，a、b是否存在等价于混合组

(oa+b=+5)

是否有斛.

J*b<44

以上二式的几何意义是：如图1-9,在平面aO'b中，na+b=3(n2+5)是直线，a2+b2W144

是圆面(即圆x2+y2=144的边界及其内部).因此，这个混合组有解的充要条件是直线na+

b=3(n2+5)与圆a2+b2=144有公共点，即圆心0,(0,0)到这条直线的距离dW12.

从而紫¥<2

即(n2+5)2W16(n2+D,

二n4-6n2+9<0,

即(n2-3)2W0.

又(n2-3)220,

n2=3.这与n是整数矛盾.

故满足题中两个条件的实数a、b不存在.

【解说】这种解法中，把混合组翻译成几何语言（直线和圆面是否有公共点）就是解析法的

逆向思维.教学实践表明，学生普遍认为这种解法难想，其实，“难就难在逆向思维”，普遍

认为这种解法巧妙，其实，“巧就巧在逆向思维”.

习题1.2

1.已知圆Cl：（x+l）2+（y-2）2=4与圆C2：（x-3）2+（y-4）2=25,求它们外公切线交点P的坐

标.

2.已知直线1过点P（l,4）,求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程.（要求至少5种解

法）

3.己瓠+叽JUB"fl上的网点,线段AB

粉够阍6奸躯3ra

aa.

（要求至少4种证法）.（1992年全国高考理科试题）

4.长度为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M,求点M到y轴

的最短距离，并求此时点M的坐标.（要求至少4种解法）.（1987年全国高考理科试题）

5.已知2a+3b=5,求证：直线ax+by-5=0必过一个定点.

6.ES^IacosO-l-ban8=c；co«p+ba.iw=c,^4,―z—#匹十—（k

4

_・+8kW-abc

EZ)t---/,^HEi

44b—9

cos---an---cos---

222

7.已知三个集合M={(x,y)|y2=x+个,S={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},P={(x,y)|y=ax

+m},问是否存在正整数a、m使得(MUS)CP=<|)?(其中。表示空集)

习题1.2答案或提示

I.翻h,式弓，

2.-*J=l(a>0,b>Q)，第由吒L

abab

=1.由Tb='^>0.从15a>l.a+b=(a-l)+-^-r*5>

a-la-l

2j(a-l)・(Fp+5=9.于是当a=3,b=6时，&+喇爆卜值9,故1

=雌2,设m=a+b,制皿=急+与.从而

36a-l

式法可19m>9.|^^3)由！+?=l,券(a-l)9b-4)=4,从而a+b-

ab

(a-1)+(b-^+5>2J(a-l)(b-^9+5=9.雌4ia+b=(a4-10(-

ab

=5+-+^>5+2</^•=9.由，+£=l(a>0

abfababa

4n

=C8‘0>—=in,6(O<0<—),JQla+b-®eca6*4c3ca0-5+tga

Q2

9+4dgi0>5+Rig'8•4c、8=9.

3.证法1：设A、B的坐标分别为(xl,yl)和(x2,y2),

■由己知,得K1力巧.由|PAHPB|・=(Ea-K,)3+ya，

又y；=+二*3y：=/二4,所以2(吗-(寸Y)

aaa.

确小=胃上・二£.再由叼<如且^女,，«-2a<

力+4<&«于是-止£<1；1c立£.蹴2：设AM，汨、B(吗「0.

aa

|PA|=r,则圆P的方程为(x-x0)2+y2=r2,与椭圆方程联立,消去y,得

—J—M3-2rji!+^0+ba-ra=0,由韦达定理.U«i*«a■

aa-b

证法3.被纥段AB的申点M6,，,剜必讣

把A、B的坐标代入椭圆方程中，后把所

舸无相隗得2・%.又由AB1L可待二^・)=-1,从而

，a«-«•J

•于工又由二—*加的

1K蟒耀为P=7—A、BW姗分别为(P,g

l-ecMDact

)、(P2,02),点P的坐标为(t,0),则t=x0+c.由|PA|=|PB|,可得

©.又由Pl=l-e*6j

P；-2Pita»e=Pa-2P)too>8iPi

%*%=：%一%=9立，初1M可得

t=«P'"又i^<P

aJ-b')/a’-b'

V--——<«-<-——

aa

4.tt%li%A^P7i)>B(xJfya)>My：=4.力=!■由|AB|

=3可得弧-h)p+Oi+h)1=9.设i国力,则*=J(*i+a-J

a《

(y?+力=3加一力尸+毓+9>+ll>：P7(y「ya)；Ky1+%yF

-1}q.3gt值河的标崎士阴雌2册|帆派由

|AB|=3ftH=A(yJ+^),可ft4(y1yJ+2力力+9-2*-4丁-Q由△

X.帝-l6(9-2z-41)X所%

K・*■+1CMa

的3{M六曲砸飞刖'一

.°=为''精去％雨’=5.(专"*77^〉・如*4

915

/)+T7Z^T】>GQX37-7-*1^，)《1由|&卜3.崛

1**tyQ*r

A(yJ+-3OM0,ye+3iin9),所吸y.+Sin。>=7：+3c©«。.从而加

3C«Q-9an.9_l^e-3sin3e).y),Ik-yj*^a»0

7(9iQaO+^~-D*(2小向：O*

4sin«4]|ano4

5.逆用点在直线的概念，得定点为(2,3).

6.在直角坐标系中，由已知两个等式可知，直线ax+by=c过点

A（co«e,最6）.又直线AB的方提为/--"%

mV-an0

lc8。„8।.8+•9-♦

重合的条件，可证得结论.

7.由于J醐纷…[务32拉斯1曲蜴吩剧为r

和J,HP=yjm£N,ttm.-2.由

\2-y+2-a=。.当△=4aa-8a+l<0,Vae（l-冬.I+与

y=s*l22

y-«+2,

时,方程缆无瑕解，Xa6N,故a=l,这年,方程蛆・15

也无实数解.故a=l,m=2.

裱奉后比2先觉，

・■、.

立嚎浮时道已隹X

分享一些学习的名言，让学习充实我们的生活:

1、在学习中，在劳动中，在科学中，在为人民的忘我服务中，你可以找到自己的幸福。一提连斯基

2、读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。一毛泽东

3、人不光是靠他生来就拥有一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己。一歌德

4、正确的道路是这样：吸取你的前辈所做的一切，然后再往前走。一列夫•托尔斯泰

5、夫学须志也，才须学也。非学无以广才，非志无以成学。一诸葛亮

6、科学研究好象钻木板，有人喜欢钻薄的；而我喜欢钻厚的。一爱因斯坦

7、学习必须与实干相结合。一泰戈尔

8、学而时习之，不亦说乎？一孔上

9、鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。一李苦禅

10、求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。一加菲劳

11、知识有如人体血液一样的宝贵。人缺少了血液，身体就要衰弱，人缺少了知识，头脑就要枯竭。一

高士其

12、与肝胆人共事，无字句处读书。一周恩来

13、情况是在不断的变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。一毛泽东

14、科学的自负比起无知的白负来还只能算是谦虚。一斯宾塞

15、少年读书，如隙中窥月：中年读书，如庭中望月；老年读书，如台上玩月。皆以阅历之深浅，为所

得之深浅耳。一张潮

16、青年是学习智慧的时期，中年是付诸实践的时期。——卢梭

17、读书百遍，其义自见。——《三国志》

18、读书志在圣贤，为官心存君国。——朱用纯

19、德可以分为两种：一种是智慧的德，另一种是行为的德，前者是从学习中得来的，后者是从实践中

得来的。一亚里士多德

20、虚假的学问比无知更糟糕。无知好比一块空地，可以耕耘和播种；虚假的学问就象一块长满杂草的

荒地，儿乎无法把草拔尽。——康因

21、人的天才只是火花，要想使它成熊熊火焰，哪就只有学习！学习。一高尔基

22、书到用时方恨少，事非经过不知难。一陆避

23、书籍是朋友，虽然没有热情，但是非常忠实一雨果