高考数列真题选及答案

高考数列真题选及答案

1.在各项都为正数的等比数列｛%｝中，首项%=3,前三项和为21,贝1」4+%+%

()

A.33B.72C.84D.189

2.设无穷等差数列｛aj的前n项和为S.

(I)若首项,=5，公差d=i，求满足工2=(S*)2的正整数k；

Zk

(II)求所有的无穷等差数列｛4｝,使得对于一切正整数k都有/=(sj成立.

3,设数列｛aj的刖n项和为S”，已知4尸1,&=6,a=11,且(5〃-8)S“+]-(5〃+2)S”

=M+B,〃=1,2,3,…，其中A,B为常数.(I)求A与B的值；

(II)证明数列｛4｝为等差数列；

2

4、已知正项数列｛a“｝,其前n项和Sn满足10S“=ait+5ait+6,

且《必必5成等比数列，求数列｛4｝的通项

5、已知正项数列｛4｝,其前n项和Sn满足10S“=W+5a”+6,

且田，的，田5成等比数列，求数列｛*｝的通项斯.

6、在数列｛%｝中，％=1,2%=（1+3氏.（I）求｛6,｝的通项公式；

n

（II）令b"=a"a“,求数列收｝的前〃项和S“.（Ill）求数列｛a,,｝的前〃项和7；.

7、设数列｛aj的前n项和为Sn，且对任意正整数n,an+Sn=4096.

（1）求数列｛a>,｝的通项公式：

（2）设数列｛logzaj的前n项和为对数列｛T/,从第儿项起Tn<-509?

8、已知数列｛可｝,其中q=1必=3,2a“=a“+i+a“_1（〃/2），

记数列｛4｝的前〃项和为S“，数列｛InS,,｝的前.〃项和为U”，求

9、在等差数列｛4｝中，6=1,前〃项和S“满足条件&=3色,〃=1,2,…,

S.,n+1

（I）求数列｛4｝的通项公式；

（II）记么=a“p%（p>0）,求数列也｝的前〃项和Tao

10、已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“=p〃2-2〃+q(p,<?GR),weN+.

(1)求g的值；(2)若q与%的等差中项为18,"满足a“=2唾2人,

求数列也｝的前〃项和.

11、数列｛4｝的前〃项和记为5“,％=l,a“+|=2S“+1(〃N1)

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)等差数列也｝的各项为正，其前〃项和为T.，

且n=15,又卬+4，4+%，4+4成等比数列，求上

12、已知数列｛册｝的前〃项和为S“，«,=1,且3a2s“=3(〃为正整数).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记S=%+%+…+%+…・若对任意正整数”，kS4S“恒成立，求实数k的最

大值.

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loC

2.解：(I)当q=3,d=l时，

2

〃(〃一1)3n(n-l)1

S,,=na,H------a=-n-\-------=—n2+n

n12222

由为=(Sj,得权4+/=(权2+Q2,

即叫卜一i)=o又女。0,所以左=4.

(ID设数列{a}的公差为d,则在S“2=(S,,)2中分别取k=l,2,得

-2

[5,=(5,)2叩为…⑴

2

[54=(S2)J4卬+^^d=(2q+竽d)2(2)

、乙乙

由(1)得。[=0或%=1.

当q=0时,代入(2)得d=0或d=6,

若q=0,d=0,则%=0,S„=0,从而S*=⑸)?成立

若q=0,d=6,则%=6(〃—1),由S3=18,。3)2=324,S“=216知

.%。区)2,故所得数列不符合题意.

当q=1时，代入⑵得4+61=(2+4)2,解得[=0或4=2

若q=1,1=0,则%=1,Sn=〃，从而=(S*)2成立；

若q=l,d=2,则%=2n-1,Sn=1+3+…+(2〃-1)=/,从而S=(S”)？成立.

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{a}:a=0,即0,0,0,•••；

②{a}:an=l,即1,1,1,•••；

③®}:an=2n—l,即1,3,5,•,,,

3.解：(I)由已知，得S]=a[=1,S,=q+。，=75=卬+a,+%=18.

由(5〃-8)S“+i-(5〃+2)S„=An+B知

-3S,-7S,=A+B,口14+8=-28,

V即4

2S3-12S2=2A+B,[2A+B=-48.

解得A=-20,B=-8.

(II)方法1由(I)得，5(〃-8电+]-(5"+2电=-20"-8,①

所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)5n+1=-20n-28.②

②—①，

得(5〃-3电+2-(1On-l)Sn+l+(5〃+2电=-20.③

所以(5〃+2电+3-(1。〃+9)5,1+2+(5〃+7)S,M=-20.④

④—③，得

(5〃+2)S,,+3-(15〃+6)S„+2+(15n+6)S,用一(5〃+2)S“=0.

因为an+l=S„+l-S„

所以(5〃+2)*+3-(1°〃+4)氏+2+(5〃+2)a„+1=0.

又因为5〃+2。0,所以a,.-2a“+2+a“+i=0,

即氏+3一%+2=a„+2-a,l+l,n>\

X.%-6=5所以数列aj为等差数列.

方法2

由已知，S|=%=1,又(5〃-8)5什|一(5〃+2)Sn=-2Qn-8.且5〃一8H0,

所以数列｛SJ是惟一确定的，因而数列｛%｝是惟一确定的.

设a=5〃-4,则数列｛b,,｝为等差数列，前n项和Tn=亭2.

于是(5〃—8)T„+I-(5n+2)T„=(5n-8)(〃+1)黑+2)_⑺+2)n(5n-3)

由惟一性得b„=a„,即数列｛%｝为等差数列.

2

4、解：10Sn=an+5an+6,①

...10a]=a/+5a2+6,解之得a)=2或a(=3.

乂10Sn-i=an-「+5an-2+6,(nN2),②

由①一②得

=

1Oan(anan—])+5(anan—)即(an+an—))(anan—।5)=0.

*.*an+an-i>0,an—an-i=5(n22).

当5=3时,a2=13,an=73,a1,a2,an不成比数列，a^3.

当a『2时一,a2=12,an=72,有a3?=aia2,

♦•a]=2,••np—5n3.

2

5、解：V10Sn=an+5an+6,①

10a]=aJ+5ai+6,解之得aj=2或ai=3.

乂10Sn-i=an-i2+5an-i+6(n》2),②

由①一②得

=

10an(an—an-i)+5(3.n—an-1),即(un+an-1)(an-3n-i-5)=0.

,an+an-i>0,••^n-^n_l=5(IIN2)

ai=30t,a2=13.an=73,aPa2,不成等比数列,a】W3.

当ai=2时,a2=12,an=72,有

••a]=2，••2n=5n3.

6、解答：(I)由条件得又〃=i时，牛=1,

(n+1)22n2n2

故数歹lj｛冬｝构成首项为1,公比为1的等比数列.

n2

从而牛=白，即

n22

(〃+l)2n22H+12H+1

(II)由4=得S.=|+?+…-I-------,

2〃2"2"2"

1352n-l2n+1

—Sr=—+—H-----F------+-----

222232"2/I+l

两式相减得：<S“=|•+2$+g+・・,+J)—1所以S“=5-好

222222

(III)由SH=(〃2+〃3+…+Q〃+1)_；(〃1+。2+,.•+〃〃)

得乙一卬+4+「；1,=5-

n2+4〃+6

所以7；=2s“+2q-2a用=12-

2'i

7、解⑴•••an+SI1=4096,

/•ai+Si=4096,a尸Siai=4096a(=2048.

当nN2时,

—

an=Sn—Sn-i=(4096—an)—(4096—an-i)=an-ian

.•.区二an=2048(：)i.

«„-i22

(2),.,log2an=log2[2048(；厂上12—n,

2

.\Tn=1(-n+23n).

23

由T/—509,解待n>+V460T)

2

而n是正整数,于是,nN46.

二.从第46项起1/一509.

8、解：(I)由题意，｛%｝是首项为1,公差为2的等差数列

前〃项和S,,=l+l+2(〃-l).“=“2,

n2

2

InSn=In7?=21nn

=2(lnl+ln2+…+ln〃)=21n(〃!)

9、(I)解法1:设等差数列LI的公差为d.由条件知

S]=%=1,S2=3S]=3,a2=S2—Sj=3—1=2.所以4=。2一〃1=1,从而

an=l+(n-1)•!=n,=1,2,

解法2：设等差数列｛%｝的公差为八

2〃+"l)d

s.〃+1»〃+i

整理得[2/+n-1-(2n2-n-l)]d=2n,B|J2nd=2n.

所以d=1.从而，an=l+(n-l)<l=n,n=1,2,….

an

(H)解：由(I)得=anp=np〃,

n

/.Tn=+%+,••+/?〃=p+2P2+,••+("-l)p'i+np.①

当p=l时，由①式得T”=1+2+…+〃=〃(〃；D.

当Pw1时,在①式两边同乘以P，得

pTn=p2+2p3++(〃-l)p〃+/卯”+1.②

①-②得

/I12.3一.・Ic”一〃+1P(l—P)n+1

(1-p)Tn=p+p+p++p—np=-----------np

l-p

p(l-p")np"[

T„^^一

(1-pY1-p

n(n+1)

综上所述：T"=<

p(l-p")W

(l—p)l-p

10>(I)解法一：当n=l时，ai=Si=p-2+q,

22

当n22时，an=Sn-Sn.]=pn-2n+q-p(n-1)+2(n-1)-q

=2pn-p-2.

••・｛aj是等差数列，•••p-2+q=2p-p-2.，q=0.

解法二：当n=l时，

a]=S]=p-2+q,

当n当2时,

2

an=Sn-Sn.i=pn-2n+q-p(n-1)~+2(n-1)-q=2pn-p-2.

当nN3时，

an-an.|=2pn-p-2-[2p(n-1)-p-2]=2p,

a2=p-2+q+2P=3p-2+q,又a2=2p,2-P-2=3P-2,

所以3P-2+q=3p-2,得q=0.

(II)解：I,a3=3；&,.^.a3=18.又a3=6p-p-2,6p-p-2=18.

4a3

p=4..*.an=8n-6.又an=21og2hn>得bn=2',

.,.bi=2,绍=鼻==24=16,即｛bn｝是等比数列.

所以数列｛bn｝的前n项和Tn=2(1T6")=2(16/).

1—1615

11、解:(I)由％=2S“+1可得%=2S,T+1(〃N2),

两式相减得4+i-a”=2an,an+l=3an(n>2)Xa2=2S,+1=3%=3q

故｛为｝是首项为1，公比为3得等比数列.•.%,=3i

(II)设出｝的公差为d由与=15得，可得4+4+4=15,可得a=5

故可设仇=5-d也=5+d又q=1,4=3,4=9

由题意可得(5--1)(5+—9)=(5+3『解得(1]=2,(12=10

等差数歹ll｛b”｝的各项