高考试题选-函数4

总题数：22题

第67题（2004年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）上海卷）

题目

20.已知二次函数尸£3的图象以原点为顶点且过点（1,1）,反比例函数片£（力的图象与直线产片的两个

交点间距离为8,八上）二£（»+£（».

⑴求函数FG）的表达式；

（2）证明：当a>3时，关于x的方程f'（x）=/（a）有三个实数解.

答案

20.［解］⑴由已知，设f（x）:&式由⑴=1,得5=1,・"（才）=上

k

设分（x）=1（攵>0）,它的图象与直线*x的交点分别为

A#,&）,B（一反，一a）,

8

由|幽=8,得A=8,・••笈（力=>.

8

故f（x）=x+^.

88

88

即x=一/+才+。.

88

在同一坐标系内作出£(才)=1和公5)=-/+,+。的大致图象，其中EJ)的图象是以坐标轴为渐近线，且

8

位于第一、三象限的双曲线，工(才)的图象是以(0,孑+。)为顶点，开口向卜•的抛物线.

因此，E(x)与£3的图象在第三象限有一个交点，

即F(x):丹a)有一•个负数解.

8

又・・・£(2)二4,£(2)二才+。-4,

8

当a>3时，/(2)—£(2)=，+。-8>0,

・••当a>3时，在第一象限£(x)的图象上存在一点(2,工(2))在加(x)图象的上方.

・••力(x)与EG)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.因此，方程/tr)=f(a)有三个

实数解.

88

［证法二］由f(x)=f(a),得/+r=，+a,

8

即(工一力(户口一女)二0,得方程的一个解用二a

8

方程x+a—Bi=o化为苏+才入-8=0,

由a>3,*=d+32a>0,得

-a2-Ja4+32a-a2+V^4+32(7

XF2a,桁2a

Vx2<0,吊>0,...天/小，且加金才3.

-a：+J。'+32日

若矛产照，即a=2a

则3，=J。+32a,.=4a,

得a=0或京福"，这与a>3矛盾，.•.rW才3.

故原方程有三个实数解.

第68题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))

题目

1_

17.在△,中，角4、B、。所对的边分别为仇6、。，且cosa3.

B+C

-2-

(I)求sin2+cos2J的值；

(n)若a=^,求be的最大值.

答案

17.本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力.

B+C

-2~

解(I)sin"+cos2J

=2[1—cos(aO]+(2cos2/4—1)

2_

=2(l+cos力)+(2COS2/J—1)

2_12

=2(1+3)+(9-1)

=-9.

b2+c2-a21

(II)v2bc=cosi=3,

2

・，・3bc^lj^c—a^2bc~a,

3

2

・・・0cW4a,

又汗止,

9

・・,AW4.

399

当且仅当加ml时，bfZ,故be的最大值是2.

第69题（2004年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）浙江卷（新课程））

题目

20.设曲线尸e"（X20）在点"（心屋’）处的切线，与不轴、y轴所围成的三角形面积为S（方）.

（I）求切线/的方程；

（II）求S（力的最大值.

答案

20.本题主要考查函数、导函数、不等式等基础知识，同时考查分析、推理和对基础知识的理解运用能力.

解（I）因为尸（x）=（e-3f=-e-\

所以切线/的斜率为一eT

故切线1的方程为y-e't=-e-t（AT-t）.即e"y—e[£+]）=0.

（II）令y=0得产什1,

又令产0得%/'(Z+l),

所以S(治=2(t+1)•e^r(t+1)

=2(r+i)V；

]_

从而S'(t)=e(1一t)(1+t).

・r当ze(0,1)时,S'(t)>0,

当te(1,+co)时,s'(t)<0,

2

所以S(力的最大值为5(1)=e.

第70题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))

题日

(20)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年卜.降.若不进行技术改

造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元.今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，

1

预测在未扣除技术改造资金的情况下,第"年(今年为第一■年)的利润为500(1+2*)万元(〃为正整数).

(I)设从今年起的前〃年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为4万元,进行技术改造后的累计纯利润

为员万元(需扣除技术改造资金)，求4、区的表达式；

(II)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累

计纯利润？

答案

(20)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识,考查运用数学知识解决实际问题的能

力.

解：

(I)依题设,4二(500-20)+(500-40)+・・・+(500一20刀)

二490〃-10*

_1_J_1

即500[(1+2)+(1+22)+・・・+(1+2*)]-600

500

=500/7-2*-100.

500

(H)见一4二(500/7—2'-100)-(490/7-10/72)

500

=10Z22+10/?—2'—100

50

=10]〃(加1)—2"—io].

50

因为函数片x(xH)—2'—10在(0,+8)上为增函数，

5050

当1W〃W3时,〃(加1)一2”-10^12-8-10<0;

5050

当〃24时—2*-10220—16—io>O.

・・・仅当〃24时，房>4

答:至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

第71题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))

题目

2x-a

(21)已知/1(xhl+Z(xCR)在区间［-1,1］上是增函数.

(1)求实数a的值所组成的集合心

(U)设关于x的方程f(x)=X的两根为X\、检试问：是否存在实数典使得不等式病+t研IZIM—及|对任意

aeA及tc［-1,1］恒成立?若存在，求出血的取值范围；若不存在,请说明理由.

答案

(21)本小题主:要考查函数的单调性、导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活

运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

4+2ax-2x2-2(r2-ax-2)

解：(I)f,解=(/+2)2=6+2)2,

在［-1,1］上是增函数,

(力/0对［—1,1］恒成立，

即V-<TX-2W0对xe［—1,1］恒成立.①

设3(x)=*—ax—2,

方法一：

①=4of土曰.

•对xe［-1,1］,r(x)是连续函数，且只有当a=i时，尸(-1)=0以及当疔一1时,，'(1)=0,

；・力二｛a|—1WaW1).

方法二:

cf-^0.

①巧2或

[^(-1)=1+<7-2<0^(l)=l-a-2<0

=OWaWl或一lWa<0

Q-lWaWl.

•.•对xe[—1,1],f(x)是连续函数，且只有当a=l时，/(-1)=0以及当行一1时,f'⑴=0,

.•.片{a|TWaWl}.

lx-a1

(n)由—+2=x，得j^-ax-2=o,

•：4=a2+8>0,

小，生是方程步一ax—2=0的两实根.

fri+X2=<7,______________

m=-2-从而|%—%|/61+弓)二4X/2;庐K

.IWaWl,|*1-四|=442+8W3.

要使不等式/+W12|小一及I对任意力及te[―1,1]恒成立，

当且仅当序+W123对任意re[-1,1]恒成立，

即/+5-22。对任意tc[-1,1]恒成立.②

设t)-ii+tm-2=mt+(ZP—2),

方法一：

②0卜(-1)=源-*-经°

lg(l)=M22+Wl-2>0

=加22或mW—2

所以,存在实数加，使不等式加斗W12|为一如对任意a^A及tG[-1,1]恒成立,其取值范围是{勿|〃?22

或mW-2}.

方法二：

当年0时,②显然不成立；

当*0时，

一例>0fxn<0

②=4o或41

g(-l)=zn2-xn-2>0[g(l)=n22+w-2>0

=网之2或ni<-2.

所以,存在实数外使不等式m+tnr^\7|>】一热|对任意a^A及[―1,1]恒成立，其取值范围是{加1川22

或卬<—2}.

第72题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))

题目

兀兀

(17)已知6sir]2a+sinacosa—2cos2。=0,aW[2,冗],求sin(2a+3)的值.

答案

(17)本小题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.

解法一：由已知得(3sin。+2cosa)(2sina-cosa)=0

O3sina+2cos。=0或2sina—cosa=0.

兀兀

由一知条件可知cos。WO,所以,即。£(2,冗).

2

于是tanaVO,，tana--3.

兀兀兀

sin(2a+3)=sin2^cos3+cos2<?sin3

73

二sinacosa+2(cos*2a—sin2a)

sinacosa屿cos2a-sin2a

22

=cosa+sina+2xcosaa+sin2a

tana也1-tan2a

2

=1+tana+2义1+由2a.

2

将tan0r=-3代入上式得

-l+(--)2—l+(--)2

sin(2a+3)=3+2x3

65

=_13+26币,即为所求.

兀

解法二：由已知条件可知cosoWO,则a#2,所以原式可化为6tai?a+tan。—2=0,

即(3tana+2)(2tana-1)=0.

兀

又•・•aG(2,n),Atan</<0.

2

/.tana--3.

下同解法一.

第73题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))

题目

(19)如图,在RtZ\4%7中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点4为中点，问尸。与BC的夹角d取何值时

BP.CQ的值最大?并求出这个最大值.

Al.B

答案

（19）本小题主要考查向量的概念,平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.

解法一：...工8j..幺C=o.

ACt:,AB

■,■AP=_^QyBP=AP-AB，CQ=AQ_AC，

；^BP.怎=万_次）.（工0_而）

.阳.2Q

^AP-AP.AC-AB+AB.AC

-^-AP.AC+AB.AP

=-^AP.（AB一记）

1_.

a^+2FQ.BC

—a+acos

故当cos，=i,即e=o（产。与3c方向相同）时，肝•最大，其最大值为0.

解法二：以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设|朗=6IAC\=b,则A[0,0),B(.c,0),<7(0,6).

S.\PQ\=2a,\BC\=a.

设点尸的坐标为(x,y),则。(一x,-y).

同,认5c=(—c,6),

:.BP=(x-c,CQ=(-x,-y-PQ二(—2%—2y).

:.BP•°°=(x—c)(—>)+y(—y—6)=—(V+/)+cx—"

PQBC

CX-by

•••3/用•函Ia2

/.cx—by^dcos8.

:・BP•‘0=-J+才cos0.

故当cos，=1,即0=0（。与比■方向相同）时，郎•最大，其最大值为0.

第74题（2004年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）湖南卷（新课程））

题目

兀兀1兀兀

17.己知sin（4+2。）•sin（4—2。）=4,。£（4,2）,求2sin*a+tana—cota—1的值.

答案

兀兀兀兀

17.解：由sin（4+2。）•sin（4—2。）=sin（4+2。）•cos（4+2。）

色11

=2sin（2+4a）=2cos4"4,

1兀兀5兀

得cos4a=2.又ac（4,2）,所以<7=12.

sin2a-cos2a

于是2sin2a+tana—cota—1=—cos2a+sinaCOSa

-2cos2a

=—cos2。+sin2cf

=—（cos2a+2cot2a）

5兀5兀

=一（cos6+2cot6）

735

二一（-2-2^3）二2后.

第75题（2004年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）湖南卷（新课程））

题目

20.己知函数f（x）=雇匕其中aWO,e为自然对数的底数.

（I）讨论函数f（公的单调性；

（II）求函数f（外在区间［0,1］上的最大值.

答案

20.

解（I）f'（x）-x（&外2）e".

(i)当a=0时，令/(x)=0,得x=0.

若x>0,则/(x)>0,从而F(x)在(0,+8)上单调递增；

若xVO,则〃(x)V0,从而f(X)在(一8,0)上单调递减.

2

(ii)当aVO时，令/*'(x)=0,得x(&户2)=0,故x=0或x=—。.

若xVO,则F(x)V0,从而/'(x)在(-8,0)上单调递减；

22

若0<x<—a，则/'8)>0,从而/•(x)在(0,一。)上单调递增；

22

若x>-a,则/'(X)<0,从而/1(x)在(一白，+8)上单调递减.

(H)(i)当斫0时，f(x)在区间［0,门上的最大值是H.=1.

(ii)当一2VaV0时，f在区间［0,1］上的最大值是/I.=e".

2

(iii)当aW-2时，f(x)在区间［0,1］上的最大值是f(-&)

第76题(2004年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)重庆卷(新课程))

题目

(17)求函数尸sin\r+2石sinxcosx-cos'x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0,九］上的单调递

增区间.

答案

(17)尸sin，K2后sin死osx-cos，

=(SID2A+COS2%)(sin2%—cos2x)+*^sin2x

sin2x-cos2x

n

=2sin(2x-6).

1_5

故该函数的最小正周期是“；最小值是一2;单调递增区间是［0,弓.

第77题(2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程))

题目

19.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一

次订购量超过100个时.，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能

低于51元.

(I)当次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(II)设•次订购量为x个，零件的实际出厂单价为2元，写出函数用的表达式；

(III)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？

(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价一成本)

答案

19.本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

解(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量

为多0个，则

60-51

%0=100+002=550.

因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.

(II)当(KxWlOO时，P=60；

X

当100〈水550时，佳60—0.02(A—100)=62-50；

当x>550时，451.

60,0<x<100,

x

^62--,100<x<500.

50

c51,x>550.

所以P=f(x)=1(x£N)

(HI)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为£元，则

,20x,0<x<100,

\22X~—100<x<500.

50

llx,x>550.

L=(P-40)产I(x£N)

当下550时，£=6000；当年1000时，11000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个,

利润是11000元.

第78题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(新课程))

题目

17.已知函数/'(x)=2sin%,(sirtY+cosx).

(I)求函数F(x)的最小正周期和最大值；

兀兀

(II)在给出的直角坐标系中，画出函数片/'(X)在区间［-2,2］上的图象.

--

I2

J1

I1

M-

-2

I

X1

JTr-IJOL-

4O-5_n

rT-L4-

-

L-IJ

|I-I--

I—

答案

17.

兀兀

(I)f(x)=2sin2户2sinxcos产1-cos2/sin2A=1+**^(sin2Acos^-cos2%sin^)

兀

=1+&sin(2x—'),所以函数F(x)的最小正周期为n,最大值为1+&.

（II）由（I）知

3兀兀兀3兀5兀

X

_T_88TT

1+&

y11—及11

兀兀

故函数尸F（外在区间［一亍，2］上的图象是

第79题（2003年普通高等学校夏季招生考试数学（理工农医类）全国卷（新课程））

题目

18.如图，在直三棱柱"。一力由G中，底面是等腰直角三角形，乙4磔90°,侧棱加产2,D、£分别是CG

与46的中点，点后在平面力加上的射影是龙的重心G.

（I）求46与平面力劭所成角的大小（结果用反三角函数值表示）:

（II）求点4到平面力近的距离.

答案

18.

解法：（I）连结"则%是应'在面力物的射影，即乙期是48与平面力劭所成的角.

Cl

设户为4?中点，连结/FC,

,:D、E分别是M、4/的中点，又如_L平面力比，

...a坦尸为矩形.

连结DF,G是△，如的重心，

1

.•.GCZK在直角三角形£/管中，肝•月％3Fth

,:ERA,.•.小6

1x71«

于是ED=&，曲召=3.

■:FUED=&,

.•.册2企,4户2行,

EG&\_如

：.sinEBG=EB=343

包

.•.45与平面力龙所成的角是arcsin3

(II)连结4〃，有嗫_

■:EDLAB,EDX.EF,又EFCAB=F,

.•.初_L平面AM,

设4到平面AED的距离为h,则Saa•足依他•ED.

又S△应形J=4

ALA.AB=^2,

_L®

S博产2AE-ED=2

2耶

：.h=2

2而

即4到平面4面的距离为

解法二：（I）连结及7,则及7是熊在面4班的射影，即N46G是48与平面月物所成的角.如图所示建立

坐标系，坐标原点为0.设CA=2a,

则力(2&,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),Ai(2a,0,2),E(a,a,

2a2a1

—，—，—

6(333).

Zi,

二“C1

A/、\\

____aa2

C?£=(333),BD=(o,-2a,i).

__22

：.GE.5D=_3^+3=0,

解得a=l.

_241

.-.^=(2,-2,2),50=(3.-3.3

).

14

―—y后

网EG-----7——=—

.•.c°s4酢网II画/81*

£

48与平面力"所成角是arccos3.

(II)由(I)有/(2,0,0),4(2,0,2),£(1,1,1),P(0,0,1).

ED=(_],i,1).(T,一i,0)=o,陷"ED

=(0,0,2)•(-1,-1,0)=0,

...£〃！平面AAxE,又£ZU平面AED,

平面4及ZL平面AAE,

又面AEDCi而AAiE=AE.

/.点4在平面AED的射影”在AEk.

AK=.，iAE,则4"=4月+A,4-2),

_________2

由4KME=0,即A+A+A-2=0,解得力=百.

——.114____276

-4^_(_33_3).14玄I一亍

2琳

故4到平面4H9的距离为3.

第80题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程))

题目

15.己知函数fCx)=cos，-2sinxcosx-sin'x

(I)求/(x)的最小正周期;

兀

(II)若代［0,2］,求F(x)的最大值、最小值.

答案

15.

(I)解:因为F(x)=COS4A—2sinAcos^r—sin'^r

=(cos,肝sin'x)(cos，-sii?x)-sin2x

兀

=cos2x—sin2尸cos(2户4),

2兀

所以/'(x)的最小正周期芹2二八

兀兀兀5

(II)解：因为0WA<2，所以4W2户4w4n.

兀兀兀'万

当2代4=4时，cos(2户4)取得最大值2.

兀7T

当2户4=几时，cos(2田4)取得最小值一L

兀

所以f(外在［0,亍］上的最大值为1,最小值为一班.

第81题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程))

题目

19.有三个新兴城镇，分别位于4B、。三点处，且4庐/lea,比>26.今计划合建一个中心医院，为同时方

便-:镇，准备建在及7的垂直平分线上的尸点处.(建立坐标系如图)

(1)若希望点户到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？

(II)若希望点尸到三镇的最远距离为最小，点尸应位于何处？

答案

19.

(I)解：由题设可知，a>6>0.记居心'一",设尸的坐标为(0,y),则尸至三镇距离的平方和为

h2

f(y)=2(Z?2+y)+(A-y)2=3(y-3)2+3A2+2i>2,

h

所以，当尸3时，函数f(y)取得最小值.

1______

答：点户的坐标是(0,可4一/)

(ID解法一：户至三镇的最远距离为

当巧了斗才一川,

当叔+72"-川.

g(/二

当M

由3涔力—w解得介2h，记了=,于是g（y）=b'-'L即3

_______

当y*=2h》0,即436时，6+，在［y*,+8］上是增函数,而

h2-b2

2h

力一yl在（-8,"）上是减函数.由此可知，当产产时，函数g（y）取得最小值，当户=<0,

即。<6时，函数9+"在|>*,+8）上，当片0时，取得最小值4

而I方一打在（-8,"）上为减函数，且|公一y|>6.

可见，当产0时，函数g（y）取得最小值.

答：当心6时，点尸的坐标为（0,岫2_/）.

当力〈。时，点户的坐标为（0,0）.其中左J/一/.

解法二：户至三镇的最远距离为

当f.

并5

当了20,即力2。时，z=g(y)的图象如图(a),

因此，当尸尸时，函数g(y)取得最小值.

当，V0,即力V6时,z=g(y)的图象如图当),

因此，当片0时，函数g(y)取得最小值.

a2-2b2

答：当力26时，点尸的坐标为(0,岫1一/)；

当方V6时，点户的坐标为(0,0).其中户夜’-y.

图(c)

解法三：因为在中，仍40®

♦-2-

所以△力%的外心〃在射线上，其坐标为（0,2J/-/）,

且A^BM-CM.

当户在射线场上，记尸为R；

当户在射线场的反向延长线上，记户为办

若左J/-/（如图c）,则点材在线段40上.

这时尸到从B、C三点的最远距离为AC或晟4,且立缁阳阳土飒

所以点尸与外心必重合时，产到三镇的最远距离最小.

图（d）

若Vb（如图d）,则点."在线段加》外.

这时P到4、B、C三点的最远距离为AC或为4,且立彦阳凡4》无

所以点户与8c边中点0重合时，产到三镇的最远距离最小为b.

_______2/

答：当Jd-y学。时，点户的位置在△4班的外心（0,24一/）；

当J/一/<6时，点户的位置在原点Q

第82题(2003年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程))

题目

20.设尸f(x)是定义在区间[-1,1」上的函数，且满足条件：

(i)/(-I)=f(1)=0;

(ii)对任意的u,[-1,1],都有|F(〃)—f(r)|u—v\.

(I)证明：对任意的xG[-1,1L都有x-lWf(x)Vl-x;

(II)证明：对任意的u,kS[-1,1],都有|F(“)-fO)|W1；

(Ill)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数片f(x),且使得

J/Q)-f(y)忖…I当"户€[。$,

1加)-/(明=1ufI,当e』.

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

答案

20.

(I)证明：由题设条件可知，当[—1,1]时，有(x)1=1f(^r)—f(1)|<|x—l|二l—x,

即x—lWF(x)Wl—x

(Il)证法■：对任意的小[―1,1],

当|u一0|W1时，有|f(u)—/(r)|W|〃一v|WL

当|u—引>1时，"•yVO.不妨设uVO,

则r>0且v—u>l.

所以，|f(〃)-fO)|W|F(〃)—f(—1)|+1/(r)—f(1)|Iw+11+1F—11=1+^1—v

=2—(v—u}<1.

综上可知，对任意的〃,/£[一1,口，都有|，(u)-fCv)|W1.

证法二：由(I)可得，

当[0,1]时，|F(x)|W1—x.

当才£[—1,0]时，|f(x)|=|/(X)—f(—1)|《1+犷1一|x|,

所以，当[—1,1]时，\f(x)|W1一|x|

因此，对任意的utKG[-1,1],

当lu-HWl时，"(〃)-r(F)|W|u一”〈L

当|u—p|>l时，有〃•/VO且1VIu—“二|"+|“W2,所以，I/'(u)—f(v)|W|f(u)I+1/(r)I

Wl—|u|+l—|p|=2一(|y|+|r|)Wl.

综上可知,对任意的u/W[-1,1],都有|f(u)-f(v)IW1.

(III)答：满足所述条件的函数不存在理由如卜.：假设存在函数/(外满足条件，

]_

则由|f(〃)-/,(/)|=|u-v\,4re[2,1],得

If(1)-rd)1=12-il=2.

又/•(i)=o,所以If(1)l=，.①

又因为f(x)为奇函数，所以/'(0)-0.

11

由条件rG[o,2]，得|f（2）|=|f（2）-f（0）|<2.②

①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.

第83题（2003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）北京卷（旧课程））

题目

logilogi

17.解不等式：2（y-jr-2）>2（X-1）-1.

答案

17.解：原不等式变形为：

11

0g-0g-

22(2X一2).

所以，原不等式

卜2_"2>0

o卜-1>0,

1工’-r-2V2x—2

(r-2)(x+1)>0

>0,

r2-3x<0.

r>2,0

o=2C<3.

0<r<3

故原不等式的解集为{x|2VxV3}.

第84题（2003年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）北京卷（旧课程））

题目

6cos4r+5sin2x-4

18.己,知函数f（x）=cos2r,求f（X）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.

答案

18.

—兀—劝T+—兀

解：由cosZ/O得2xWa五+2,解得才£24,«£z.

tor兀

--十—

所以f(x)的定义域为｛xlxWR且XT24SAGZ).

因为F(x)的定义域关于原点对称，且

6cos4(-r)+5sin2(-r)-4_6cos4r+5sin2r-4

/(_*)=cos(-2x)cos2r=/(/，

所以F(x)是偶函数.

E兀

—十—

当x半24,代2时，

/(r)_6cos4r+5sin2r-4(2cos2r-1)(3cos2r-1)

cos2rcos2T=3cos2^-l,

J

所以f(%)的值域为｛y|—lWy<2或2<y^2｝.

第85题(2003年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)北京卷(旧课程))

题目

20.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加

50元时，未租出的车将会增加•辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护

费50元.

(I)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(II)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

答案

20.

3600-3。00

(I)解：当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为50=12,所以这时租出了88

辆车.

(II)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为

x-3000x-3000

/,(%)=(100-50)(A-150)-50X50,

X21

整理得f(x)=-50+162X-21000=-50(X-4050)4307050.

所以,当.x=4050时,f3最大，最大值为f(4050)=307050,

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.

第86题(2002年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷(旧课程))

题目

(21)设a为实数，函数，(*)=，+|x—a/+l,xWR.

(I)讨论f(x)的奇偶性；

(H)求f(x)的最小值.

答案

(21)本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维

能力.

解：

(I)当d=0时，函数f(—x)=(—x)24-|—x/4-l=/(x),此时f(x)为偶函数.

当aWO时,f(a)=/+Of(—a}=才+2|&/+1,f(—a)(a),f(—a)W—f(a).

此时函数既不是奇函数，也不是偶函数.

2_3

(II)(i)当xWa时，函数F(x)=x-x+a+l=(x-2)2+a+4.

1_

若aW2,则函数F(x)在(-8,a］上单调递减，从而，函数

f(x)在(-8,司上的最小值为3)=3+1.

若a>2,则函数f(x)在(-8,司上的最小值为

_1_3!

f(2)=4+&且f(2)WF(a).

3

2

(ii)当x，a时，函数f(x)=V+x—1=(才十2)-