2023年闵行区高考数学二模试卷含答案

2023年闵行区高考数学二模试卷含答案考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。2．本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的定义域是.2．集合，，则等于.3．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为.4．已知函数，则.5．若一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥的侧面积是底面积的倍.6．平面向量与的夹角为，，，则.7．已知的周长为，且，则边的长为.8．若的展开式中的项大于，且为等比数列的公比，则.9．若，，，且（）的最小值为，则.10．若以轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角为参数，则圆的参数方程为.（）11．若是圆的任意一条直径，为坐标原点，则的值为．12．在极坐标系中，从四条曲线，（），，中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量，则随机变量的数学期望=.13．设数列的前项和为，（），则使得（）恒成立的的最大值为.14．(理科）若两函数与的图像有两个交点、，是坐标原点，是锐角三角形，则实数的取值范围是.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．如果，那么下列不等式中正确的是(A)(B)(C)(D)16．若是两条直线，平面，则“”是“”的(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既非充分又非必要条件17．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为（均不为．若，则动点的轨迹为哪种曲线的一部分(A)直线(B)圆(C)椭圆(D)抛物线18．将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像 ．若对满足的，有的最小值为．则（A）(B)（C）或(D)或三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）复数，（其中，为虚数单位）.在复平面上，复数、能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，现沿将平面折起，设．（1）当为直角时，求异面直线与所成角的大小；（2）当为多少时，三棱锥的体积为．AABCDPPABDPABCD21．（本题满分14分）为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数．设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？（2）从点分（即）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）已知椭圆：的右焦点与短轴两端点构成一个面积为的等腰直角三角形，为坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．23．（本题满分18分）已知,数列、满足:,,记．（1）若，，求数列、的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）定义，证明：若存在，使得、为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．（）、11．；12．13．14．、二.选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分．15．D；16．C；17．B；18．C三、解答题（第19题至23题）19.（本题满分12分）解：设复数，能表示同一个点，则……3分解得或，………………7分当时，得，此时；……………9分当时，得，此时；……………11分综上，复平面上该点表示的复数为或．……………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．PABCDxyz解：理:（1）当为直角时,即两两互相垂直，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系,PABCDxyz则,,……3分设异面直线与所成角为,则………5分故异面直线与所成角为．…7分（2）沿将平面折起的过程中，始终PABCD有，，，由得………9分PABCD，……12分或．…………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．解：（1）当天点至点这一小时内进入园区人数为（人）…3分离开园区的人数（人）………………6分（2）（理）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减．…………7分①当时，由，可得：当时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；……11分（；）②当时，由递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少．………………13分综上，当天下午点时（）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有人.……14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．解：（1）由条件可得，，………3分椭圆的方程为．…………5分（2）设，则的方程为，由得…7分．…10分（3）设，由得=1\*GB3①又点在椭圆上得：=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②可得=3\*GB3③…………12分由得，即，可得，………14分将=3\*GB3③代入得：，化简得点轨迹方程为：.…………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解：（1），…………2分，由累加法得…4分【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，依题意有，，则圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为，所以圆锥的侧面积与底面积的比为，故答案为3.6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【参考答案】【试题分析】因为，所以，又因为，与的夹角为60°，所以.因为，所以，故答案为.7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【参考答案】1

【试题分析】因为,所以,又的周长为4，即，所以.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理:方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】1

【试题分析】的展开式中第项为，令得，所以展开式的第2项为，，因为为等比数列的公比，所以=.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】4【试题分析】因为，所以，当时，取等号，又因为的最小值为9，即，所以，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质;图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】【试题分析】圆化为标准方程为，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为，,所以圆的参数方程为(为参数),故答案为.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1，因为AB是圆的任意一条直径，不妨假设AB是位于y轴上的一条直径，则，，所以，又因为当时，，所以，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】1【试题分析】曲线的极坐标方程化为普通方程分别为，，，，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：,1;,1;,1;,1;,1;,1;所以.13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】【试题分析】因为，所以，所以,,因为恒成立，所以即解得，又，所以，故答案为.14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】【试题分析】函数的定义域为，值域为，联立两函数的方程消去得，,因为两函数的图像有两个交点，所以,解得，设，则,,,因为是锐角三角形，所以即,解得,所以的取值范围为，故答案为.二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明.【正确选项】D【试题分析】选项A中，若，则有，所以A不正确；选项B中，若，且，则，所以B不正确；同理选项C也不正确，选项D中，函数是上的增函数，所以有，所以D正确.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件.【正确选项】C【试题分析】因为平面，若，则或，所以充分性不成立，若，则有，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案为C.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【正确选项】B【试题分析】在正方体中，平面,,所以,因为，所以，即,因为为的中点，所以,设正方体边长为2，以DA方向为轴，线段DA的垂直平分线为轴建立如图所示的坐标系，则,因为，所以，化简得，所以动点的轨迹为圆的一部分.第17题图apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.【正确选项】C【试题分析】函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则，所以，因为，所以，当时，，,又因为，所以，同理，可得时，，所以或，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数，能表示同一个点，则,……3分解得或.………………7分当时，得，此时.……………9分当时，得，此时.……………11分综上，复平面上该点表示的复数为或．……………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.（2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当为直角时,即两两互相垂直，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系,………………1分则,,……3分设异面直线与所成角为,则………………5分故异面直线与所成角为．…7分MHLD1第19题图（1）（2）沿将平面折起的过程中，始终有，，，由得……9分，……12分或．……………14分MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.（2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为（人）…3分离开园区的人数（人）………………6分（2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减．………………7分①当时，由，可得：当时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分当时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；……11分（；）②当时，由递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少．………………13分综上，当天下午16点时（）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人.………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得，，…………3分椭圆的方程为．………5分（2）设，则的方程为，由得………7分．…10分（3）设，由得=1\*GB3①又点在椭圆上得：=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②可得