数学建模作业

/《数学建模》第四次作业—--－--－生产批量与单位成本的关系组数：第七组组员学号张杰20０８901３陈林20０８9０1５钱浩程２０089１63石磊2０089１８6ﻬ摘要本文针对构造一个合适的回归模型全面地描述某工厂产品的生产批量与单位成本的关系的问题,我们进行了数据的计算与分析,建立线性模型，运用ＭATLAＢ进行计算求解,得出合适的回归模型。关键词:整数规划线性模型回归模型问题提出下表给出了某工厂产品的生产批量和单位成本(元）的数据，从散点图可以明显地发现，生产批量在5０0以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系,生产批量超过５00时服从另一种线性关系,此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面地描述生产批量与单位成本的关系基本假设假设1：单位成本只受生产批量的影响,不考虑可能存在的其它因数的影响。假设2:在整个生产过程中，其单位成本不随时间和生产的方式的改变.假设３：根据题中已经给出的数据，假定所有数据都真实可靠.三、符号说明符号意义单位备注回归方程系数回归方程系数回归方程系数ｙ单位成本元ｘ生产批量生产批量小于５00的部分生产批量大于５0０的部分四、问题分析记生产批量为x,单位成本为y。由于从散点图可以明显地发现，x在500以内时，ｙ对x服从一种线性关系，x超过5０0时服从另一种线性关系，此时y明显下降。所以考虑从两个方面着手,建立模型:1.分段建立模型：即x在5０0以内时,建立模型（１）；x超过5００时,建立模型(2）。然后综合模型（１)和（2）建立回归模型.2.以所有数据为整体，建立模型（３）。再次结合题意，考虑以５00为分段点，并引入虚拟变量建立模型（４）.五、模型的建立与求解5．1模型的建立1．分段建立模型:记生产批量x1<500时，单位成本为y1,生产批量x２>5０0时，单位成本为y２。为了大致地分析y与ｘ的关系,首先利用表中表中数据分别作出y1对x1和y２对x２的散点图.图图1从图1可以发现对和对成线性关系。所以分别建立线性模型:模型（１):模型(2）：5。2模型的求解1.分段模型求解：将x1和ｙ1的数据分别输入MATＬAB：得到模型（１）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量,Ｆ,p的结果见表1.参数参数估计值参数置信区间5。5８63[４.57４36。５98３］-０。00３1［—０。0056-0．0006］表格SEＱ表格＼*ARABIC1然后,对数据进行残差分析：图3残差分析图1从结果可以看出，应将第二个点去掉后再进行拟合：得到模型（1)的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，F,ｐ的结果见表2。ﻬ参数参数估计值参数置信区间５．5749[5.0902,6．0596］－0．0032[—０。0０４4，—0.0０20］F＝40。8967p＝0。0238682表格SEQ表格\＊ＡＲABIC２可见R的平方非常接近1．说明模型较准确。于是得到模型(1)：将ｘ2和y2的数据分别输入MATLAB:得到模型（1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，Ｆ,p的结果见表3.ﻬ参数参数估计值参数置信区间7.1158[5.4316，8.8000]-[—0.0096,－０。0047］表格SEＱ表格＼＊AＲABＩC３于是得到模型(2）：对数据进行残差分析：由图可知,数据无异常点。综合模型(1）和(2）可得:或由于数据点本来就很少,模型（２）中去掉一数据点，所以模型不具说服力。2．模型（3）：若直接考虑全组数据，对整个11组数据直接拟合。绘出散点图图5ｙ对x的散点图将x和y的数据分别输入MATLAB计算：得到模型（1）的回归系数估计值及其置信水平、检验统计量，Ｆ，p的结果见表４。

参数参数估计值参数置信区间7.077９［6.48４57.６713］－0．0070［-0．008１－0.00６０］表格SEQ表格\＊ＡＲABIC4,即单位成本ｙ的９6。309７%能由模型确定，p远小于0。05，因而模型是可用的。所以模型（3）为：图６残差分析图３残差分析显示没有异常点，模型比较准确。3。模型(4）:从中模型(3）中我们已经可以发现整组数据本身就服从置信度较高的线性关系。但是题目却仍然告诉我们：生产批量在５00以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过５００时服从另一种线性关系。于是我们开始考虑再引入一个虚拟变量Ａ.,并加入一项再次进行拟合。得到结果:ﻬ参数参数估计值参数置信区间6.1６２1［5．036８7.2874］－0。00４7[-0.0０７4－0.0０２0]－0.0036［-０。007６０.０0０３］模型为:。5．3结果的分析综合上面的拟合结果我们采用模型4，它既能紧密结合题意对数据进行分开讨论,且能高达97.63％。是所有模型中准确度最高的。我们带回数据对它进行检验后也发现这个模型的计算结果几乎等于已知的结果,再次说明了结果的准确性。六、模型的评价与推广6。1模型的评价本文优点:逻辑性强,过程简洁，通俗易懂,让人一目了然.本文缺点:将切割进行了理想化分析,与实际情况有一定偏差.6.2模型的推广可以通过本题得多变量最优化模型对于一些规划问题，均可用本题的模型来求解。七、参考文献[1]姜启源等，《数学模型》(第三版），高等教育出版社，2０03年８月八、附录程序１：两段直线，ｘ小于500时:>〉ｘ1=［340，40０,300,480，４４0］'；ﻩ＞＞y1＝［4．45,4．５２，４．６5，4.0４,4.2０］';>〉X=［onｅs(size(ｘ1）)x1］；＞>[b,biｎｔ，r,ｒｉnt,stａｔｓ]=ｒｅgress(y１，Ｘ)b=５．5８６3—0。0０３1bint=4.５74３6.5983-０.0056—0.0006r＝—０。08３1０。1728－0．０0７0－0．0594-0。0233rint=-0。4061０．23990．055３0。2902-０.2951０.2８11-0．３2850.209７-0。３9８10.35１4stａts=0.83３2１4.98６80．03050.01３6〉〉ｓteｐwｉｓe（X,y1,[1,2]）>＞ｒcoplot（r，ｒint)两段直线，ｘ大于50０时：＞＞x2=［6５０,800，６0０,720，5４0,750]’；〉〉y２=[２。48，1.3８，2.96，2。1８，3。10，1。5０]’;＞>X=[ｏｎes(ｓize（ｘ２))x2］;＞〉［b,ｂiｎt,r,rｉnt,sｔats]=regrｅss（y２,Ｘ）ｂ=7.１158-0．０072bｉnt=5。43１68.8000－0．0096-0．0047r＝0.0２22—0。00２80．14390。223９—０.1460—0．241１rint=—0。５3980.５８43-0．449４0。443７—0.3２720.615１—0。1９９10。646９－０.48740。1９５３—0.６0150.１192sｔａtｓ＝0.9４２06５.01５３0。0０１30.03７7＞＞stepwiｓe(X，ｙ2,［１，２］）>>rcopｌot(r，rｉnｔ)程序2:一条直线〉〉x1＝[６50，340,４00，80０，300,600，7２0，480，４40，5４０，７５0］'；>〉y１＝[2。48,4.45，4。5２,1。38，4．６５,2。9６，2.１8,4。04，4．2０,3。１0，1。50］';＞〉X=[oｎeｓ(ｓize（x1）)x1］;〉>［b，ｂｉnt，r,rint，stａtｓ］＝regress(ｙ１,X)b=7。07７9－0．０070biｎt=6.4845７．6７13－0.0081—0。0060ｒ＝-0.020２—0。233４0.2592—0。0638-0。３１510。1０770．17２80。３4260。２２09—0。1749—0．2９59rint=-０．5７460。５３43-0．71650.2４９8—０.2420０．76０3—０．5５3９0.４264—0.742５0.１１２３-0.448８0。6６42—０。3４21０．６8７７－０。1472０.8324-0。３０3８０。７４５６—0．72340。3737—0。7５9１０．1６7３sｔatｓ=0。９631234。89360.０0000.0612＞>stepwｉse（X，y1，［1,2］)＞〉rcopｌot(ｒ，rｉnt）加入虚拟变量A后的程序：〉>y=[２。48004．4５00４。520０１．３８0０4.６５0０2．96０02.１８00４。040０４．20０03．1００01。5000]’;〉>ｘ＝［1111１1１111１6503４04００80030060072048０44０54075０1500０30001002２0０040250］';>〉[b，bint,r，rint,stats］＝ｒeｇｒess(ｙ,x）b=6。1621－0。００４7-０．00３6bint=5。03６87.2８74-0．00７4-0.0０２0—0。00760。0003r=—0。０6３2—０.１0360．25020.0904-0.092９—0．0０1０0．22１80．14８70。１194－0.3６2４-０.2０74riｎt=-0．54１90。4156－０．520３0．３130－0.17020．67